【正文】 （令 BCbBAk ???? , 代入公式整理即得2200 BA CByAxd ? ??? ，最后補(bǔ)充說明以上結(jié)論當(dāng) B=0 時(shí)公式同樣成立） 【 循序漸進(jìn) 】 師：剛才我們通過兩條平行線距離的求法自然過渡到點(diǎn)到直線距離的求解，并由直線的點(diǎn)斜式自然過渡到直線的一般式，順利地完成了點(diǎn)到直線距離公式。 生：已知點(diǎn) P（ x0 , y0），直線 l： y=kx+b,可求 P 到 l 的距離。 山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 25 生：利用圖形 31，可得 2211c os kbbMNd ????? ? ? ? 2211c osc os kbbMNMNd ???????? ??? 。教材開門見山地提出了已知點(diǎn) P（ x0 , y0）和直線 l:Ax+By+C=0 怎樣求點(diǎn) P 到直線 l 的距離問題，然后進(jìn)行分析和證明。 讓學(xué)生感受到知識的發(fā)生過程，了解知識的可靠性和局限性，使他們認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識是在實(shí)驗(yàn)，猜想、反駁，修正和證明中發(fā)展起來的，從而發(fā)展他們合情推理的能力、勇于批判的精神和自我反省意識；讓學(xué)生理解知識的形成過程，可以使他們明晰數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，弄清楚知識之間的邏輯關(guān)系，從而培養(yǎng)他們的邏輯思維能力、概括能力和解決問題的能力；讓學(xué)生了解知識的發(fā)展性，可以使他們經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的探究歷程，培養(yǎng)他們的發(fā)散思維能力和直覺思維能力 [28]。筆者擬結(jié)合教學(xué)實(shí)踐從教學(xué)內(nèi)容的組織與選擇闡述數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的四種基本類型。要充分發(fā)揮探究課的作用，使其不流于形式，一個(gè)重要方面就是教師對所教內(nèi)容做出較好的教學(xué)法加工和組織。 山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 24 第三節(jié) 數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的基本類型及教學(xué)案例 設(shè)計(jì)探究性教學(xué)情境，讓中學(xué)生在觀察、歸納、分析、綜合，提出并驗(yàn)證結(jié)論的過程中體會和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，長期以來受到數(shù)學(xué)教育研究者的重視。其次，教師又是合作學(xué)習(xí)的評估者，既要對學(xué)習(xí)過程不斷評估，又要對學(xué)習(xí)結(jié)束后各小組的學(xué)習(xí)成果進(jìn)行評估。另一方面，教師也不再是過去的“主演”，而應(yīng)是營造一個(gè)寬松和諧，民主的環(huán)境。因此，合作學(xué)習(xí)成為當(dāng)今世界范圍內(nèi)廣泛使用的課堂教學(xué)組織形式。因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中引進(jìn)“開放式”問題也將成為必然，它可作為貫徹素質(zhì)教育的一個(gè)切入口，成為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的載體，教師要樹立正確的教學(xué)思想，在教學(xué)中要有意識構(gòu)建開放式問題，讓學(xué)生進(jìn)行探索和交流活動(dòng)，才能在教學(xué)過程中有意識地向?qū)W生傳授思維策略，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力 [26]。通過一定的變式教學(xué)策略可以幫助學(xué)生系統(tǒng)的、有效的理解和掌握學(xué)科 知識。開放題由于其自身的開放性質(zhì)，不再是方法唯一，答案唯一，這就吸引學(xué)生不依賴教師和書本，獨(dú)立地去探索和發(fā)現(xiàn)問題的各種各樣的答案，可使學(xué)生在解題中形成積極探索和創(chuàng)造性的心理態(tài)勢，對數(shù)學(xué)本質(zhì)產(chǎn)生一種新的領(lǐng)悟，進(jìn)而生動(dòng)活潑地參與“學(xué)數(shù)學(xué)，做數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)”的過程使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到有效的發(fā)展。 三、 “開放式”問題變換 山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 23 傳統(tǒng)上，問題的答案是唯一的，解法是模式化的，稱這類問題是“封閉”的。數(shù)學(xué)家波利亞在他的著作《數(shù)學(xué)與猜 想》中特別強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性過程是與其他知識的創(chuàng)造過程是一樣的，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前，你先得猜測這個(gè)定理的內(nèi)容，在你完全做出詳細(xì)證明之前，你先得推測證明的思路??只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程稍能反映出數(shù)學(xué)的發(fā)明過程的話，那么就應(yīng)當(dāng)讓猜測，合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢?