【正文】 為兩類 : ? (1) 離散型隨機(jī)變量 ：只可能取有限個(gè)或無(wú)限可列個(gè)值。 ? 而非離散型隨機(jī)變量中最常用的為 連續(xù)型隨機(jī)變量 （它的值域是一個(gè)或若干個(gè)區(qū)間）。 11 離散型隨機(jī)變量的概率分布 ? 定義 ：如果隨機(jī)變量 X只能取 有限個(gè)或可列個(gè) 可能值 ,而且取這些不同值的概率是確定的 , 則稱 X為 離散性隨機(jī)變量 。記 pn=P{X =xn} (n=1,2,…),稱為 X的 概率函數(shù) ,又稱 X的 概率分布 。因此 概率函數(shù)具有如下性質(zhì) : 1)2(,...2,10)1( ??? ?nnn pnp12 概率分布表 ? 為直觀起見(jiàn)，將隨機(jī)變量的可能取值及相應(yīng)概率排列成 概率分布表 如下： X x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … ? 一般所說(shuō)的離散性隨機(jī)變量的 分布 就是指它的 概率函數(shù)或概率分布表 . ? 概率函數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)中的性質(zhì) (2)經(jīng)常在解題中構(gòu)成解方程的一個(gè)條件 .(請(qǐng)記住 !) 13 課堂練習(xí) 2232( ) , 1 , 2 , 3 , 42( 2) ( ) , 0 , 1 , 2 , 3 , 425( 3 ) ( ) 2 , 1 , 2 , , ,xxp x xxp x xp x x n????????1檢 查 下 面 的 數(shù) 列 是 否 能 組 成 一 個(gè) 概 率 分 布(1)14 例題與解答 ? 例 1 一批產(chǎn)品的廢品率為 5%, 從中任意抽取一個(gè) 進(jìn)行檢驗(yàn) , 用隨機(jī)變量 X來(lái)描述廢品出現(xiàn)的情況 . 并寫出 X的分布 . ? 解 用 X表示廢品的個(gè)數(shù) , 則它只能取 0或 1兩個(gè)值 . “X=0”表示“產(chǎn)品為合格” , “ X=1 ”表示“產(chǎn)品為廢品” , 則概率分布表如下 X 0 1 P 即 P{X =0}=, P{X =1}=, 或可寫為：P{X =k}=?k (k=0,1) 15 兩點(diǎn)分布 ? 兩點(diǎn)分布 : 只有兩個(gè)可能取值的隨機(jī)變量 X所服從的分布 , 稱為兩點(diǎn)分布。亦稱 X服從兩點(diǎn)分布 。 17 例題與解答 ? 例 2 產(chǎn)品有一 ,二 ,三等品及廢品 4種 , 其一 ,二 ,三等品率和廢品率分別為 60%, 10%, 20%, 10%, 任取一個(gè)產(chǎn)品檢驗(yàn)其質(zhì)量 , 用隨機(jī)變量 X描述檢驗(yàn)結(jié)果并寫出概率分布表和畫出其概率函數(shù)圖 . ? 解 令“ X=k與產(chǎn)品為 k等品 (k=1,2,3)相對(duì)應(yīng) , “X=0與產(chǎn)品為 廢品 相對(duì)應(yīng) . X是一個(gè)隨機(jī)變量 , 它可以取 0,1,2,3這 4個(gè)值 . 依題意 , P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= 則可列出概率分布表并畫出概率分布圖 : 18 續(xù)上頁(yè) (概率分布表及概率分布圖 ) X 0 1 2 3 P x 0 1 2 3 1 p X的概率 分布表： X的 概率分布圖： 19 例題與解答 ? 例 3 用隨機(jī)變量描述擲一顆骰子的試驗(yàn)情況 ? 解 令 X表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) , 它可取 1到 6共 6個(gè)自然數(shù) , 相應(yīng)的概率都是 1/6, 列成概率分布表和概率分布圖如下： (離散型均勻分布 特例 ) X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 6 1 P 0 1 2 3 4 5 6 x 21 例題與解答 ? 例 4 社會(huì)上定期發(fā)行某種獎(jiǎng)券 , 每券 1元 , 中獎(jiǎng)率為 p, 某人每次購(gòu)買 1張獎(jiǎng)券 , 如果沒(méi)有中獎(jiǎng)下次再繼續(xù)購(gòu)買1張 , 直到中獎(jiǎng)為止 . 求該人購(gòu)買次數(shù) X的概率分布 . ? 解 “ X =1”表示第一次購(gòu)買的獎(jiǎng)券中獎(jiǎng) , 依題意： P(X =1)=p “X =2”表示購(gòu)買兩次獎(jiǎng)券 , 但第一次未中獎(jiǎng) , 其概率為1p, 而第二次中獎(jiǎng) , 其概率為 p. 