工學(xué)概率統(tǒng)計(jì)ppt課件-閱讀頁
2025-02-03 08:13本頁面
【正文】 (lim)()3()()(,)()2(,1)(0)1(121221xFxFxFxFFxFFxFxFxxRxxxxFRxxFxx??????????????????????續(xù)的。 故該四個(gè)性質(zhì)是分布函數(shù)的 充分必要性 。于是 ????????????????badxxfaFbFaXPbXPbXaPbXaPbXaPbXaP)()()(}{}{}{}{}{}{＝＝＝)()( xfdx xdF ?? 若 x是 f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則 ? 若 X～ f(x)， (?x ?) ，則 ? ?????? x dxxfxXPxF )(}{)( ＝＝可見圖示 51 例題與解答 例 9：設(shè) X的分布函數(shù)為 求 f(x)。 解 :1) 00}{)(,0 ????? ? ??x dtxXPxFx 時(shí)當(dāng)200210}0{}0{)(,10xt d tdtxXPXPxFxx???????????? ??時(shí)當(dāng)122]22[]2[)2(0}1{}10{}0{)(,212121021100??????????????????????? ??xxtttdttt d tdtxXPXPXPxFxxx時(shí)當(dāng)53 續(xù)上頁 所以，分布函數(shù)為： 10)2(0}2{}21{}10{}0{)(,21021 20? ? ?? ????????????????????xdtdttt d tdtxXPXPXPXPxFx 時(shí)當(dāng)??????????????????21211212102100)(22xxxxxxxxF54 續(xù)上頁 2) P{ X)}=P{X?} =F()F()=7/8 – 1/8 =6/8=3/4 ? ???? 4/3)(}{ dxxfXP也可以：55 例題與解答 例 11：設(shè)隨機(jī)變量 X只能取一個(gè)值 c，即 P{X=c}=1 (此時(shí)，稱 X服從“ 退化分布 ” ) 求 X的分布函數(shù)。 56 例題與解答 例 12：已知連續(xù)型隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為 F(x)=A+Barctanx 。 解：由 分布函數(shù)性質(zhì) 3，可知 F(?)=A(?/2)B=0, F(?)=A+(?/2)B=1 得 A=1/2， B=1/ ? 。 57 練習(xí) ??? ????其它0201)(xkxx?求系數(shù) k及分布函數(shù) F(x), 并計(jì)算 P(X) 例：已知連續(xù)型隨機(jī)變量 X有概率密度 練習(xí)解答 67 作業(yè) ? 1 ? 11 ? 14 ? 20 68 167。 顯然，隨機(jī)變量的函數(shù)仍為隨機(jī)變量。 ) 70 例題與解答 例 1:已知 X的分布律如下表，求 Y=2X1和 Z=X2的概率分布。分布律為 : Y P 3 1 1 313131Z的可取值為 : 0,1。0 , 0 0 , 0( ) ( )1 , 0 , 0( ) ( ) .XxxYYxxx p xe x e xY aX F y p y??????????????? ? ????X解 ： 由 于 X 是 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 ， Y=aX 也 是 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 。 由 不 可 能 取 負(fù) 值 ， 故 也 可 能 取 負(fù) 值 ， 所 以 F 當(dāng)73 //( ) , 0 ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 , 0()1 , 0yaXyayayyy P Y y P aX y P X F eaaYyyey??????? ? ? ? ? ? ? ? ???? ????YYY其 次 對(duì) y 0, 從 分 布 函 數(shù) 定 義 出 發(fā) ， 計(jì) 算 F 考 慮 到 故 有 F可 得 的 分 布 函 數(shù) F/()0 , 0(),0( ) , ( 0) ( / ) .YyaF y YypyeyaX E x p Y aX a E x p a????????? ??????Y對(duì) 求 導(dǎo) ， 即 得 的 密 度 函 數(shù) 這 表 明 ， 當(dāng)74 例題與解答 ? 例 X在 [1,1]上服從均勻分布即 X ~U(1,1),求 Y=X2的分布函數(shù)與概率密度。)(yyyFyf YY y? y當(dāng) y0時(shí) 0)( ?yFY當(dāng) y≥1,(x2≤1)時(shí) 1)( ?yFY)( yxy ???( ) ( ) ( )dxxfyFxxfyxXYX ????????? ????201121其它? y=x2 =P{Y≤y}=P{X2≤y}= 75 例題與解答 ? 例 X的概率密度為 fX(x),y=g(x)是 x的嚴(yán)格單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)且導(dǎo)數(shù)恒不為零，求 Y=g(X)的概率密度。 2 注意定義域的選擇 77 練習(xí) ( ) , ( 0 )( ) , l nX x Y a X b a YX x Y X Y? ? ???XX(1) 已 知 的 密 度 函 數(shù) 為 p 當(dāng) 時(shí) ， 求 的 密 度 函 數(shù) 。78 1( 1 ) ( ) ( ) 。 ? 解： y=ex是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，并且 y0,其反函數(shù)x=lny可導(dǎo)且 (lny)’=1/y 0，由定理 ，有 210( 1 l n )()00Yyyyfyy?????? ?? ??(這里因“ Y≤0”等價(jià)于“ eX ≤0”是不可能事件 ,故 FY(y)=0， fY(y)=0。 當(dāng) z≤0時(shí) ,FZ(z)=P{Z≤z}=P{X2≤z}=0 。 ? 數(shù)學(xué)期望的概念 ? 數(shù)學(xué)期望的簡單性質(zhì) ? 方差 ? 切貝紹夫不等式 * ? 矩 通常求出隨機(jī)變量的分布并不是一件容易的事 , 而人們更關(guān)心的是用一些數(shù)字來表示隨機(jī)變量的特點(diǎn) , 這些與隨機(jī)變量有關(guān)的數(shù)字 , 就是隨機(jī)變量的數(shù)字特征 . 最常用的數(shù)字特征為數(shù)學(xué)期望 , 方差等。 (加權(quán)平均不能解決“無窮”問題 ) 另一種是計(jì)算 統(tǒng)計(jì)平均值 的實(shí)用方法，通過對(duì)隨機(jī)變量 X進(jìn)行重復(fù)地試驗(yàn) (抽查一個(gè)個(gè)學(xué)生年齡 ), 假設(shè)這試驗(yàn)一共做了 n次 , 而獲得了 18,19,20這三個(gè)年齡的次數(shù) (頻數(shù) )分別為 n18, n19, n20次 , 則將這 n次試驗(yàn)所獲得的總年齡數(shù)除以 n就是統(tǒng)計(jì)平均的年齡。 ? 定義 ：設(shè)離散型隨機(jī)變量 X有概率分布為：P{X=xn}=pn (n=1,2,...), 若級(jí)數(shù) ???1nnn px絕對(duì)收斂， 則稱該級(jí)數(shù)為 X的數(shù)學(xué)期望，記作 EX，即 ????1nnn pxEX 形式上 EX是 X的各可能取值的加權(quán)平均，實(shí)質(zhì)上也確實(shí)刻畫了 X取值的真正“平均”。 ? 1 2 3 P h 1 2 3 P ? 例 2 甲乙兩名射手在一次射擊中得分 (分別用?,h表示 )的分布律如下表所示 , 試比較甲 ,乙兩射手的技術(shù) .
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