[24]。這種程序適應(yīng)于概念，公式，定理等知識過程的教學(xué)，體現(xiàn)學(xué)生參與發(fā)現(xiàn)過程的主體地位，注重了發(fā)現(xiàn)知識的策略和方法的培養(yǎng)。 二、 “發(fā)現(xiàn)式”問題探究 數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)探究的一個(gè)重要方面，沒有發(fā)現(xiàn)就沒有證明，但傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)過程是重證明輕發(fā)現(xiàn)的，這顯然是數(shù)學(xué)“演繹”式的教學(xué)，不利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)。 創(chuàng)設(shè)問題的情境需要三個(gè)條件：一是學(xué)習(xí)者能否在先前經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上覺察到問題的存在；二是探究的內(nèi)容對于學(xué)習(xí)者來說一定是未知的，而經(jīng)過努力是可 掌握的；三是能否激發(fā)探究者的認(rèn)知沖突、需要和期望。 數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)以一定數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法為依托，同時(shí)也是數(shù)學(xué)知識產(chǎn)山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 22 生的背景，其素材可以源于生活，源于數(shù)學(xué)自身，還可以源于其它學(xué)科，它不僅能激發(fā)數(shù)學(xué)問題的提出，也能為數(shù)學(xué)問題的提出和解決提供相應(yīng)的信息和依據(jù)。 一、 “情境式”問題提出 數(shù)學(xué)創(chuàng)新源于數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)問題的產(chǎn)生離不開一定的數(shù)學(xué)情境。事實(shí)上，課堂教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的主渠道，因而對那些可以改造成數(shù)學(xué)探究性課題的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)內(nèi)容，數(shù)學(xué)教師要?jiǎng)?chuàng)造性地把它設(shè)計(jì)成具有探索性和開放性的問題。作為中學(xué)生，一般不可能達(dá)到真正意義的探究，因而實(shí)施課題探究的重心就在于誘導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn) 數(shù)學(xué)規(guī)律。 ，學(xué)會與他人交流合作和建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。一個(gè)好的數(shù)學(xué)探究性課題應(yīng)該是具有一定的開放性，有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究的過程，有助于學(xué)生形成 發(fā)現(xiàn)、探究問題的意識和提高數(shù)學(xué)的實(shí)踐能力、創(chuàng)新精神。數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)是學(xué)生利用所學(xué)知識進(jìn)行綜合運(yùn)用的最有效方式，因此選擇數(shù)學(xué)探究的內(nèi)容時(shí)，要使其有利于學(xué)生多層次、多角度地思考問題，有利于學(xué)生對信息的分析、綜合、交流能力的提高等。另一方面，數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)可根據(jù)學(xué)校的實(shí)際情況采取靈活多樣的方式進(jìn)山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 21 行，如利用數(shù)學(xué)方法開展某一問題的調(diào)查研究也是具有可操作性的數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)。數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的實(shí)施往往會受到一些主客觀條件的制約，因此要因材施教和因地制宜。例如，從教材內(nèi)容出發(fā)的問題有“多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)”“概率實(shí)驗(yàn)”等；從數(shù)學(xué)應(yīng)用出發(fā)的問題有“電話費(fèi)的計(jì)費(fèi)方式如何用函數(shù)表示”，“銀行儲蓄的稅后利息的計(jì)算”等。問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)思維是從數(shù)學(xué)問題開始的，因此數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的核心是要首先確定某個(gè)探究解決的數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)探究課題可以從教材提供的案例和背景材料中發(fā)現(xiàn)和建立，也可以從教師提供的案例和背景材料中發(fā)現(xiàn)和建立，應(yīng)該特別鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、技能、方法、思想的過程中發(fā)現(xiàn)和提出自己的問題并加以研究。