【正文】 浙江財經(jīng)學(xué)院本科教學(xué)課程 經(jīng)濟數(shù)學(xué) (三 ) 概率統(tǒng)計 1 第二章 隨機變量的分布和數(shù)字特征 167。 167。 167。 167。 167。 2 167。 隨機變量及其分布 ? 隨機變量的概念 ? 離散型隨機變量的概率分布 ? 連續(xù)型隨機變量的概率密度 ? 隨機變量的分布函數(shù) 3 隨機事件數(shù)量化 ? 我們知道：一次隨機試驗的 所有可能出現(xiàn) 的基本結(jié)果 ?所構(gòu)成的集合被稱作 樣本空間 ?，而每一個可能的基本結(jié)果 ?稱為 樣本點 。樣本點的集合 A稱作 隨機事件 。 只包含一個樣本點的集合 {?}被稱作 基本事件 。 ? 某些隨機事件直接與數(shù)值有關(guān) (如擲骰子的結(jié)果 )；也有一些 試驗結(jié)果初看起來與數(shù)值無關(guān)，但仍可用數(shù)字去對應(yīng)，即數(shù)量化 (如抽檢產(chǎn)品的結(jié)果，合格記 1，不合格記 0)。 ? 總之，任何隨機試驗的基本結(jié)果，都可以用數(shù)量與之相對應(yīng)。 4 ? 試驗的結(jié)果能用一個數(shù) X來表示，這個數(shù) X隨著試驗的結(jié)果的不同而變化，即它是樣本點的一個函數(shù)，這種量以后稱為隨機變量。 5 為什么要引入隨機變量 ? 從理論上講，樣本空間、隨機事件可以是任何集合，但這對于研究帶來了許多不方便。而數(shù)學(xué)上則更喜歡研究實數(shù)集合。 ? 可以建立從樣本空間到實數(shù)集合的一個映射，即對每個給定樣本點 ?，存在著唯一的一個實數(shù) ?(?)與之對應(yīng)。這樣就建立了一個自變量為 ?而函數(shù)值則為實數(shù)的一個特殊的“函數(shù)”。我們稱之為 隨機變量 。 ? 引入隨機變量可以全面考察試驗的一切可能結(jié)果，從而揭示客觀事物存在的統(tǒng)計規(guī)律性。對每一個隨機事件 A ，都可用隨機變量的取值 (范圍 )來表示。這樣，隨機事件就可以用實數(shù)的數(shù)集 (或點集 )來表示，試驗結(jié)果就具體化、數(shù)字化了。因此，引入隨機變量之后，可借助微積分等方法來解決概率問題。 6 隨機變量的定義 ? 定義：隨機變量是定義在樣本空間 S={ω}上的一個單值實函數(shù)，記作 X=X(ω)，簡記為 X。 ? 特點：隨機變量取值具有不確定性，但都具有一定的概率規(guī)律。 ? 問題：隨機變量就是微積分中的變量嗎？ ? 答案：不是。隨機變量與微積分中的變量不同。隨機變量隨試驗結(jié)果而變，即它的定義域是試驗的所有可能結(jié)果，隨機變量的取值事先不能確定，具有概率確定性；微積分中的變量的定義域是實數(shù)域，它的取值是確定性的。 7 一些隨機變量的例子 ? (1) 一個射手對目標(biāo)進(jìn)行射擊 , 擊中目標(biāo)記為 1分 , 未中目標(biāo)記為 0分 . 如果用 ?表示射手在一次射擊中的得分 , 則它是一個隨機變量 , 可以取 0和 1兩個可能的值 . ? (2) 某段時間內(nèi)候車室的旅客數(shù)目記為 ?, 它是一個隨機變量 , 可以取 0及一切不大于 M的自然數(shù) , M為候車室的最大容量 . ? (3) 單位面積上某農(nóng)作物的產(chǎn)量 ?是一個隨機變量 , 它可以取一個區(qū)間內(nèi)的一切實數(shù)值 , 即??[0,T], T是一個常數(shù) . 8 練習(xí) 1（ 分析 X、 Y、 Z、 W等的取值情況 ） ? (1) 用 X表示隨機抽驗的 n件產(chǎn)品中不合格品的數(shù)， n個小學(xué)生中患近視眼癥的人數(shù)， n個企業(yè)中虧損企業(yè)的個數(shù)，定點投籃 n次命中的次數(shù)，等等． ? (2) 用 Y表示某一段時間內(nèi)全國發(fā)生火災(zāi)事故的次數(shù)，電腦城某日售出的電腦臺數(shù)，一小時內(nèi)通過某交通路口的汽車輛數(shù) ,一小時內(nèi)在蕭山機場降落的飛機架次 ,等等． ? (3) 用 Z表示汽車每公里的耗油量，某段時間某個地區(qū)的降水量等． 