【正文】 P(B)所以，|ρ|≤1.36. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為fX(x)=令Y=X2，F(xiàn)（x,y）為二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)，求：(1) Y的概率密度fY(y)；(2) Cov(X,Y)。P(),D(Y)=P(B)E(Y)= =0從而 =0，0P(A)1，0P(B)1,則稱ρ=：（1） 事件A和B獨(dú)立的充分必要條件是ρ=0；（2） |ρ|≤1. 【證】（1）由ρ的定義知，ρ=0當(dāng)且僅當(dāng)P(AB) P(A)當(dāng)t≥0時(shí)，利用卷積公式得故得由于Ti ~E(5),故知E(Ti)=,D(Ti)=(i=1,2)因此，有E(T)=E(T1+T2)=.又因T1,T2獨(dú)立，所以D（T）=D（T1+T2）=.，Y相互獨(dú)立，且都服從均值為0，方差為1/2的正態(tài)分布，求隨機(jī)變量|X Y|的方差. 【解】設(shè)Z=X Y，由于且X和Y相互獨(dú)立，故Z~N（0，1）.因 而 ，所以 .(0p1)，各產(chǎn)品合格與否相互獨(dú)立，當(dāng)出現(xiàn)一個(gè)不合格產(chǎn)品時(shí)，求E（X）和D（X）. 【解】記q=1 p, X的概率分布為P{X=i}=qi 1p,i=1,2,…，故又 所以 題29圖（0，1），（1，0）及（1，1）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域上服從均勻分布.（如圖），試求隨機(jī)變量U=X+Y的方差. 【解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)+2[E(XY) E(X)（3） D（X）.【解】(1) 由得.(2) (3) 故 ，其中9個(gè)合格品，從袋中一個(gè)一個(gè)地取出（取出后不放回），設(shè)在取出合格品之前已取出的廢品數(shù)為隨機(jī)變量X，求E（X）和D（X）.【解】設(shè)隨機(jī)變量X表示在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)，則X的可能取值為0，1，2，下面求取這些可能值的概率，易知 于是，得到X的概率分布表如下：X0123P由此可得 （以年計(jì)）服從指數(shù)分布，概率密度為f（x）=為確保消費(fèi)者的利益，工廠獲利100元，而調(diào)換一臺則損失200元，試求工廠出售一臺設(shè)備贏利的數(shù)學(xué)期望.【解】廠方出售一臺設(shè)備凈盈利Y只有兩個(gè)值：100元和 200元 故 (元).，X2，…，Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且有E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2，i=1，2，…，n，記，S2=.（1） 驗(yàn)證=μ， =；（2） 驗(yàn)證S2=；（3） 驗(yàn)證E（S2）=σ2.【證】(1) (2) 因 故.(3) 因,故同理因,故.從而 ，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)= 1,計(jì)算：Cov（3X 2Y+1，X+4Y 3）.【解】 (因常數(shù)與任一隨機(jī)變量獨(dú)立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余類似).（X，Y）的概率密度為f（x，y）=試驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨(dú)立的.【解】設(shè). 同理E(Y)=0.而 ,由此得,故X與Y不相關(guān).下面討論獨(dú)立性，當(dāng)|x|≤1時(shí)， 當(dāng)|y|≤1時(shí)，.顯然故X和Y不是相互獨(dú)立的.（X，Y）的分布律為XY 1 0 1 1011/8 1/8 1/81/8 0 1/81/8 1/8 1/8驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨(dú)立的.【解】聯(lián)合分布表中含有零元素，X與Y顯然不獨(dú)立，由聯(lián)合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表101X 101 PY 101 PXY 101 P由期望定義易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.從而E(XY)=E(X)（2） E（2X 3Y2）.【解】 從而(1)(2)f（x）=求（1） 系數(shù)c。（X，Y）的分布密度f（x，y）=求：（1） 常數(shù)A；（2） 隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)；（3） P{0≤X1，0≤Y2}.【解】（1） 由得 A=12（2） 由定義，有 (3) （X，Y）的概率密度為f（x，y）=（1） 確定常數(shù)k；（2） 求P{X＜1，Y＜3}；（3） 求P{X}；（4） 求P{X+Y≤4}.【解】（1） 由性質(zhì)有故 （2） (3) (4) 題5圖，X在（0，）上服從均勻分布，Y的密度函數(shù)為fY（y）=求：（1） X與Y的聯(lián)合分布密度；（2） P{Y≤X}.題6圖【解】（1） 因X在（0，）上服從均勻分布，所以X的密度函數(shù)為而所以 (2) （X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為F（x，y）=求（X，Y）的聯(lián)合分布密度.【解】（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求邊緣概率密度.