【正文】 分布 . 其概率函數(shù)為： P(X =k)=pk(1p)1k (k=0,1) 概率分布表為 : X 0 1 P 1p p 概率分布圖為： x 1?p p 0 1 1 ? 服從 01分布的隨機變量用來描述只有 2種對立結果的試驗稱伯努利(bernouli)。 17 例題與解答 ? 例 2 產品有一 ,二 ,三等品及廢品 4種 , 其一 ,二 ,三等品率和廢品率分別為 60%, 10%, 20%, 10%, 任取一個產品檢驗其質量 , 用隨機變量 X描述檢驗結果并寫出概率分布表和畫出其概率函數(shù)圖 . ? 解 令“ X=k與產品為 k等品 (k=1,2,3)相對應 , “X=0與產品為 廢品 相對應 . X是一個隨機變量 , 它可以取 0,1,2,3這 4個值 . 依題意 , P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= 則可列出概率分布表并畫出概率分布圖 : 18 續(xù)上頁 (概率分布表及概率分布圖 ) X 0 1 2 3 P x 0 1 2 3 1 p X的概率 分布表： X的 概率分布圖： 19 例題與解答 ? 例 3 用隨機變量描述擲一顆骰子的試驗情況 ? 解 令 X表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù) , 它可取 1到 6共 6個自然數(shù) , 相應的概率都是 1/6, 列成概率分布表和概率分布圖如下： (離散型均勻分布 特例 ) X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 6 1 P 0 1 2 3 4 5 6 x 21 例題與解答 ? 例 4 社會上定期發(fā)行某種獎券 , 每券 1元 , 中獎率為 p, 某人每次購買 1張獎券 , 如果沒有中獎下次再繼續(xù)購買1張 , 直到中獎為止 . 求該人購買次數(shù) X的概率分布 . ? 解 “ X =1”表示第一次購買的獎券中獎 , 依題意： P(X =1)=p “X =2”表示購買兩次獎券 , 但第一次未中獎 , 其概率為1p, 而第二次中獎 , 其概率為 p. 由于各期獎券中獎與否相互獨立 , 所以： P(X =2)=(1p)p。 “X =i”表示購買 i次 , 前 i1次都未中獎 , 而第 i次中獎 , 所以： P(X =i)=(1p)i1p 由此，得到 X的概率函數(shù)為： P(X =i)= (1p)i1 p (i=1,2,…) 22 幾何分布 上例中，隨機變量 X的分布為 P(X =i)=p(1p)i1 (i=1,2,…) 這類分布稱 幾何分布 ,此時也稱隨機變量服從幾何分布。這是因為： p(1p)i1恰是幾何級數(shù) 的通項。???? ??11 )1(,ii pqpq11,11????????ppqppqii顯然為：這種幾何級數(shù)的級數(shù)和23 幾何分布描述的典型問題 ? 假定一個試驗成功的概率概率為 p(0p1)，不斷重復試驗 (p始終不變 )，直到首次成功為止，用隨機變量 X表示試驗的次數(shù)。則 X的分布就是幾何分布： P(X =i)= (1p)i1 p (i=1,2,…) 。 ? 上述問題就是幾何分布的經典模式。根據(jù)實際情況，可以對試驗成功做各種合理解釋，如：“投籃命中”、“抽檢合格”、“碰上好運”等等，只要滿足模式的條件，便可套用它解決問題了。 24 例題與解答 ? 例 5 盒內裝有外形與功率均相同的 15個燈泡 , 其中 10個螺口 , 5個卡口 , 現(xiàn)在需用 1個螺口燈泡 , 從盒中任取一個 , 如果取到卡口燈泡就不再放回去 . 求在取到螺口燈泡前已取出的卡口燈泡數(shù) ?的分布 .(幾何分布？ ) ? 解 “ ?=0”表示第一個就取到了螺口燈泡 , “?=1” 表示第一個取到卡口而第二個才取到螺口燈泡 , … 因此 P(?=0)=10/15=2/3 P(?=1)=(5/15)(10/14)=5/21 P(?=2)=(5/15)(4/14)(10/13)=20/273 P(?=3)=(5/15)(4/14)(3/13)(10/12)=5/273 P(?=4)=(5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(10/11)=10/3003 P(?=5)= (5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(1/11)=1/3003 25 如何描述連續(xù)型隨機變量？ ? 離散型隨機變量的統(tǒng)計特征可以用概率分布描述，非離散型的該如何描述？ ? 對于連續(xù)型隨機變量而言 ,用來描述離散型隨機變量的概率分布的方法不再適用了 .理由有(1)連續(xù)型隨機變量可以取區(qū)間上的所有實數(shù) ,但這些實數(shù)不能一一列舉 。(2)連續(xù)型隨機變量在任何一個確定值的概率為 0. 26 續(xù)上頁 ? 幾何中不能用點的“長度” 來度量線段的長度 ,對于連續(xù)型的隨機變量 ,也不能通過它取個別值的概率 ,來度量與其相聯(lián)系的事件“在某個域內取值”的概率 ? 例： (打靶問題 )假定靶板 U上每一點被擊中的可能性相同，求打中區(qū)域 A內的概率和點 B的概率？ U A . B () APA U? 的面積的面積 ( ) 0BPBU??的面積的面積區(qū)域 A是有無數(shù)點組成的，能否用點的概率來度量事件 A的概率 ？ 不能 ！ 27 連續(xù)型隨機變量與概率密度 ? 定義 ：對于隨機變量 X，若存在非負函數(shù)f(x)， (?x+?)，使對任意實數(shù) a,b (ab)都有 ( ) ( )baP a X b f x d x? ? ? ?則稱 X為連續(xù)型隨機變量， f(x)為 X的 概率密度函數(shù) ，簡稱 概率密度 或 分布密度 。簡記為X～ f(x)， (?x+?)。 ?對連續(xù)型隨機變量而言，概率的幾何意義是分布密度函數(shù)曲線下方的面積 。 28 注意 ? 由連續(xù)型隨機變量定義可知： 對任何實數(shù) c， P{X=c}=： 連續(xù)型隨機變量取任何一個數(shù)值的概率都為零 。 ? 在討論連續(xù)型隨機變量 X在某區(qū)間上取值情況時，因區(qū)間端點的概率值總是零，故 對連續(xù)型隨機變量不必區(qū)分取值區(qū)間的開與閉 。 即 : P{aXb}=P{a?Xb}=P{aX ?b}=P{a?X?b} ? 概率為零的事件不一定是“不可能事件” 。 30 概率密度函數(shù)的兩個性質 ? 連續(xù)型的概率非負性和概率完備性表現(xiàn)為 （ 1）非負性 ： f(x) ? 0， ( ? x +?)； （ 2）歸一性： .1)( ＝? ???? dxxfx 0 f(x) ( ) 1f x d x??????31 例題與解答 例 6 若 X有概率密度 試求 f(x)和 P{c?X ?d},其中 [c,d]?[a,b]。 解 ()()0a x b a bfx? ? ? ??? ?? 其它( ) 0 0 ( ) 11()1, ( )01{ } ( )ababddccf x dx dx dx dx b aa x b a bbafxbadcP c X d f x dx dxb a b a????? ???? ??? ? ? ? ? ??? ? ??? ??? ??????? ? ? ? ???? ? ? ???則 因此其它32 均勻分布 則稱 X在 [a, b]上服從均勻分布 。記作 X~U(a, b) 。 1,~ ( )0a x bX f x ba????? ????若