[理學]第十一章 動量矩定理-文庫吧
2025-01-04 15:13 本頁面
【正文】 4zxyJ mRJ J mR??? 2212zxyRR?????? 細圓環(huán) 2zJ m R? z R? ? 圓柱體 212zJ mR? 22zR? ? 工程中幾種常用簡單形狀均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動慣量的 計算可查下表。 平行移軸公式 21 mdJJ Czz ?? 剛體對于任一軸 z1的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對與此軸平行的質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量 JzC，加上剛體的質(zhì)量與 z1軸到質(zhì)心軸 zC的距離 d平方的乘積。 O l d C 【 例 111】 鐘擺簡化如圖所示。已知均質(zhì)細桿和均質(zhì)圓盤的質(zhì)量分別為 m1和 m2，桿長為 l，圓盤直徑為 d。求鐘擺對于通過懸掛點 O的水平軸的轉(zhuǎn)動慣量。 解：分別計算桿和圓盤對于水平軸 O的轉(zhuǎn)動慣量 2113OJ m l?桿22 2COdJ J m l? ? ???????盤 222 38m d l ld? ? ??????? 2 2 2121338OJ m l m d l l d? ? ? ???????鐘擺對于通過懸掛點 O的水平軸的轉(zhuǎn)動慣量為 動量矩定理 質(zhì)點的動量矩定理 r m v ()OMF ()OmMv x y z O F M 如圖所示的質(zhì)點 M，其動量為 mv，則質(zhì)點 M對點 O的 動量矩用矢積可表示為 ()O mm??M v r v上式兩邊分別對時間求導數(shù)，可得 d ( ) =d O mmt ? ? ?M v v v r F即 d ( ) ( )d OOmt ? ? ?M v r F M F 上式稱為質(zhì)點動量矩定理，即質(zhì)點對某定點的動量矩對時間的一階導數(shù)等于作用于質(zhì)點的力對同一點的矩。 質(zhì)點系的動量矩定理 設(shè)有 n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，每個質(zhì)點的力分成內(nèi)力 和外力 ，根據(jù)質(zhì)點的動量矩定理有 iiFeiFied ( ) ( ) ( )d O i i O i O imt ??M v M F M F 對于 n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，共有 n個這樣的方程， 將這 n個方程相加，可得 ie1 1 1d ( ) ( ) ( )dn n nO i i O i O ii i imt? ? ???? ? ?M v M F M F由于內(nèi)力總是成對出現(xiàn)，故 ，上式可寫為 i1( ) 0n Oii??? MFe11d ( ) ( )dnnO i i O iiimt?????M v M F即 e1d ()dnO O iit ?? ?L M F 上式就是質(zhì)點系的動量矩定理?？杀硎鰹椋嘿|(zhì)點系對于某定點 O的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的所有外力對于同一點的矩的矢量和 (外力對點 O的主矩 )。 上式寫成投影形式為 e1d ()dnx x iiLMt?? ? Fe1d ()dny y iiLMt?? ? Fe1d ()dnz z iiLMt?? ? F 動量矩守恒定律 若作用于質(zhì)點系上外力對某點之矩的矢量和 (即外力偶系的主矩 )為零，則質(zhì)點系的總動量矩保持不變。即如果 ，則 LO=常矢量。若作用在質(zhì)點系上的外力對某固定軸之矩的代數(shù)和等于零，如果 ，則 Lz=常數(shù)。這個結(jié)論稱為動量矩守恒定律。 e1( ) 0n Oii??? MFe( ) 0zim ?? F M m2g xF F m1g O 【 例 112】 如圖所示提升裝置中，已知滾筒直徑 d，它對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為 J。求重物上升的加速度。 解：取滾筒和重物組成的質(zhì)點系為研究對象，受力分析如圖所示。設(shè)某瞬時滾筒轉(zhuǎn)動的角速 度為 ω，則重物上升的速度為 v=d ω/2。整個系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸 O的動量矩為 22224OddL J m v J m? ? ?? ? ? ?由質(zhì)點系的動量矩定理，有 2)4(dddd222dgmMdmJtLt
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