【正文】 B2,B3表示 3個二級品 ,從中取出 3個產(chǎn)品的可能情況： B1B2B3 B1B2A1 B1B2A2 B1B3A1 B1B3A2 B2B3A1 B2B3A2 B1A1A2 B2A1A2 B3A1A2 即 { X=0 }={ B1B2B3 } { X=1 }={ B1B2A1， B1B2A2， B1B3A1， B1B3A2， B2B3A1， B1B2A2 } { X=2 }={ B1A1A2， B2A1A2， B3A1A2 } 概率值： P(X=0)=1/10,P(X=1)= 6/10,P(X=2)=3/10。 ? 總之，任何隨機試驗的基本結果，都可以用數(shù)量與之相對應。 2 167。 6 隨機變量的定義 ? 定義：隨機變量是定義在樣本空間 S={ω}上的一個單值實函數(shù)，記作 X=X(ω)，簡記為 X。亦稱 X服從兩點分布 。 30 概率密度函數(shù)的兩個性質 ? 連續(xù)型的概率非負性和概率完備性表現(xiàn)為 （ 1）非負性 ： f(x) ? 0， ( ? x +?)； （ 2）歸一性： .1)( ＝? ???? dxxfx 0 f(x) ( ) 1f x d x??????31 例題與解答 例 6 若 X有概率密度 試求 f(x)和 P{c?X ?d},其中 [c,d]?[a,b]。 故該四個性質是分布函數(shù)的 充分必要性 。分布律為 : Y P 3 1 1 313131Z的可取值為 : 0,1。 ? 數(shù)學期望的概念 ? 數(shù)學期望的簡單性質 ? 方差 ? 切貝紹夫不等式 * ? 矩 通常求出隨機變量的分布并不是一件容易的事 , 而人們更關心的是用一些數(shù)字來表示隨機變量的特點 , 這些與隨機變量有關的數(shù)字 , 就是隨機變量的數(shù)字特征 . 最常用的數(shù)字特征為數(shù)學期望 , 方差等。 ? 解： y=ex是單調可導函數(shù)，并且 y0,其反函數(shù)x=lny可導且 (lny)’=1/y 0，由定理 ，有 210( 1 l n )()00Yyyyfyy?????? ?? ??(這里因“ Y≤0”等價于“ eX ≤0”是不可能事件 ,故 FY(y)=0， fY(y)=0。 顯然，隨機變量的函數(shù)仍為隨機變量。 易知，對任意實數(shù) a, b (ab), P{aX ? b}＝ P{X ? b}－ P{X ? a}＝ F(b)－ F(a) 即 已知 X的分布函數(shù) F(x), 就能知道 X在任何一個區(qū)間上取值的概率 , 從這個意義上說 , 分布函數(shù)完整地描述了隨機變量的變化情況。 ?對連續(xù)型隨機變量而言，概率的幾何意義是分布密度函數(shù)曲線下方的面積 。記 pn=P{X =xn} (n=1,2,…),稱為 X的 概率函數(shù) ,又稱 X的 概率分布 。 ? 引入隨機變量可以全面考察試驗的一切可能結果，從而揭示客觀事物存在的統(tǒng)計規(guī)律性。 167。 ? 可以建立從樣本空間到實數(shù)集合的一個映射，即對每個給定樣本點 ?，存在著唯一的一個實數(shù) ?(?)與之對應。 ? 今后我們主要研究離散型和連續(xù)型隨機變量。 24 例題與解答 ? 例 5 盒內裝有外形與功率均相同的 15個燈泡 , 其中 10個螺口 , 5個卡口 , 現(xiàn)在需用 1個螺口燈泡 , 從盒中任取一個 , 如果取到卡口燈泡就不再放回去 . 求在取到螺口燈泡前已取出的卡口燈泡數(shù) ?的分布 .(幾何分布？ ) ? 解 “ ?=0”表示第一個就取到了螺口燈泡 , “?=1” 表示第一個取到卡口而第二個才取到螺口燈泡 , … 因此 P(?=0)=10/15=2/3 P(?=1)=(5/15)(10/14)=5/21 P(?=2)=(5/15)(4/14)(10/13)=20/273 P(?=3)=(5/15)(4/14)(3/13)(10/12)=5/273 P(?=4)=(5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(10/11)=10/3003 P(?=5)= (5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(1/11)=1/3003 25 如何描述連續(xù)型隨機變量？ ? 離散型隨機變量的統(tǒng)計特征可以用概率分布描述，非離散型的該如何描述？ ? 對于連續(xù)型隨機變量而言 ,用來描述離散型隨機變量的概率分布的方法不再適用了 .理由有(1)連續(xù)型隨機變量可以取區(qū)間上的所有實數(shù) ,但這些實數(shù)不能一一列舉 。因此， }{}2,{}|2{22222aXPaXaXPaXaXP????????????????????222222222}{}2{axaxdxedxeaXPaXP42)2(222?????? eeeaa36 練習 3 設連續(xù)型隨機變量 X的密度函數(shù)為 f(x)= ??????000exxk x(1)確定系數(shù) k,(2)求 P(X1),(3)求概率 P(1X?2) 解：利用概率密度的性質，有 : ????? ?xxf d)( ? ?? ???? ???0 0 1ede xx kxk 得 k=1, ?????? ?000e)(xxxf x　　　　　? ?? ?1 de xxP(X1)= ＝ e－ 1 P(1X?2) = ??21 d)( xxf= ??01d0 x+ ? ?20de xx=1e－ 2 37 分布函數(shù) 定義 ：若 X是任意一個隨機變量 (可以是離散型的 , 也可以是非離散型的 ), 對任何實數(shù) x,稱函數(shù) F(x)=P(X?x), ?x ? 是隨機變量 x的 分布函數(shù) 。 所以由 分布函數(shù)與分布密度的關系 ，得 )1(1)()(2xxFxf ???? ?注 ：具有上述分布的隨機變量亦稱服從 “ 柯西分布 ” 。(2) 已 知 的 密 度 函 數(shù) 為 p 當 時 ， 求 的 密 度 函 數(shù) 。 202218202218202218202218202218202218pppnnnnnnnnnnX??????????????????????????????頻率 86 離散型隨機變量的數(shù)學期望 ? 統(tǒng)計平均值 X與準確計算的平均值 EX還可能有差距 , 但是當試驗次數(shù)趨向于無窮時 (頻率趨近概率 ), 統(tǒng)計平均值 X就趨近于 EX了。 已 知X 服 從 參 數(shù) 為 的 指 數(shù) 分 布 ， 其 分 布 函 數(shù) 與 密 度 函 數(shù) 分 別 是 F現(xiàn) 要 求 的 分 布 函 數(shù) 或 密 度 函 數(shù)( ) ( ) 0 , 0Y X Yy P Y y y? ? ? ?Y首 先 討 論 的 可 能 取 值 。 解： ??????????0211021)(xexexFxxxexFxfx21)()(,0 ???? 時當xexFxfx ?????21)()(,0 時當102()102xxexfxex??????? ?? ???52 例題與解答 例 10:設隨機變量 X的概率密度為 ???????????