由此看來，以課例為載體，進(jìn)行數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的策略及實(shí)證研究就顯得十分必要。 山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 20 第三章 數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的策略及教學(xué)案例 前面我提出了研究問題、論述了該項(xiàng)研究價(jià)值，隨后進(jìn)行了大量的文獻(xiàn)研究，提出了在課堂中開展數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的有效性及可行性。數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)，真正能讓學(xué)生深刻理解和體會這些精神。狄爾曼（ Dillmann）說：“??數(shù)學(xué)能夠集中、加速和強(qiáng)化人們的注意力，能夠給人發(fā)明創(chuàng)造的精細(xì)與謙虛精神，能夠激發(fā)人們追求真理的勇氣和自信心??數(shù)學(xué)比起任何其它學(xué)科來，更能使學(xué)生得到充實(shí)和增添知識的光輝，更能鍛煉和發(fā)揮學(xué)生探索真理的獨(dú)山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 19 立工作能力” [23]。曼努爾（ Kant Immanuel）說：“教育孩子的目標(biāo)應(yīng)該是逐步地組合他們的知與行。數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)以課題為紐帶，注重問題的提出與解決，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力得到極大的提高。事實(shí)上，人類的的生活、學(xué)習(xí)、工作活動(dòng)就是一個(gè)不斷發(fā)現(xiàn)問題與解決問題的過程，因此，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力應(yīng)該是教育的一個(gè)重要任務(wù)。數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的核心概念是“問題”，即學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題以后，帶著問題去尋求解決問題的策略。 學(xué)生創(chuàng)造性精神的培養(yǎng)需要在問題情境中進(jìn)行?！罢n題探究學(xué)習(xí)”是以學(xué)生的“自主探索和自主創(chuàng)造”為宗旨，教師的權(quán)威不再像傳統(tǒng)教學(xué)那樣建立在學(xué)生的被動(dòng)與無知之上，而是建立在教師幫助學(xué)生積極參與以促進(jìn)其充分發(fā)展之上。潛創(chuàng)造力，是指對個(gè)人來說是獨(dú)特的、新穎的發(fā)現(xiàn)或想法，但對整個(gè)人類社會而言則 屬已經(jīng)被人們發(fā)現(xiàn)或發(fā)明過的成果，不涉及到社會價(jià)值的創(chuàng)造力。在探究學(xué)習(xí)中，學(xué)習(xí)者通過親身實(shí)踐獲得感悟和體驗(yàn)，獲得豐富的非結(jié)構(gòu)性的知識，在思維方式上大量地依靠直覺與頓悟，這些都是創(chuàng)造性思維的重要組成部分 [22]。一個(gè)人的創(chuàng)造性思維離不開一定的知識基礎(chǔ)，而這個(gè)基礎(chǔ)應(yīng)該是間接經(jīng)驗(yàn)與直接經(jīng)驗(yàn)的結(jié)合。在課題探究學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)習(xí)者是否掌握某項(xiàng)具體的知識或技能并不是頭等重要，關(guān)鍵是能否對所學(xué)的知識有所選擇、判斷、解釋和運(yùn)用，從而山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 18 有所發(fā)現(xiàn)、有所創(chuàng)造。 總之，在數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)過程中，無論是在學(xué)習(xí)的方式、進(jìn)度，還是在實(shí)施地點(diǎn)、最終成果的呈現(xiàn)等方面，學(xué)生都擁有高度的自主性和積極性；教師不再是 作為知識的權(quán)威，將預(yù)先組織的知識體系傳遞給學(xué)生，而是與學(xué)生共同參與到探究知識的過程中去；學(xué)生不再地作為知識的接受者，聆聽教師一再重復(fù)的事實(shí)和結(jié)論，而是自己提出和整理問題，并自己解決問題得出結(jié)論。在數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生自己制定計(jì)劃（包括活動(dòng)的時(shí)間、地點(diǎn)、方式等），進(jìn)行自我監(jiān)控、自我評價(jià)，可以充分培養(yǎng)學(xué)生的自主意識和自我教育能力。在學(xué)習(xí)內(nèi)容上，學(xué)生從學(xué)習(xí)生活和社會生活中自主選擇和確定他們自己感興趣的問題進(jìn)行研究。 