【正文】 返回首頁(yè) Theoretical Mechanics 第 14章 動(dòng)量矩定理 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 Theoretical Mechanics 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 22 iiiiiiiz rmrmvmrL ??????? ??2iiz rmI ??剛體對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積。 設(shè)剛體在外力作用下繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度 ?，角加速度 ?。 令 z 軸與轉(zhuǎn)軸重合，剛體對(duì) z 軸的動(dòng)量矩為 ?zz IL ?應(yīng)用質(zhì)系對(duì) z軸的動(dòng)量矩方程，得： ? ? ? ?? ?eizz FmIt ???ddzz MI ?? 返回首頁(yè) Theoretical Mechanics )( Fzz MI ???此式稱為 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程 由于約束力對(duì) z 軸的力矩為零，所以方程中只需考慮主動(dòng)力的矩 zz MtI ?22dd ?? ? ? ?? ?eizz FmIt ???dd （ 1） 外力矩 Mz越大 ， 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度也越大 。 當(dāng) Mz=0時(shí) ， 角加速度 ? = 0， 剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)或保持靜止 。 （ 2）在同樣的外力矩作用下，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 Iz越大，角加速度 ?越小。 Iz反映了剛體保持其勻速轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)能力的大小，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的慣性度量。 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 返回首頁(yè) Theoretical Mechanics 例 均質(zhì)梁 AB長(zhǎng) l，重 W，由鉸鏈 A和繩所支持。若突然剪斷聯(lián)結(jié) B點(diǎn)的軟繩，求繩斷前后鉸鏈 A的約束力的改變量。 解：以梁為研究對(duì)象 ， 繩未斷以前是靜力學(xué)問題 。 由靜平衡方程可求出繩未斷時(shí) ， 鉸鏈 A的約束力 21WFAy ? 繩斷之后 ， 梁 AB將繞 A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng) 。繩斷瞬時(shí) ， ? = 0。 231 2 lWlgW ??應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)方程 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 例 題 lg23?? ? 返回首頁(yè) Theoretical Mechanics 再應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求約束力。圖示瞬時(shí)，質(zhì)心 C的加速度 4321,0 gaaCnC ??? ??WWWFFWggWFMaFFMaAyAyycyAxxcx414343,0,222??????????于是 ， 繩斷前后 ， 鉸鏈 A約束力的改變量為 44221WWWFFFAyAyAy ?????? 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 例 題 返回首頁(yè) Theoretical Mechanics 例 卷?yè)P(yáng)機(jī)的傳動(dòng)輪系如圖，設(shè)軸 I 和 ? 各自轉(zhuǎn)動(dòng)部分對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為 I1和 I2，軸 I的齒輪 C上受主動(dòng)力矩M的作用，卷筒提升的重 W =mg。齒輪 A、B 的節(jié)園半徑為 r1 ， r2，兩輪角加速度之比 ?1 ??2= r1? r2 =i12。卷筒半徑為 R ，不計(jì)軸承摩擦及繩的質(zhì)量。求重物的加速度 。 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 例 題 返回首頁(yè) Theoretical Mechanics 解：本題二根固定軸必須拆開，分別以兩軸及與其固連的齒輪為研究對(duì)象。軸 I 除受主動(dòng)力矩 M和重力、軸承約束力外，還受有齒輪力 Ft 及 Fn，現(xiàn)假設(shè) ?1與 M的方向相同如圖。軸 I 的轉(zhuǎn)動(dòng)方程為 1τ11 rFMI ???再以軸 ? 和重物 W 為研究對(duì)象。按運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系畫出 ?2 (?1反向 )，以 ?2轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，?yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理， ? ? m g RrFm v RIt ??? 2τ22dd ? 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 例 題 返回首頁(yè) Theoretical Mechanics 1τ11 rFMI ??? ? ? m gRrFmRI ??? 2τ222 ?式中有三個(gè)未知量 ? ?2和 Ft， 還需建立補(bǔ)充方程 。 由運(yùn)動(dòng)學(xué) 121221 irr ????重物上升的加速度 ? ?22212112mRIiIRm g RMiRa????? ?222121122 mRIiIm g RMi?????聯(lián)立解得 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 例 題 返回首頁(yè) Theoretical Mechanics 例 阿特伍德機(jī)的滑輪質(zhì)量為 M，且均勻分布，半徑為 r。兩重物系于繩的兩端，質(zhì)量分別為 m1和 m2。試求重物的加速度。 解 ： 以整體為研究對(duì)象，畫受力圖。設(shè)滑輪有逆時(shí)針方向的轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為 ?，則滑輪對(duì)軸 O的動(dòng)量矩、兩重物對(duì)軸 O的動(dòng)量矩分別為 ?? 21 21 MrIL OO ?? ?2112 rmvrmL O ?? ?2223 rmvrmL O ??系統(tǒng)對(duì)軸 O的動(dòng)量矩為上述三項(xiàng)動(dòng)量矩之和 ， 即 ?221321 21 rMmmLLLL OOOO ?????? ?????? 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 例 題 返回首頁(yè) Theoretical Mechanics 應(yīng)用動(dòng)量矩定理 grmgrmrMmmt 21221 21dd ???????? ?? ?? ? grmmrMmm 21221 21 ???????? ?? ?? ? ? ?? ? rMmmgmmrMmmgmm?????????? ?????2121212122221?重物的加速度 ? ?gMmm mmra ?? ???2121222? 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 例 題 返回首頁(yè) Theoretical Mechanics 例 圖中質(zhì)量 m1 = 5 kg，半徑 r=30cm的均質(zhì)圓盤，可繞鉛直軸 z 轉(zhuǎn)動(dòng)，在圓盤中心用鉸鏈 D連接質(zhì)量 m2 = 4 kg的均質(zhì)細(xì)桿 AB，AB桿長(zhǎng)為 2r，可繞 D轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng) AB桿在鉛直位置時(shí)，圓盤的角速度為 ，試求桿轉(zhuǎn)到水平位置碰到銷釘 C而相對(duì)靜止時(shí)，圓盤的角速度。 m inr90??解 ： 以圓盤、桿及軸為研究對(duì)象，畫出其受力圖。由受力分析看出，在 AB桿由鉛直位置轉(zhuǎn)至水平位置的整個(gè)過程中，作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì) z軸之矩為零，即 。因此，質(zhì)點(diǎn)系對(duì) z軸的動(dòng)量矩守恒。 ? ? 0?? Fzm 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 例 題 返回首頁(yè) Theoretical Mechanics ?? 210 41 rmIL zz ??桿在鉛直位置時(shí)，只有圓盤對(duì) z軸的動(dòng)量矩 桿在水平位置時(shí) ， 設(shè)系統(tǒng)的角速度為 ?1，系統(tǒng)包含圓盤及桿對(duì) z軸的動(dòng)量矩 。 ? ? 1221211221211 3141212141 ωrmωrmωrmωrmL z ????系統(tǒng)動(dòng)量矩守恒 10 zz LL ?12212121 314141 ??? rmrmrm ??將有關(guān)數(shù)值代入 r a d / ?ω 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 例 題 ??1211413141mmm?? 返回首頁(yè) 返回首頁(yè) Theory of Vibration with Applications 已知 大輪半徑 R，質(zhì)量 m，對(duì)軸的回轉(zhuǎn)半徑為 ?，彈性繩的彈性系數(shù)為 k，小輪半徑為 r，它的擺動(dòng)規(guī)律是 ? = ?0 sin? t，不計(jì)小輪和彈性繩質(zhì)量，且繩不松弛； 求 大輪穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的振幅。 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 例 題