第13－16課時(shí)三角問題的題型與方法(參考版)
2025-03-29 03:08本頁面
【正文】 歡迎下載。1解：根據(jù)題意得圖02，其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，∠CAB=60?．設(shè)∠ACD = α ，∠CDB = β ．在△CDB中，由余弦定理得：，．．在△ACD中，由正弦定理得：．此人還得走15千米到達(dá)A城．說明：運(yùn)用解三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，關(guān)鍵是把題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為三角形中的已知元素，然后解三角形求之．1解：因?yàn)?b=a+c，由正弦定理得1分析：因?yàn)槿忮F的三條側(cè)棱長均相等，因此頂點(diǎn)P在底面上的射影O是△ABC的外心，從而想到用正弦定理，再利用三角函數(shù)來求最值．解：作PO⊥底面ABC，垂足為O．由PA = PB = PC = 2a，知O為△ABC的外心．∵ AB = AC = a ，∴ O落在底面ABC的高AD上．設(shè)∠ABC = θ，連結(jié)BO，則BO為△ABC外接圓的半徑．記BO = R，由正弦定理，有 ，∵ BD = a cosθ，AD = a sin．∴當(dāng)時(shí)，．此時(shí)，．在研究利用三角公式解決一些有關(guān)三角形中的三角函數(shù)問題時(shí)．常用的公式有：（1）在△ABC中，A + B + C = π， ．（2）正余弦定理及其變式：如a = 2R sinA ，b2 + c2－a2 =2b c cosA ．射影定理：a = b cosC + c cosB ．（3）三角形面積公式： （其中，r為三角形內(nèi)切圓半徑）．1解：由已知條件得．即有 ，又 ∴ ．∴ ．所以當(dāng)A = B時(shí)，．說明：三角形中的三角變換，應(yīng)靈活運(yùn)用正、余弦定理．在求值時(shí)，要利用三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．1分析：本小題主要考查解斜三角形等基本知識(shí)，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力。cos+sin(x+)sin(－α)=（sinα+cosα）(cosα－sinα)= cos2α－sin2α=cos2α=也可以用積化和差公式：sin(+α)cos(+α)=sin(+2α)= cos2α= 又∵π2α2π,cos2α=,∴sin2α= －∴sin4α=2sin2α．對(duì)cos2A+cos2C用降冪變形，得1分析與解：跨越了四個(gè)象限，如果角x真能落在各象限內(nèi)，那么tan x值的符號(hào)就有正有負(fù)．為便于求出tan x的值，不妨先“審查”一下角x的實(shí)際范圍．根據(jù)正弦曲線和余弦曲線；當(dāng)時(shí)，sin x＜0，cos x＜0，與 矛盾．可見，角x的終邊不在第三象限．當(dāng)角x在第一象限時(shí)，sin x＞0，cos x＞0，這時(shí)有，又與矛盾．可 見角x的終邊不會(huì)位于． 如果．由余弦曲線知：，由正弦曲線知：，這時(shí) ，可見 ．如果，由正弦曲線及余弦曲線知，這時(shí)，可見．根據(jù)以上分析可以看出：滿足的角，根據(jù)正切曲線知tan x＜－1．由 ，等式兩端平方得：即：，整理得：12 tan 2 x＋25 tan x＋12 = 0． 解之得：或 ．注意到 tan x＜－1∴ ．說明：有些三角函數(shù)的題目，為了考查學(xué)生對(duì)“某區(qū)間上任意值”與“某區(qū)間上特殊值”的區(qū)分能力，常把已知條件中的區(qū)間給“大”．這時(shí)往往先要進(jìn)行“縮小”區(qū)間的工作．1解 （1）∵α++－α=∴sin(－α)=cos(+α)∴sin(+α)分析：我們知道，當(dāng)a＞0時(shí)，把函數(shù)y = f (x)的圖象沿x軸向右移a個(gè)單位，便得到函數(shù)y = f (x－a) 的圖象，把函數(shù)f (x)的圖象沿x軸向左平移a個(gè)單位，便得到函數(shù)y = f (x＋a) 的圖象．本題中與y = 3 sin 2x的對(duì)應(yīng)法則不同，應(yīng)當(dāng)把它們變?yōu)椤皔 = f (x)與y = f (x＋a)”的形式后，再討論平移關(guān)系．