【文章內(nèi)容簡介】 － ≤sinx≤。又函數(shù)y=tanx在x=kπ+(k∈Z)處無定義，且 （－，）[－,]（－π, π），∴令sinx=177。，則sinx=177。解之得：x=kπ177。 (k∈Z)∴f(x)的定義域是A={x|x∈R，且x≠kπ177。，k∈Z}∵tanx在（－，）內(nèi)的值域?yàn)椋ǎ蓿?∞），而當(dāng)x∈A時，函數(shù)y=sinx的值域B滿足（－，）B∴f(x)的值域是（－∞，+∞）。（2）由f(x)的定義域知，f(x)在[0，π]中的x=和x=處無定義。設(shè)t=sinx，則當(dāng)x∈[0, )∪（，）∪（，π）時，t∈[0, ∪(,，且以t為自變量的函數(shù)y=tant在區(qū)間（0，），（，上分別單調(diào)遞增。又∵當(dāng)x∈[0，]時，函數(shù)t=sinx單調(diào)遞增，且t∈[0, 當(dāng)x∈（，時，函數(shù)t=sinx單調(diào)遞增，且t∈（, 當(dāng)x∈[，時，函數(shù)t=sinx單調(diào)遞減，且t∈（, 當(dāng)x∈（，π）時，函數(shù)t=sinx單調(diào)遞減，且t∈（0，）∴f(x)=tan(sinx)在區(qū)間[0，,（,上分別是單調(diào)遞增函數(shù)；在上是單調(diào)遞減函數(shù)。又f(x)是奇函數(shù)，所以區(qū)間（－，0，[－，－也是f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是f(x)的遞減區(qū)間。故在區(qū)間（－π，π）中,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[－，－，（－，），（，單調(diào)遞減區(qū)間為。（3）由f(x)=tanπ得：tan(sinx)=tan(π)sinx=kπ+π （k∈Z）sinx=k+(k∈Z)①又∵－1≤sinx≤1，∴∴k=0或k= －1當(dāng)k=0時，從①得方程sinx=當(dāng)k=1時，從①得方程sinx= －+顯然方程sinx=,sinx= －+，在（－π, π）上各有2個解，故f(x)=tanπ在區(qū)間（－π，π）上共有4個解。說明：本題是正弦函數(shù)與正切函數(shù)的復(fù)合。（1）求f(x)的定義域和值域，應(yīng)當(dāng)先搞清楚y=sinx的值域與y=tanx的定義域的交集；（2）求f(x)的單調(diào)區(qū)間，必須先搞清f(x)的基本性質(zhì)。如奇偶性、周期性、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性等。例3 、已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?[ －5，1 ]，求常數(shù)a、b的值．解：∵ ， ．∵ ，∴ ，∴ ．當(dāng)a 0時，b ≤ f ( x ) ≤ 3a + b，∴ 解得 當(dāng)a 0時，3a + b ≤ f ( x ) ≤ b ．∴ 解得 故a、b的值為 或 說明：三角函數(shù)作為函數(shù)，其定義域和值域也是它的要素，要待定表達(dá)式中的常數(shù)值，需注意常數(shù)變化對值域的影響．例設(shè)的周期，最大值，（1）求、的值； （2）.解：(1) ， ， ， 又 的最大值， ① ， 且 ②，由 ①、②解出 a=2 , b=3.(2) ， ， ， ， 或 ， 即 ( 共線，故舍去) ， 或 ， .說明：方程組的思想是解題時常用的基本思想方法；在解題時不要忘記三角函數(shù)的周期性。例已知:sin3α+cos3α=1，求sinα+cosα。 sin4α+cos4α。sin6α+cos6α的值。解法一：令sinα+cosα=t，則sinαcosα=∴sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α－sinαcosα+cos2α)=t(1－)=1，得：t3－3t+2=0(t－1)2(t+2)=0∵t≠－2 ∴t=sinα+cosα=1，且sinαcosα==0?！鄐in4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2 – 2sin2αcos2α=1－20=1sin6α+cos6α=(sin2α+cos2α)(sin4α－sin2αcos2α+cos4α)=1解法二：∵sin3α≤sin2α,cos3α≤cos2α∴sin3α+cos3α≤sin2α+cos2α=1等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立，或∴sinα+cosα=sin4α+cos4α=sin6α+cos6α=1說明：（1）凡是遇到sinx+cosx與sinxcosx類的問題，均應(yīng)采用換元法，令sinx+cosx=t，得sinxcosx=。