[理學(xué)]第十一章動量矩定理(已修改)
2025-01-31 15:13 本頁面
【正文】 第 11章 動量矩定理 質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩 動量矩定理 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的微分方程 質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理 剛體平面運(yùn)動微分方程 質(zhì)點的動量矩 O r m v xym v x y z M ()OmMv ? 設(shè)有質(zhì)點 M，其質(zhì)量為 m，速度為 v，動量為 mv，點 M的矢徑為 r，如圖所示。把質(zhì)點 M 的動量 mv 對 O點的矩，即 ()OO m m? ? ?MvL r v 定義為質(zhì)點的動量對于點 O的動量矩。由式可以看出，質(zhì)點的動量對于點 O的動量矩是矢量。 質(zhì)點動量 mv 在 Oxy平面上的投影 mvxy 對于點 O 的動量矩，定義為質(zhì)點的動量對 z 軸的矩。即 ( ) ( )z z O x yL M m M m?? vv 質(zhì)點和質(zhì)點系的動量矩 質(zhì)點的動量對于 z 軸的動量矩是代數(shù)量。 由投影關(guān)系可知 ( ) [ ( ) ]z O zM m m?v M v 即質(zhì)點的動量對于某點 O 的動量矩矢在通過該點的 z 軸上的投影時等于該質(zhì)點的動量對于該軸的動量矩。動量矩的單位為 kg?m2/s。 質(zhì)點系的動量矩 質(zhì)點系對點 O 的動量矩等于各質(zhì)點對同一點 O 的動量矩的矢量和，或稱為質(zhì)點系動量對點 O 的主矩，即 1()nO O i iim?? ?L M v 質(zhì)點系對某軸 z 的動量矩等于各質(zhì)點對同一軸的動量矩 的代數(shù)和，即 1()nz z i iiL M m?? ? v 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時對轉(zhuǎn)軸的動量矩 11()nnz z i i i i iiiL M m v m v r????????????niiiniiii rmωrωrm121)( iim v z x y ? ir O im 工程中，常需計算作定軸轉(zhuǎn)動的剛體對固定軸的動量矩。剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時對轉(zhuǎn)軸的動量矩可表示為 從轉(zhuǎn)動慣量的公式可見，影響其大小的有兩個因素，一是它的質(zhì)量大小，另一個因素具體反映在剛體的形狀及其與轉(zhuǎn)軸的相對位置。轉(zhuǎn)動慣量的單位為 kg?m2。 結(jié)論：繞定軸轉(zhuǎn)動剛體對其轉(zhuǎn)軸的動量矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與轉(zhuǎn)動角速度的乘積。 引入 ，稱為剛體對 z軸的轉(zhuǎn)動慣量，它表明了剛繞定軸 z 轉(zhuǎn)動時的慣性大小。則上式可寫為 zniii Jrm ???12??? zz JL 常見物體的轉(zhuǎn)動慣量 若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布的，則轉(zhuǎn)動慣量公式又可 改寫成如下形式 20 d mz J r m? ?x x d x l z O 利用上式可將幾種常見的形狀規(guī)則、質(zhì)量均勻剛體 的轉(zhuǎn)動慣量計算出來。 (1) 長為 l，質(zhì)量為 m的均質(zhì)直桿 均質(zhì)直桿對過端點 O的 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量為 22013lzmJ x d x m ll? ? ?? x dx l x z O im r O ? O d ? 均質(zhì)直桿對過中點 O的 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量為 2222112llzmJ x d x m ll?? ? ??221mrrmJniiO ?? ?? (2) 半徑為 r，質(zhì)量為 m的均質(zhì)薄圓環(huán)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為 (3) 半徑為 R，質(zhì)量為 m的均質(zhì)圓板對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為 2202 π dπROρJmR? ????322 021d2Rm mRR ????? 回轉(zhuǎn)半徑 在工程實際中有時也把轉(zhuǎn)動慣量寫成剛體的總質(zhì)量 m與當(dāng)量長度 ρz的平方的乘積形式，即 2zzmJ ??上式中， ρ z為剛體對于 z軸的回轉(zhuǎn)半徑，又稱慣性半徑。于是 zz mJ? ?表 1 簡單形狀均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動慣量 物體形狀 轉(zhuǎn)動慣量 回轉(zhuǎn)半徑 物體形狀 轉(zhuǎn)動慣量 回轉(zhuǎn)半徑 細(xì)長桿 2211213zzJ m lJ m l??? 3633zzll????? 薄圓板 22121
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