解： X、 Y、 Z都是隨機變量 (1) X可能取值是 0,1,2,…,n (2) Y可能取值是 0,1,2,… (3) Z可能取值 [a， b]內(nèi)的任何一個實數(shù) (ba ≥ 0) 9 練習(xí) 2 ? 從有 2個一級品， 3個二級品的產(chǎn)品中隨機取出 3個產(chǎn)品，如果用 X表示取出的產(chǎn)品中是一級品的數(shù) .求 X的取值，并求相應(yīng)的概率 ? 解： X可能取值是 0,1,2. 用 A1,A2表示 2個一級品 ,B1, B2,B3表示 3個二級品 ,從中取出 3個產(chǎn)品的可能情況： B1B2B3 B1B2A1 B1B2A2 B1B3A1 B1B3A2 B2B3A1 B2B3A2 B1A1A2 B2A1A2 B3A1A2 即 { X=0 }={ B1B2B3 } { X=1 }={ B1B2A1， B1B2A2， B1B3A1， B1B3A2， B2B3A1， B1B2A2 } { X=2 }={ B1A1A2， B2A1A2， B3A1A2 } 概率值： P(X=0)=1/10,P(X=1)= 6/10,P(X=2)=3/10。 10 隨機變量的分類 ? 按隨機變量的取值情況，可將其分為兩類 : ? (1) 離散型隨機變量 ：只可能取有限個或無限可列個值。 ? (2) 非離散型隨機變量 ：可能取任何實數(shù)，情況較復(fù)雜。 ? 而非離散型隨機變量中最常用的為 連續(xù)型隨機變量 （它的值域是一個或若干個區(qū)間）。 ? 今后我們主要研究離散型和連續(xù)型隨機變量。 11 離散型隨機變量的概率分布 ? 定義 ：如果隨機變量 X只能取 有限個或可列個 可能值 ,而且取這些不同值的概率是確定的 , 則稱 X為 離散性隨機變量 。 ? 定義 ： X為離散型隨機變量 ,其一切可取值為 x1, x2,…, xn …。記 pn=P{X =xn} (n=1,2,…),稱為 X的 概率函數(shù) ,又稱 X的 概率分布 。 其中 {X = x1}, {X = x2}, …, { X = xn}, … 構(gòu)成一完備事件組。因此 概率函數(shù)具有如下性質(zhì) : 1)2(,...2,10)1( ??? ?nnn pnp12 概率分布表 ? 為直觀起見，將隨機變量的可能取值及相應(yīng)概率排列成 概率分布表 如下： X x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … ? 一般所說的離散性隨機變量的 分布 就是指它的 概率函數(shù)或概率分布表 . ? 概率函數(shù)的兩個性質(zhì)中的性質(zhì) (2)經(jīng)常在解題中構(gòu)成解方程的一個條件 .(請記住 !) 13 課堂練習(xí) 2232( ) , 1 , 2 , 3 , 42( 2) ( ) , 0 , 1 , 2 , 3 , 425( 3 ) ( ) 2 , 1 , 2 , , ,xxp x xxp x xp x x n????????1檢 查 下 面 的 數(shù) 列 是 否 能 組 成 一 個 概 率 分 布(1)14 例題與解答 ? 例 1 一批產(chǎn)品的廢品率為 5%, 從中任意抽取一個 進(jìn)行檢驗 , 用隨機變量 X來描述廢品出現(xiàn)的情況 . 并寫出 X的分布 . ? 解 用 X表示廢品的個數(shù) , 則它只能取 0或 1兩個值 . “X=0”表示“產(chǎn)品為合格” , “ X=1 ”表示“產(chǎn)品為廢品” , 則概率分布表如下 X 0 1 P 即 P{X =0}=, P{X =1}=, 或可寫為：P{X =k}=?k (k=0,1) 15 兩點分布 ? 兩點分布 : 只有兩個可能取值的隨機變量 X所服從的分布 , 稱為兩點分布。其概率函數(shù)為： P(X=xk)=pk (k=1,2)。亦稱 X服從兩點分布 。 概率分布表為 : X x1 x2 P p1 p2 x p1 p2 x1 x2 概率分布圖為： 16 01分布 ? 01分布 : 只取 0和 1兩個值的隨機變量所服從的分布稱 (參數(shù)為 p的 )為 01