【正文】 87 數(shù)學(xué)期望的力學(xué)解釋 在坐標軸上的 x1,x2,...,等點處放置質(zhì)量為 p1,p2,...的質(zhì)點 , 則數(shù)學(xué)期望處為整個質(zhì)點體系的重心 . x1 x2 x3 p1 p2 p3 EX 88 例題與解答 ? 例 1 若 ?服從 01分布 , 其概率函數(shù)為P{?=k}=pk(1?p)1?k (k=0,1), 求 E? ? 解 E?=0?(1?p)+1?p=p x o 1 p p 1?p 89 例題與解答 ? 解 E?=1?+2?+3?= Eh=1?+2?+3?= 這表明 , 如多次射擊 , 他們得分的平均值分別是 , 故乙射手較甲射手的技術(shù)好。 202218202218202218202218202218202218pppnnnnnnnnnnX??????????????????????????????頻率 86 離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望 ? 統(tǒng)計平均值 X與準確計算的平均值 EX還可能有差距 , 但是當(dāng)試驗次數(shù)趨向于無窮時 (頻率趨近概率 ), 統(tǒng)計平均值 X就趨近于 EX了。 83 數(shù)學(xué)期望 ? 數(shù)學(xué)期望 —— 描述隨機變量取值的平均特征 ? 例：假設(shè)一個班共 20人 , 其中 18歲的有 6人 , 19歲的有 10人 , 20歲的有 4人 , 現(xiàn)任取一人觀察其歲數(shù) , 則觀察到的歲數(shù) x為一隨機變量 , 不難求出 x的分布律如下表所示： X 18 19 20 P 6/20 10/20 4/20 84 計算平均值 計算上例中平均年齡的方法之一是： 將這個班的學(xué)生的每個人的年齡加起來 , 再除以這個班的人數(shù) 20人 (即 6個 18歲 , 10個 19歲 , 4個20歲加起來 ),得平均年齡為 2022182022182020419201018206202041910186pppEX???????????????85 續(xù)上頁 上面計算平均值的方法很準確，但有時卻不方便使用(如人數(shù)很多，近似“無窮”時 )。 fZ(z)=0 當(dāng) z0時， FZ(z)=P{Z≤z}=P{X2≤z} ??????? z z X dxxfzXzP )(}{zzfzzfdxxfdxxfzFzfXXzXzXZZ21)(21)(})()({)()(00???????? ???81 續(xù)上頁 (2) 因此， Z的概率密度為 ?????????000)1(1)(zzzzzf Z ?82 167。 ) 80 續(xù)上頁 (1) 對 Z=X2 ，由于 g(x)=x2不是單調(diào)函數(shù) ,故只能用“分布函數(shù)法”。 ( 2) ( ) ( )yyY X Y Xybp y p p y p e eaa???? ? ?解 答 ：79 例題與解答 ? 例 X~fX(x)， Y=eX， Z=X2，分別求 fY(y)和fZ(z)；其中 fX(x)=1/[?(1+x2)]。(2) 已 知 的 密 度 函 數(shù) 為 p 當(dāng) 時 ， 求 的 密 度 函 數(shù) 。 ? 解： Y的分布函數(shù)為 若 y=g(x)單調(diào)遞減 ,則 FY(y)=P{Y?y}=P{g(X)?y} =P{X?g1(y)}=1FX(g1(y)) ?Y的概率密度為 )())((]))((1[)(111ygdydygfygFyfXXY????????若 y=g(x)單調(diào)遞增 ,則 FY(y)=P{Y?y}=P{g(X)?y} =P{X ? g1(y)}=FX(g1(y)) ?Y的概率密度為 )())((]))(([)(111ygdydygfygFyfXXY??????76 “公式法 ” 求分布 (定理 ) 若 X～ fX(x), y=g(x)是 單調(diào)可導(dǎo) 函數(shù)且導(dǎo)數(shù)恒不為零 .記 x=h(y)為 y＝ g(x)的反函數(shù) ,(a,b)是 y＝ g(x)的值域 ,其中 ?ab+?,則 Y=g(X)是連續(xù)型隨機變量 ,其密度為 ??? ????其它0|)(|)]([)(byayhyhfyf XY注意 ： 1 只有當(dāng) g(x)是 x的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)時，才可用以上公式推求 Y的密度函數(shù)。 ? 解 : ydxFyyY ?? ?? 21當(dāng) 0≤y1時 ?????????其它01021)(39。 已 知X 服 從 參 數(shù) 為 的 指 數(shù) 分 布 ， 其 分 布 函 數(shù) 與 密 度 函 數(shù) 分 別 是 F現(xiàn) 要 求 的 分 布 函 數(shù) 或 密 度 函 數(shù)( ) ( ) 0 , 0Y X Yy P Y y y? ? ? ?Y首 先 討 論 的 可 能 取 值 。分布律為 : P{Z=0}=P{X=0}=1/3 P{Z=1}=P{X=1}+P{X=1}=2/3 Z P 0 1 3231P{Y=3}=P{X=1}=1/3 P{Y=1}=P{X=0}=1/3 P{Y=1} =P{X=1}=1/3 71 連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布 ? 求連續(xù)型隨機變量函數(shù)分布的“分布函數(shù)法” 若 X~f(x), ?x+?, Y=g(X)為隨機變量 X的函數(shù) ,則先將事件“ Y在范圍 {Y?y}取值”轉(zhuǎn)化為“ X在相應(yīng)范圍 I(y): {g(X) ?y}內(nèi)取值” ,然后求 Y的分布函數(shù) FY(y) ＝ P{Y?y}＝ P{g(X) ?y}＝ ?? yxgyIdxxf)(:)()(最后再求 Y的密度函數(shù) dyydFyf YY)()( ?這種方法就是所謂的“ 分布函數(shù)法 ” 72 ( ) 0 ,X E x p a Y a X? ??例 ： 設(shè) 和 求 的 概 率 分 布 。 X P 1 0 1 313131解 :由函數(shù)關(guān)系易知 Y的可取值為 :3,1,1。 問題 :如何由隨機變量 X的分布求其函數(shù) Y= g(X)的分布？ (有時 X分布易知，而 Y的分布難求 ) 69 離散型隨機變量函數(shù)的分布 ? 求離散型隨機變量函數(shù)分布的一般思想方法 X Pk Y=g(X) ?????? kxxx 21?????? kppp 21?????? )()()( 21 kxgxgxg或： Y＝ g(X)～ P{Y＝ g(xk)}＝ pk ， k＝ 1, 2, … (若其中 g(xk)有相同的，其對應(yīng)概率合并。 ? 離散型隨機變量函數(shù)的分布 ? 連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布 隨機變量的函數(shù) ：設(shè) X是隨機變量， g(x)是 x的一個函數(shù) (一般連續(xù) )，如果當(dāng) 隨機變量 X取值 x時，另一個隨機變量 Y必取值 g(x)，則稱隨機變量 Y是 X的函數(shù)，記作 Y= g(X)。 所以由 分布函數(shù)與分布密度的關(guān)系 ，得 )1(1)()(2xxFxf ???? ?注 ：具有上述分布的隨機變量亦稱服從 “ 柯西分布 ” 。試確定 A、 B及 f(x)。 解：由 分布函數(shù)與概率函數(shù)的關(guān)系 可知： ??????cxcxxF10)(F(x) x c 1 注 ：當(dāng)變量 X服從退化分布時，實際上它已經(jīng)是 確定性變量 了；為了方便分析分析我們將它看成 隨機變量的極端特例 。