[理學(xué)]第十一章動(dòng)量矩定理(參考版)
2025-01-22 15:13本頁面
【正文】 應(yīng)用平面運(yùn)動(dòng)微分方程，可得 Sc osCxm a T F?? ? ?2 Sm F r T a?? ? ? ? ? ? 輪子只滾不滑，其角速度和輪心的加速度的關(guān)系為 Cxar? ?聯(lián)立求解以上方程，可得滾子 C的加速度 )()c os(22 ?????rmarTraCx NF C T ? gm SF ? Cxa 謝 謝！ ?？蓱?yīng)用平面運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行求解。鼓輪的半徑為 a，滾子對(duì)軸 C的回轉(zhuǎn)半徑為 ρ ，做只滾不滑的運(yùn)動(dòng)，試求滾子 C的加速度。F Ba C O A OyF P A? OxF TF M T ? r C a NF C T ? gm SF ? Cxa 【 例 1110】 一均質(zhì)滾子質(zhì)量為 m，半徑為 r，放在粗糙的水平地面上，如圖所示。 r? ??由輪的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析可知 raaa BABCCB ????? )( ??gPr MPra B ??? 32代入后求解可得到圓柱體 B下降時(shí)質(zhì)心的加速度 當(dāng) aB≤ 0時(shí)，即 M≥2Pr 時(shí)，圓柱體 B的質(zhì)心將上升。F Ba C O A OyF P A? OxF TF TAAJ F r M? ? ? ?對(duì)于 A輪有 對(duì)輪 B應(yīng)用平面運(yùn)動(dòng)微分方程， 有 T BPP F 39。同上面的分析相似，分別列兩輪的動(dòng)力學(xué)微分方程。 ag??TBBJ F 39。輪 A做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，輪 B做平面運(yùn)動(dòng)。求： (1) 圓柱體B下降時(shí)質(zhì)心的加速度； (2) 若在圓柱體 A上作用一逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)矩 M，試問在什么條件下圓柱體 B的質(zhì)心將上升。F Ba C O A OyF P A? OxF TF 【 例 119】 均質(zhì)圓柱體 A和 B的重量均為 P，半徑均為 r，一繩纏在繞固定軸 O轉(zhuǎn)動(dòng)的圓柱體 A上，繩的另一端繞在圓柱體 B上，如圖所示。作用在圓輪上的外力有重物的重量 mg，地面對(duì)圓輪的正壓力 FN，滑動(dòng)摩擦力 F，以及作用在圓輪上的力偶矩 M，如圖所示。如果圓輪對(duì)地面的靜摩擦系數(shù)為 fs，問力偶矩 M 必須符合什么條件才能不致使圓輪滑動(dòng)。設(shè)圓輪的慣性半徑為 ρC, 作用在圓輪上的力偶矩為 M。故有 ( ) ( )O i i i i i C i i im m 39。質(zhì)心 C矢徑為 rC，質(zhì)心 C的速度為 vC。即 ( ) ( ) ( )i i i iCOO Cm m m????M v M v M v 證明：設(shè)質(zhì)點(diǎn) Mi的質(zhì)量為 mi，該質(zhì)點(diǎn)的速度為 vi。 剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 O y x C A ? 如圖所示的剛做作平面運(yùn)動(dòng)，結(jié)合質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程可寫為 d( ) ( )dCCCmJMt?? ????????aFF寫成投影形式為 ()CxCyCCm x Fm y FJM?? ???????????? F O z C x y ir i39。這個(gè)結(jié)論稱為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于 質(zhì)心的動(dòng)量矩定理。t t t? ? ? ? ? ? ??r v r v L r r F即 上式右端是外力對(duì)于質(zhì)心的主矩，于是得 ed ()d C C it ?L M F上式可寫為 edd C i i39。r im riv ir 這樣，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于點(diǎn) O的動(dòng)量矩可表示為 O C C Cm? ? ?L r v L 上式表明，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一點(diǎn) O 的動(dòng)量矩等于集中于系統(tǒng)質(zhì)心的動(dòng)量 mvC對(duì)于點(diǎn) O的動(dòng)量矩與此系統(tǒng)對(duì)于質(zhì)心 C 的動(dòng)量矩 LC 的矢量和。 39。m m m m? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?iL r v r r v r v r v于是 C x y z O x39。m???L r v ( )O O i i i i imm? ? ???L M v r v質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于點(diǎn) O的動(dòng)量矩為 () iiO i i C i i C i i i i39。=0，故有 0iim39。 m 39。 39
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