因?yàn)槲覀冴P(guān)心的是對(duì)函數(shù)y = 3 sin 2x的圖象平移，所以要把變形，變到y(tǒng) = 3 sin (2x＋φ)的形式． 由正弦曲線和余弦曲線的關(guān)系，不難看出，把余弦曲線沿x軸向右平移，就得到正弦曲線，即是（這與誘導(dǎo)公式的結(jié)論是一致的）．利用這個(gè)關(guān)系，可以得到： ．問題成為：把函數(shù)y = 3 sin 2x的圖象沿x軸進(jìn)行怎樣的平移，可以得到函數(shù) 的圖象？如果y = 3 sin 2x = f (x)，那么．可見，把函數(shù)y = 3 sin 2x的圖象向左移個(gè)單位后，可得到函數(shù)的圖象，即得到函數(shù)的圖象．因此選A．說明：這個(gè)題目有兩點(diǎn)值得注意：一是函數(shù)y = f (x)的圖象與函數(shù)y = f (x＋a)的圖象的平移關(guān)系（平移方向，平移量）；二是對(duì)法則“f ”的理解．只有把兩個(gè)函數(shù)整理成f (x)與f (x＋a)的形式后，才可討論它們沿x軸的平移問題．例如“把函數(shù)y = － tan x的圖象沿x軸進(jìn)行怎樣的平移，就可得到函數(shù)的圖象”的問題．就應(yīng)該考慮y =－tan x與這兩個(gè)函數(shù)．它們是y = f (x)與的關(guān)系．可見，只要把函數(shù)y =－tan x的圖象沿x軸右移個(gè)單位，就能得到函數(shù)的圖象．1分析：圖04給我們提供的“信息”是：（1）點(diǎn) (0，1 )、在圖象上；（2）函數(shù)的最小正周期．可見：∵ ，由2sin φ = 1得 ，由 ，得 ∴ ．由 ，得 ．滿足時(shí)，k = 1或k = 2．由此得到，．分析到這里，只否定了B、D．為選出正確答案，關(guān)鍵在于確定及中哪個(gè)符合題意．為此，還要仔細(xì)地從圖04中“挖掘”出有用的“信息”．注意到，即，因此．這樣就排除了．根據(jù)以上分析知，應(yīng)選C．說明：因?yàn)楹瘮?shù)y = A sin (ωx＋φ)是周期函數(shù)，所以僅靠圖像上的三個(gè)點(diǎn)，不能完全確定A、ω、φ的值．本題雖然給出了ω＞0，的條件，但是僅靠(0，1 )、兩點(diǎn)，能完全確定ω、φ的值．在確定ω的過程中，比較隱蔽的條件（）起了重要作用．1分析：因?yàn)椤螦，∠B，∠C順序成等差數(shù)列，所以2B=∠A+∠C， ∠B=60176。y=sin2x圖象向左平移單位后得：y=sin2(x+)=sin(2x+)=sin(2x－)。y=sin2x圖像向左平移單位后得:y=sin2(x+)=sin(2x+)。y=tanx在每一個(gè)定義區(qū)間上都是增函數(shù)，但在其定義域內(nèi)并不是增函數(shù)；y=sinx在第一象限的每個(gè)區(qū)間上都是增函數(shù)，但在第一象限上并不是增函數(shù)；y=arcsinx只是y=sinx，x∈[－,]的反函數(shù)；令f(x)= －arccosx,則f(－x)= － arccos(－x)=arccosx－= －f(x)所以y=－arccosx是奇函數(shù)。當(dāng)α，β∈（π，）時(shí)，由sinαsinβ得，αβ，此時(shí)cosαcosβ；而對(duì)于α，β是第四象限角，由sinαsinβsin2αsin2β1－cos2α1－cos2βcos2αcos2βtan2αtan2β ∵tanα0,tanβ0tanαtanβ。求sinA，sinC．1如圖03，三棱錐PABC的底面ABC為等腰三角形，AB = AC = a ，側(cè)棱長均為2a，問BC為何值時(shí)，三棱錐PABC的體積V最大，最大值是多少？1已知⊙O的半徑為R，在它的內(nèi)接三角形ABC中，有成立，求△ABC面積S的最大值．1（2004年北京春季高考）在中，a，b，c分別是的對(duì)邊長，已知a，b，c成等比數(shù)列，且，求的大小及的值。cos(x+)=,πxπ，求的值。[0, ],求f(x)的最大值，最小值.（2002江蘇）在內(nèi)，使成立的取值范圍為（ ）（A） （B） （C） （D）（2002上海）函數(shù)的大致圖象是（ ）πy y y y π π ππ o π x π o π x π o π x π o π xπ π
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