【解】 題8圖 題9圖（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求邊緣概率密度.【解】 題10圖（X，Y）的概率密度為f（x，y）=（1） 試確定常數(shù)c；（2） 求邊緣概率密度.【解】（1） 得.(2) （X，Y）的概率密度為f（x，y）=求條件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）. 題11圖【解】 所以 ，2，3，4，5，從中任取3個(gè)，記這3個(gè)號碼中最小的號碼為X，最大的號碼為Y.（1） 求X與Y的聯(lián)合概率分布；（2） X與Y是否相互獨(dú)立？【解】（1） X與Y的聯(lián)合分布律如下表YX345120300(2) 因故X與Y不獨(dú)立（X，Y）的聯(lián)合分布律為XY2 5 8 （1）求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布；（2） X與Y是否相互獨(dú)立？【解】（1）X和Y的邊緣分布如下表XY258P{Y=yi}(2) 因故X與Y不獨(dú)立.，X在（0，1）上服從均勻分布，Y的概率密度為fY（y）=（1）求X和Y的聯(lián)合概率密度；（2） 設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0，試求a有實(shí)根的概率.【解】（1） 因 故 題14圖(2) 方程有實(shí)根的條件是故 X2≥Y，從而方程有實(shí)根的概率為： （以小時(shí)計(jì)），并設(shè)X和Y相互獨(dú)立，且服從同一分布，其概率密度為f（x）=求Z=X/Y的概率密度.【解】如圖,Z的分布函數(shù)(1) 當(dāng)z≤0時(shí)，（2） 當(dāng)0z1時(shí)，（這時(shí)當(dāng)x=1000時(shí),y=）(如圖a) 題15圖(3) 當(dāng)z≥1時(shí)，（這時(shí)當(dāng)y=103時(shí)，x=103z）（如圖b） 即 故 （以小時(shí)計(jì)）近似地服從N（160，） 只，求其中沒有一只壽命小于180的概率.【解】設(shè)這四只壽命為Xi(i=1,2,3,4)，則Xi~N（160，202），從而 ，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布律分別為P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…，P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，….證明隨機(jī)變量Z=X+Y的分布律為P{Z=i}=，i=0，1，2，….【證明】因X和Y所有可能值都是非負(fù)整數(shù)，所以 于是 ，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從參數(shù)為n，=X+Y服從參數(shù)為2n，p的二項(xiàng)分布.【證明】方法一：X+Y可能取值為0，1，2，…，2n. 方法二：設(shè)μ1,μ2,…,μn。由X~N（220，252）知 由全概率公式有由貝葉斯公式有（1，2）上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量Y=e2X的概率密度fY(y).【解】因?yàn)镻（1X2）=1,故P（e2Ye4）=1當(dāng)y≤e2時(shí)FY（y）=P(Y≤y)=0. 當(dāng)e2ye4時(shí)， 當(dāng)y≥e4時(shí)，即 故 fX(x)=求隨機(jī)變量Y=eX的密度函數(shù)fY(y). (1995研考)【解】P（Y≥1）=1當(dāng)y≤1時(shí)，當(dāng)y1時(shí)， 即 故 fX(x)=,求Y=1的密度函數(shù)fY(y). 【解】 故 （t）服從參數(shù)為λt的泊松分布.（1） 求相繼兩次故障之間時(shí)間間隔T的概率分布；（2） 求在設(shè)備已經(jīng)無故障工作8小時(shí)的情形下，再無故障運(yùn)行8小時(shí)的概率Q.（1993研考）【解】（1） 當(dāng)t0時(shí)，當(dāng)t≥0時(shí)，事件{Tt}與{N(t)=0}等價(jià)，有即 即間隔時(shí)間T服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。（λ），每個(gè)顧客購買某種物品的概率為p，并且各個(gè)顧客是否購買該種物品相互獨(dú)立，求進(jìn)入商店的顧客購買這種物品的人數(shù)Y的分布律.【解】設(shè)購買某種物品的人數(shù)為Y，在進(jìn)入商店的人數(shù)X=m的條件下，Y~b(m,p)，即由全概率公式有 此題說明：進(jìn)入商店的人數(shù)服從參數(shù)為λ的泊松分布，購買這種物品的人數(shù)仍服從泊松分布，但參數(shù)改變?yōu)棣藀.：Y=1e2X在區(qū)間（0，1）上服從均勻分布. 【證】X的密度函數(shù)為由于P（X0）=1，故01e2X1，即P（0Y1）=1當(dāng)y≤0時(shí)，F(xiàn)Y（y）=0當(dāng)y≥1時(shí)，F(xiàn)Y（y）=1當(dāng)0y1時(shí)，即Y的密度函數(shù)為即Y~U（0，1）f(x)=若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范圍. (2000研考)【解】由P（X≥k）=知P（Xk）=若k0,P(Xk)=0若0≤k≤1,P(Xk)= 當(dāng)k=1時(shí)P（Xk）=若1≤k≤3時(shí)P（Xk）=若3k≤6，則P（Xk）=若k6,則P（Xk）=1故只有當(dāng)1≤k≤3時(shí)滿足P（X≥k）=.F(x)=求X的概率分布. （1991研考）【解】由離散型隨機(jī)變量X分布律與分布函數(shù)之間的關(guān)系，可知X的概率分布為X113