【文章內容簡介】 － ≤sinx≤。又函數y=tanx在x=kπ+(k∈Z)處無定義，且 （－，）[－,]（－π, π），∴令sinx=177。，則sinx=177。解之得：x=kπ177。 (k∈Z)∴f(x)的定義域是A={x|x∈R，且x≠kπ177。，k∈Z}∵tanx在（－，）內的值域為（－∞，+∞），而當x∈A時，函數y=sinx的值域B滿足（－，）B∴f(x)的值域是（－∞，+∞）。（2）由f(x)的定義域知，f(x)在[0，π]中的x=和x=處無定義。設t=sinx，則當x∈[0, )∪（，）∪（，π）時，t∈[0, ∪(,，且以t為自變量的函數y=tant在區(qū)間（0，），（，上分別單調遞增。又∵當x∈[0，]時，函數t=sinx單調遞增，且t∈[0, 當x∈（，時，函數t=sinx單調遞增，且t∈（, 當x∈[，時，函數t=sinx單調遞減，且t∈（, 當x∈（，π）時，函數t=sinx單調遞減，且t∈（0，）∴f(x)=tan(sinx)在區(qū)間[0，,（,上分別是單調遞增函數；在上是單調遞減函數。又f(x)是奇函數，所以區(qū)間（－，0，[－，－也是f(x)的單調遞增區(qū)間是f(x)的遞減區(qū)間。故在區(qū)間（－π，π）中,f(x)的單調遞增區(qū)間為：[－，－，（－，），（，單調遞減區(qū)間為。（3）由f(x)=tanπ得：tan(sinx)=tan(π)sinx=kπ+π （k∈Z）sinx=k+(k∈Z)①又∵－1≤sinx≤1，∴∴k=0或k= －1當k=0時，從①得方程sinx=當k=1時，從①得方程sinx= －+顯然方程sinx=,sinx= －+，在（－π, π）上各有2個解，故f(x)=tanπ在區(qū)間（－π，π）上共有4個解。說明：本題是正弦函數與正切函數的復合。（1）求f(x)的定義域和值域，應當先搞清楚y=sinx的值域與y=tanx的定義域的交集；（2）求f(x)的單調區(qū)間，必須先搞清f(x)的基本性質。如奇偶性、周期性、復合函數單調性等。例3 、已知函數的定義域為，值域為 [ －5，1 ]，求常數a、b的值．解：∵ ， ．∵ ，∴ ，∴ ．當a 0時，b ≤ f ( x ) ≤ 3a + b，∴ 解得 當a 0時，3a + b ≤ f ( x ) ≤ b ．∴ 解得 故a、b的值為 或 說明：三角函數作為函數，其定義域和值域也是它的要素，要待定表達式中的常數值，需注意常數變化對值域的影響．例設的周期，最大值，（1）求、的值； （2）.解：(1) ， ， ， 又 的最大值， ① ， 且 ②，由 ①、②解出 a=2 , b=3.(2) ， ， ， ， 或 ， 即 ( 共線，故舍去) ， 或 ， .說明：方程組的思想是解題時常用的基本思想方法；在解題時不要忘記三角函數的周期性。例已知:sin3α+cos3α=1，求sinα+cosα。 sin4α+cos4α。sin6α+cos6α的值。解法一：令sinα+cosα=t，則sinαcosα=∴sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α－sinαcosα+cos2α)=t(1－)=1，得：t3－3t+2=0(t－1)2(t+2)=0∵t≠－2 ∴t=sinα+cosα=1，且sinαcosα==0。∴sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2 – 2sin2αcos2α=1－20=1sin6α+cos6α=(sin2α+cos2α)(sin4α－sin2αcos2α+cos4α)=1解法二：∵sin3α≤sin2α,cos3α≤cos2α∴sin3α+cos3α≤sin2α+cos2α=1等號當且僅當時成立，或∴sinα+cosα=sin4α+cos4α=sin6α+cos6α=1說明：（1）凡是遇到sinx+cosx與sinxcosx類的問題，均應采用換元法，令sinx+cosx=t，得sinxcosx=。