【正文】 bcosθ=sin(θ+)，這里輔助角所在象限由a、b的符號(hào)確定，角的值由tan=確定。（1）思路：利用三角公式進(jìn)行化名，化角，改變運(yùn)算結(jié)構(gòu)，使等式兩邊化為同一形式。（1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析”。 cos α ，等．利用倍角公式或半角公式，可對(duì)三角式中某些項(xiàng)進(jìn)行升降冪處理，如，等．從右到左為升冪，這種變形有利用根式的化簡(jiǎn)或通分、約分；從左到右是降冪，有利于加、減運(yùn)算或積和（差）互化．3．幾個(gè)重要的三角變換：sin α cos α可湊倍角公式； 1177。3．（2004年全國(guó)卷Ⅱ（17））已知銳角三角形ABC中， （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）設(shè)AB=3，求AB邊上的高.（Ⅰ）證明：所以（Ⅱ）解：， 即 ，將代入上式并整理得 解得，舍去負(fù)值得， 設(shè)AB邊上的高為CD.則AB=AD+DB=由AB=3，得CD=2+. 所以AB邊上的高等于2+.說(shuō)明：本題主要考查三角函數(shù)概念，兩角和、差的三角函數(shù)值以及應(yīng)用、分析和計(jì)算能力。例已知函數(shù)f(x)=tan(sinx)（1）求f(x)的定義域和值域；（2）在（－π，π）中，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（3）判定方程f(x)=tanπ在區(qū)間（－π，π）上解的個(gè)數(shù)。解之得：x=kπ177。設(shè)t=sinx，則當(dāng)x∈[0, )∪（，）∪（，π）時(shí)，t∈[0, ∪(,，且以t為自變量的函數(shù)y=tant在區(qū)間（0，），（，上分別單調(diào)遞增。（3）由f(x)=tanπ得：tan(sinx)=tan(π)sinx=kπ+π （k∈Z）sinx=k+(k∈Z)①又∵－1≤sinx≤1，∴∴k=0或k= －1當(dāng)k=0時(shí)，從①得方程sinx=當(dāng)k=1時(shí)，從①得方程sinx= －+顯然方程sinx=,sinx= －+，在（－π, π）上各有2個(gè)解，故f(x)=tanπ在區(qū)間（－π，π）上共有4個(gè)解。例3 、已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?[ －5，1 ]，求常數(shù)a、b的值．解：∵ ， ．∵ ，∴ ，∴ ．當(dāng)a 0時(shí)，b ≤ f ( x ) ≤ 3a + b，∴ 解得 當(dāng)a 0時(shí)，3a + b ≤ f ( x ) ≤ b ．∴ 解得 故a、b的值為 或 說(shuō)明：三角函數(shù)作為函數(shù)，其定義域和值域也是它的要素，要待定表達(dá)式中的常數(shù)值，需注意常數(shù)變化對(duì)值域的影響．例設(shè)的周期，最大值，（1）求、的值； （2）.解：(1) ， ， ， 又 的最大值， ① ， 且 ②，由 ①、②解出 a=2 , b=3.(2) ， ， ， ， 或 ， 即 ( 共線，故舍去) ， 或 ， .說(shuō)明：方程組的思想是解題時(shí)常用的基本思想方法；在解題時(shí)不要忘記三角函數(shù)的周期性。解法一：令sinα+cosα=t，則sinα(t+2)=0∵t≠－2 ∴t=sinα+cosα=1，且sinα0=1sin6α+cos6α=(sin2α+cos2α)(sin4α－sin2α（2）三角中的恒等變形與初中所學(xué)整式的恒等變形結(jié)合是解本題的關(guān)鍵所在。例設(shè)f(x)=tanx,x∈(0, ),若x1，x2∈(0,),且x1≠x2,證明：[ f(x1)+ f(x2)]f()證明:tanx1+ tanx2=+== ∵x1,x2∈（0，），且x1≠x2∴2sin(x1+x2)0,cosx1tan)+tan(x2－)tan)=tantan(tanx1－tanx2) ，∵∈(0, ) ∴tan0又∵tan和tanx1－tanx2在x1x2時(shí)，同為正，在x1x2時(shí)，同為負(fù)，所以tan（tanx1－tanx2）0。例如圖，A、B是一矩 OEFG邊界上不同的兩點(diǎn)，且∠AOB=45176。當(dāng)α∈[0，15176。,45176。=說(shuō)明：三角函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)有著緊密的關(guān)系，它幾乎滲透了數(shù)學(xué)的每一個(gè)分支。