概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)多維隨機(jī)變量及其分布-免費(fèi)閱讀
【正文】 )1( XYZYXZ ??? 例 2 (講義例 2) 設(shè) X 和 Y 相互獨(dú)立 , ,),(~),(~ 21 pnbYpnbX 求 YXZ ?? 的分布 . 例 3 (講義例 3) 若 X 和 Y 相互獨(dú)立 , 它們分別服從參數(shù)為 21,?? 的泊松分布 , 證明YXZ ?? 服從 參數(shù)為 21 ??? 的泊松分布 . 連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 例 4 (講義例 4) 設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 相互獨(dú)立 , 且同服從 ]1,0[ 上的均勻分布 , 試求|| YXZ ?? 的分布函數(shù)與密度函數(shù) . 例 5 (講義例 5) 設(shè) ),( 21 XX 的密度函數(shù)為 ).,( 21 xxf 令 212211 , XXYXXY ???? 試用 f 表示 1Y 和 2Y 的聯(lián)合密度函數(shù) . 和的分布 ：設(shè) X 和 Y 的聯(lián)合密度為 ),( yxf , 求 YXZ ?? 的密度 . 卷積公式 : 當(dāng) X 和 Y 獨(dú)立時(shí) , 設(shè) ),( YX 關(guān)于 YX, 的邊緣密度分別為 ),(),( yfxf YX 則上述兩式化為 ????????????dxxzfxfzfdyyfyzfzfYXZYXZ)()()()()()( 以上兩個(gè)公式稱(chēng)為 卷積公式 . 例 6 (講義例 6) 設(shè) X 和 Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 . 它們都服從 )1,0(N 分布 , 其概率密度為 .,21)(,21)(2/2/22??????????????yeyfxexfyYxX?? .的概率密度求 YXZ ?? 例 7 (講義例 7) 設(shè)某種商品一周的需要量是一個(gè)隨機(jī)變量 , 其概率密度函數(shù)為 ????? ???.,0 ,0,)( 其它 時(shí)當(dāng) xxexfx 如果各周的需要量相互獨(dú)立 , 求兩周需要量的概率密度函數(shù) . 例 8 設(shè) X 與 Y 相互獨(dú)立 , 且均在區(qū)間 ]1,0[ 上服從均勻分布 , 求 YXZ ?? 的密度函數(shù) . 例 9 (講義例 8) 設(shè) 21,XX 相互獨(dú)立且分別服從參數(shù)為 ???? ,。0,),( 其它 yxeyxfy (1) 求 X 與 Y 的邊際概率密度 , 并判斷 X 與 Y 是否相互獨(dú)立 。0),()1( ?yxf 。1),(),()2( ??????? ???? ??? Fd x d yyxf (3) 設(shè) D 是 xOy 平面上的區(qū)域 ,點(diǎn) ),( YX 落入 D 內(nèi)的概率為 ???? D d x d yyxfDyxP ),(}),{( 特別地 , 邊緣分布函數(shù) },{}{)( ??????? YxXPxXPxF X ,),(),( ? ?? ? ?? ?????? ???? ???????? xx dsdttsfd s d ttsf 上式表明 : X 是連續(xù)型隨機(jī)變量 , 且其密度函數(shù)為 : ,),()( ?????? dyyxfxf X 同理 , Y 是連續(xù)型隨機(jī)變量 , 且其密度函數(shù)為 : ?????? dxyxfyfY ),()( , 分別稱(chēng) )(xfX 和 )(yfY 為 ),( YX 關(guān)于 X 和 Y 的 邊緣密度函數(shù) . (4) 若 ),( yxf 在點(diǎn) ),( yx 連續(xù) , 則有 ).,(),(2 yxfyx yxF ???? 進(jìn)一步 , 根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義 , 可推得 :當(dāng) yx??, 很小時(shí) , 有 ,),(},{ yxyxfyyYyxxXxP ??????????? 即 , ),( YX 落在區(qū)間 ],(],( yyyxxx ????? 上的概率近似等于 .),( yxyxf ?? 五、二維均勻分布 設(shè) G 是平面上的有界區(qū)域 ,其面積為 A .若二維隨機(jī)變量 ),( YX 具有概率密度函數(shù) ????? ??其它,0),(,1),( GyxAyxf 則稱(chēng) ),( YX 在 G 上服從 均勻分布 . 六、二維正態(tài)分布 若二維隨機(jī)變量 ),( YX 具有概率密度 ???????????????? ?????????? ????????? ?????????? ?????22222112112 2)1(2 1221 121),( ? ?? ?? ??? ??????yyxxeyxf 其中 ????? , 2121 均為常數(shù) ,且 1||,0,0 21 ??? ??? ,則稱(chēng) ),( YX 服從參數(shù)為 ????? , 2121的 二維正態(tài)分布 . 注： 二維正態(tài)隨機(jī)變量的兩個(gè)邊緣分布都是一維正態(tài)分布，且都不依賴(lài)于參數(shù) ? ，亦即對(duì)給定的 2121 , ???? ，不同的 ? 對(duì)應(yīng)不同的二維正態(tài)分布，但它們的邊緣分布都是相同的，因此僅由關(guān)于 X 和關(guān)于 Y 的邊緣分布，一般來(lái)說(shuō)是不能確定二維隨機(jī)變量 ),( YX 的聯(lián)合分布的 . 例題選講： 二維隨機(jī)變量的分布函數(shù) 例 1 (講義例 1) 設(shè)二維隨機(jī)變量 ),( yx 的分布函數(shù) 為 ?????????????????? ??????? ?? yxyCxBAyxF ,3a r c t a n2a r c t a n),( (1) 試確定常數(shù) ., CBA (2) 求事件 }30,2{ ?????? YX 的概率 . 二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布 例 2 (講義例 2) 設(shè)隨機(jī)變量 X 在 1, 2, 3, 4四個(gè)整數(shù)中等可能地取一個(gè)值，另一個(gè)隨機(jī)變量 Y 在 1~ X 中等可能地取一整數(shù)值，試求 ),( yx 的分布律 . 例 3 (講義例 3) 把一枚均勻硬幣拋擲三次 , 設(shè) X 為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù) , 而 Y 為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值 , 求 ),( YX 的概率分布及 ),( YX 關(guān)于 YX, 的邊緣分布 . 例 4 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為 Y X 2? 0 1 1? 1 0 2 0 求 }0,1{ ?? YXP 及 ).0,0(F 二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 例 5 (講義例 4) ),( YX 的概率分布由表 3— 1B給出，求 }0,0{},0,0{ ???? YXPYXP |}.||{|}
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