由于各期獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)與否相互獨(dú)立 , 所以： P(X =2)=(1p)p。這是因?yàn)椋? p(1p)i1恰是幾何級(jí)數(shù) 的通項(xiàng)。則 X的分布就是幾何分布： P(X =i)= (1p)i1 p (i=1,2,…) 。根據(jù)實(shí)際情況，可以對(duì)試驗(yàn)成功做各種合理解釋，如：“投籃命中”、“抽檢合格”、“碰上好運(yùn)”等等，只要滿足模式的條件，便可套用它解決問(wèn)題了。(2)連續(xù)型隨機(jī)變量在任何一個(gè)確定值的概率為 0. 26 續(xù)上頁(yè) ? 幾何中不能用點(diǎn)的“長(zhǎng)度” 來(lái)度量線段的長(zhǎng)度 ,對(duì)于連續(xù)型的隨機(jī)變量 ,也不能通過(guò)它取個(gè)別值的概率 ,來(lái)度量與其相聯(lián)系的事件“在某個(gè)域內(nèi)取值”的概率 ? 例： (打靶問(wèn)題 )假定靶板 U上每一點(diǎn)被擊中的可能性相同，求打中區(qū)域 A內(nèi)的概率和點(diǎn) B的概率？ U A . B () APA U? 的面積的面積 ( ) 0BPBU??的面積的面積區(qū)域 A是有無(wú)數(shù)點(diǎn)組成的，能否用點(diǎn)的概率來(lái)度量事件 A的概率 ？ 不能 ！ 27 連續(xù)型隨機(jī)變量與概率密度 ? 定義 ：對(duì)于隨機(jī)變量 X，若存在非負(fù)函數(shù)f(x)， (?x+?)，使對(duì)任意實(shí)數(shù) a,b (ab)都有 ( ) ( )baP a X b f x d x? ? ? ?則稱 X為連續(xù)型隨機(jī)變量， f(x)為 X的 概率密度函數(shù) ，簡(jiǎn)稱 概率密度 或 分布密度 。 ?對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量而言，概率的幾何意義是分布密度函數(shù)曲線下方的面積 。 ? 在討論連續(xù)型隨機(jī)變量 X在某區(qū)間上取值情況時(shí)，因區(qū)間端點(diǎn)的概率值總是零，故 對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量不必區(qū)分取值區(qū)間的開(kāi)與閉 。 30 概率密度函數(shù)的兩個(gè)性質(zhì) ? 連續(xù)型的概率非負(fù)性和概率完備性表現(xiàn)為 （ 1）非負(fù)性 ： f(x) ? 0， ( ? x +?)； （ 2）歸一性： .1)( ＝? ???? dxxfx 0 f(x) ( ) 1f x d x??????31 例題與解答 例 6 若 X有概率密度 試求 f(x)和 P{c?X ?d},其中 [c,d]?[a,b]。記作 X~U(a, b) 。 。 33 例題與解答 例 10分、 25分、 55分發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時(shí)間，于每小時(shí)的任意時(shí)刻隨機(jī)地到達(dá)車站，求乘客候車時(shí)間超過(guò) 10分鐘的概率 . 15 45 解：設(shè) A— 乘客候車時(shí)間超過(guò) 10分鐘 X— 乘客于某時(shí) X分鐘到達(dá)，則 X?U(0,60) }6055{}4525(}1510{)( ????????? XPXPXPAP21605205 ????34 例題與解答 例 8：已知連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為 ???????000)(2xxexfx?試確定常數(shù) λ，并計(jì)算 P{X2},P{Xa2+2|Xa2} (a任意實(shí)數(shù) )。得 212/)( 0 2 ???? ?? ? ???? ??? dxedxxf x?? ? ??? ???? 2 422 2)(}2{ edxedxxfXP x35 續(xù)上頁(yè) 因?yàn)槭录?{Xa2+2}?事件 {Xa2} ， 所以 P{Xa2+2， Xa2} = P{Xa2+2} 。 分布函數(shù) F(x)是在區(qū)間 ( ∞, x]內(nèi)的“累積概率” ，(cumulative distribution function),不要與單點(diǎn)概率混淆。 易知，對(duì)任意實(shí)數(shù) a, b (ab), P{aX ? b}＝ P{X ? b}－ P{X ? a}＝ F(b)－ F(a) 即 已知 X的分布函數(shù) F(x), 就能知道 X在任何一個(gè)區(qū)間上取值的概率 , 從這個(gè)意義上說(shuō) , 分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的變化情況。 46 分布函數(shù) F(x)性質(zhì) )()0(,)()4(1)(lim)(0)