cosx+1= (2cos2x－1)+ +（2sinx所以當(dāng)函數(shù)y取最大值時(shí)，自變量x的集合為{x|x=+kπ,k∈Z}（2）將函數(shù)y=sinx依次進(jìn)行如下變換：（i）把函數(shù)y=sinx的圖像向左平移，得到函數(shù)y=sin(x+)的圖像；（ii）把得到的圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖像；（iii）把得到的圖像上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖像； （iv）把得到的圖像向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=sin(2x+)+的圖像。本題（1）還可以解法如下：當(dāng)cosx=0時(shí)，y=1；當(dāng)cosx≠0時(shí)，y=+1=+1化簡(jiǎn)得：2(y－1)tan2x－tanx+2y－3=0∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3) ≥0,解之得：≤y≤∴ymax=，此時(shí)對(duì)應(yīng)自變量x的值集為{x|x=kπ+,k∈Z}例已知函數(shù) （Ⅰ）將f(x)寫成的形式，并求其圖象對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)； （Ⅱ）如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對(duì)的角為x，試求x的范圍及此時(shí)函數(shù)f(x)的值域. 由=0即即對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為（Ⅱ）由已知b2=ac 即的值域?yàn)?綜上所述， ， 值域?yàn)?. 說(shuō)明：本題綜合運(yùn)用了三角函數(shù)、余弦定理、基本不等式等知識(shí)，還需要利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決函數(shù)值域的問(wèn)題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，對(duì)知識(shí)進(jìn)行整合的能力。合理利用角的關(guān)系，建立目標(biāo)函數(shù)，是本題的關(guān)鍵。(,0),cosx=,則tan2x = ( )A. B. C. D.2．（2003北京春季）在DABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，求 的值.3．（2003北京）已知函數(shù)（1） 求f(x)的最小正周期。cos(x+)=,πxπ，求的值。當(dāng)α，β∈（π，）時(shí)，由sinαsinβ得，αβ，此時(shí)cosαcosβ；而對(duì)于α，β是第四象限角，由sinαsinβsin2αsin2β1－cos2α1－cos2βcos2αcos2βtan2αtan2β ∵tanα0,tanβ0tanαtanβ。y=sin2x圖像向左平移單位后得:y=sin2(x+)=sin(2x+)。分析：我們知道，當(dāng)a＞0時(shí)，把函數(shù)y = f (x)的圖象沿x軸向右移a個(gè)單位，便得到函數(shù)y = f (x－a) 的圖象，把函數(shù)f (x)的圖象沿x軸向左平移a個(gè)單位，便得到函數(shù)y = f (x＋a) 的圖象．本題中與y = 3 sin 2x的對(duì)應(yīng)法則不同，應(yīng)當(dāng)把它們變?yōu)椤皔 = f (x)與y = f (x＋a)”的形式后，再討論平移關(guān)系．因?yàn)槲覀冴P(guān)心的是對(duì)函數(shù)y = 3 sin 2x的圖象平移，所以要把變形，變到y(tǒng) = 3 sin (2x＋φ)的形式． 由正弦曲線和余弦曲線的關(guān)系，不難看出，把余弦曲線沿x軸向右平移，就得到正弦曲線，即是（這與誘導(dǎo)公式的結(jié)論是一致的）．利用這個(gè)關(guān)系，可以得到： ．問(wèn)題成為：把函數(shù)y = 3 sin 2x的圖象沿x軸進(jìn)行怎樣的平移，可以得到函數(shù) 的圖象？如果y = 3 sin 2x = f (x)，那么．可見，把函數(shù)y = 3 sin 2x的圖象向左移個(gè)單位后，可得到函數(shù)的圖象，即得到函數(shù)的圖象．因此選A．說(shuō)明：這個(gè)題目有兩點(diǎn)值得注意：一是函數(shù)y = f (x)的圖象與函數(shù)y = f (x＋a)的圖象的平移關(guān)系（平移方向，平移量）；二是對(duì)法則“f ”的理解．只有把兩個(gè)函數(shù)整理成f (x)與f (x＋a)的形式后，才可討論它們沿x軸的平移問(wèn)題．例如“把函數(shù)y = － tan x的圖象沿x軸進(jìn)行怎樣的平移，就可得到函數(shù)的圖象”的問(wèn)題．就應(yīng)該考慮y =－tan x與這兩個(gè)函數(shù)．它們是y = f (x)與的關(guān)系．可見，只要把函數(shù)y =－tan x的圖象沿x軸右移個(gè)單位，就能得到函數(shù)的圖象．1分析：圖04給我們提供的“信息”是：（1）點(diǎn) (0，1 )、在圖象上；