（2）三角中的恒等變形與初中所學整式的恒等變形結合是解本題的關鍵所在。（3）本題還可推廣到一般情形：若k≥2且sin2k－1α+cos2k－1α=1，則sinα=1，cosα=0或sinα=0,cosα=1，若sin2kα+cos2kα=1，則sinα=177。1，cosα=0或sinα=0,cosα=177。1。例設f(x)=tanx,x∈(0, ),若x1，x2∈(0,),且x1≠x2,證明：[ f(x1)+ f(x2)]f()證明:tanx1+ tanx2=+== ∵x1,x2∈（0，），且x1≠x2∴2sin(x1+x2)0,cosx1cosx20,0cos(x1－x2)1從而有0cos(x1+x2)+cos(x1－x2)1+cos(x1+x2)∴tan x1+tanx2=2tan另證：以上是采用化弦，放縮后利用公式tan=加以證明的，也可以利用正切的和差角公式加以證明。左邊－右邊=[tanx1+tanx2]－tan= [tanx1－tan+tanx2－tan]=[tan(x1－)(1+tanx1tan)+tan(x2－)(1+tanx2tan)]=tan(1+tanx1tan－1－tanx2tan)=tantan(tanx1－tanx2) ，∵∈(0, ) ∴tan0又∵tan和tanx1－tanx2在x1x2時，同為正，在x1x2時，同為負，所以tan（tanx1－tanx2）0。綜上tantan(tanx1－tanx2)0，即[f(x1)+f(x2)]f()說明：在三角函數恒等式、條件等式、不等式證明中，常采用化弦法。本題解法一是化弦，了解決把兩個分數的單角轉化為和角，同時又使函數值適當縮小。例如圖，A、B是一矩 OEFG邊界上不同的兩點，且∠AOB=45176。,OE=1,EF=，設∠AOE=α.（1）寫出△AOB的面積關于α的函數關系式f(α)。 （2）寫出函數f(x)的取值范圍。解：（1）∵OE=1，EF=∴∠EOF=60176。當α∈[0，15176。]時，△AOB的兩頂點A、B在E、F上，且AE=tanα,BE=tan(45176。+α)∴f(α)=S△AOB=[tan(45176。+α)－tanα]==當a∈（15176。,45176。]時，A點在EF上，B點在FG上，且OA=，OB=∴=S△AOB=OAOBsin45176。=sin45176。=綜上得：f(α)= （2）由（1）得：當α∈[0，]時f(α)= ∈[,－1]且當α=0時，f(α)min=；α=時，f(α)max=－1；當α∈時,－≤2α－≤，f（α）=∈[－,]且當α=時，f(α) min=－；當α=時，f(α) max=所以f(x) ∈[,]。說明：三角函數與其他數學知識有著緊密的關系，它幾乎滲透了數學的每一個分支。練習時注意三角函數的綜合應用。例 已知函數y=cos2x+sinxcosx+1 （x∈R）,（1）當函數y取得最大值時，求自變量x的集合；（2）該函數的圖像可由y=sinx(x∈R)的圖像經過怎樣的平移和伸縮變換得到？解：（1）y=cos2x+sinxcosx+1= (2cos2x－1)+ +（2sinxcosx）+1=cos2x+sin2x+=(cos2xsin+sin2xcos)+=sin(2x+)+所以y取最大值時，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即 x=+kπ,（k∈Z）。所以當函數y取最大值時，自變量x的集合為{x|x=+kπ,k∈Z}（2）將函數y=sinx依次進行如下變換：（i）把函數y=sinx的圖像向左平移，得到函數y=sin(x+)的圖像；（ii）把得到的圖像上各點橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到函數y=sin(2x+)的圖像；（iii）把得到的圖像上各點縱坐標縮短到