（2）三角中的恒等變形與初中所學(xué)整式的恒等變形結(jié)合是解本題的關(guān)鍵所在。（3）本題還可推廣到一般情形：若k≥2且sin2k－1α+cos2k－1α=1，則sinα=1，cosα=0或sinα=0,cosα=1，若sin2kα+cos2kα=1，則sinα=177。1，cosα=0或sinα=0,cosα=177。1。例設(shè)f(x)=tanx,x∈(0, ),若x1，x2∈(0,),且x1≠x2,證明：[ f(x1)+ f(x2)]f()證明:tanx1+ tanx2=+== ∵x1,x2∈（0，），且x1≠x2∴2sin(x1+x2)0,cosx1cosx20,0cos(x1－x2)1從而有0cos(x1+x2)+cos(x1－x2)1+cos(x1+x2)∴tan x1+tanx2=2tan另證：以上是采用化弦，放縮后利用公式tan=加以證明的，也可以利用正切的和差角公式加以證明。左邊－右邊=[tanx1+tanx2]－tan= [tanx1－tan+tanx2－tan]=[tan(x1－)(1+tanx1tan)+tan(x2－)(1+tanx2tan)]=tan(1+tanx1tan－1－tanx2tan)=tantan(tanx1－tanx2) ，∵∈(0, ) ∴tan0又∵tan和tanx1－tanx2在x1x2時，同為正，在x1x2時，同為負(fù)，所以tan（tanx1－tanx2）0。綜上tantan(tanx1－tanx2)0，即[f(x1)+f(x2)]f()說明：在三角函數(shù)恒等式、條件等式、不等式證明中，常采用化弦法。本題解法一是化弦，了解決把兩個分?jǐn)?shù)的單角轉(zhuǎn)化為和角，同時又使函數(shù)值適當(dāng)縮小。例如圖，A、B是一矩 OEFG邊界上不同的兩點(diǎn)，且∠AOB=45176。,OE=1,EF=，設(shè)∠AOE=α.（1）寫出△AOB的面積關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式f(α)。 （2）寫出函數(shù)f(x)的取值范圍。解：（1）∵OE=1，EF=∴∠EOF=60176。當(dāng)α∈[0，15176。]時，△AOB的兩頂點(diǎn)A、B在E、F上，且AE=tanα,BE=tan(45176。+α)∴f(α)=S△AOB=[tan(45176。+α)－tanα]==當(dāng)a∈（15176。,45176。]時，A點(diǎn)在EF上，B點(diǎn)在FG上，且OA=，OB=∴=S△AOB=OAOBsin45176。=sin45176。=綜上得：f(α)= （2）由（1）得：當(dāng)α∈[0，]時f(α)= ∈[,－1]且當(dāng)α=0時，f(α)min=；α=時，f(α)max=－1；當(dāng)α∈時,－≤2α－≤，f（α）=∈[－,]且當(dāng)α=時，f(α) min=－；當(dāng)α=時，f(α) max=所以f(x) ∈[,]。說明：三角函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識有著緊密的關(guān)系，它幾乎滲透了數(shù)學(xué)的每一個分支。練習(xí)時注意三角函數(shù)的綜合應(yīng)用。例 已知函數(shù)y=cos2x+sinxcosx+1 （x∈R）,（1）當(dāng)函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合；（2）該函數(shù)的圖像可由y=sinx(x∈R)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？解：（1）y=cos2x+sinxcosx+1= (2cos2x－1)+ +（2sinxcosx）+1=cos2x+sin2x+=(cos2xsin+sin2xcos)+=sin(2x+)+所以y取最大值時，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即 x=+kπ,（k∈Z）。所以當(dāng)函數(shù)y取最大值時，自變量x的集合為{x|x=+kπ,k∈Z}（2）將函數(shù)y=sinx依次進(jìn)行如下變換：（i）把函數(shù)y=sinx的圖像向左平移，得到函數(shù)y=sin(x+)的圖像；（ii）把得到的圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖像；（iii）把得到的圖像上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到