第四節(jié) 數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的教育價(jià)值 一、在數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)中，學(xué)生具有高度的主體性 數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)是在學(xué)生發(fā)展?jié)撃軣o限的理念下提出的，相信學(xué)生具有巨大的發(fā)展?jié)撃?，相信學(xué)生有能力自己解決自己的問題，高度尊重學(xué)生的人格和創(chuàng)造力。有著現(xiàn)實(shí)生活背景的應(yīng)用問題，使學(xué)生在一定程度上感受到“真實(shí)”的數(shù)學(xué)，有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識和實(shí)踐能力。而且，這些問題以各種形式出現(xiàn)，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)探究的趣味性、游戲性和開放性等特點(diǎn)。正如懷特黑德（ . Whitehead） 所說：“沒有什么比這一事實(shí)更令人難忘，數(shù)學(xué)脫離現(xiàn)實(shí)而進(jìn)入抽象思維限度的最高層次，當(dāng)它返回現(xiàn)實(shí)時(shí)，在對具體事物分析時(shí)，其重要性也相應(yīng)增強(qiáng)了??最抽象的東西是解決現(xiàn)實(shí)問題最有力武器，這一悖論已完全為人們接受了。另一方面，社會生活的各個(gè)方面日益增長的數(shù)學(xué)化趨勢，使得數(shù)學(xué)課題探究活動(dòng)的范圍更加廣泛。實(shí)際上，這是一種誤解。這時(shí)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生對實(shí)際問題進(jìn)行抽象，去掉一些無關(guān)緊要的枝節(jié)問題，把問題的本質(zhì)突出來，從而利用已學(xué)過的概念、公式、定理、 方法來解決問題。在數(shù)學(xué)課題探究 學(xué)習(xí) 中， 有些 數(shù)學(xué)課題源于現(xiàn)實(shí)生活，而大多數(shù)學(xué)生通常在進(jìn)行純粹的數(shù)學(xué)計(jì)算、變換 和推演時(shí)可能感到困難不大，可一接觸到現(xiàn)實(shí)中有待解決的數(shù)學(xué)問題，往往束手無策。抽象越來越成為數(shù)學(xué)的重要特點(diǎn)。數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容的豐富性決定了問題解決方法的多樣化，給學(xué)生提供了廣闊的思維空間，使學(xué)生真正感受到數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的魅力。總之，數(shù)學(xué)課題探究 學(xué)習(xí) 在解決問題的同時(shí)，加強(qiáng)了學(xué)生思維能力的訓(xùn)練，這樣又有利于 學(xué)生提出新的課題，進(jìn)而進(jìn)行新的探究學(xué)習(xí)，從而形成良性循環(huán)。一般根據(jù)概括對象是否完全而分為完全歸納法與不完全歸納法。因此，在 數(shù)學(xué) 課題探究中要加強(qiáng)這種演繹方式的訓(xùn)練。演繹推理的重要形式是由大前提、小前提推出結(jié)論的三段論推理。 常見的方法主要有： 合情推理和演繹推理法 、數(shù)學(xué)分析與綜合法、數(shù)學(xué)化歸方法、 逐步逼近法、猜想法、 數(shù)學(xué)公理化方法等等。 作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)尤其重視學(xué)生的思維方式。首先，學(xué)生課題的選擇是 開放的，課題的開放性要求教師不應(yīng)把學(xué)習(xí)內(nèi)容限制在某些方面，只要與數(shù)學(xué)有關(guān)，學(xué)生力所能及的，都可以成為課題探究的內(nèi)容；其次，學(xué)習(xí)的形式是開放的，可以是數(shù)學(xué)課內(nèi)知識的擴(kuò)充，可以是自己感興趣的數(shù)學(xué)問題，也可以是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、動(dòng)手制作等；再次，學(xué)習(xí)空間是開放的，要求學(xué)生可以從課堂走到課外；學(xué)習(xí)的途徑是開放的，可以檢索計(jì)算機(jī)、利用圖書館，可以走訪社會有關(guān)部門、單位，可以采訪各方面的專家、學(xué)者等；最后，學(xué)習(xí)結(jié)論是開放的，鼓勵(lì)學(xué)生就研究的問 題提出自己獨(dú)特的見解。在評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)上，考慮到學(xué)生的個(gè)體差異，則采用多層次的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)， 從而使評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)具有彈性化，人性化的特征。它在評價(jià)的方式和評價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)上都是開放的、多元的。 這種評價(jià)方式過分強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)和思維方式的統(tǒng)山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 15 一性，壓抑了個(gè)性，不利于學(xué)生創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。與一般的掌握知識、解答問題的學(xué)習(xí)活動(dòng)相比， 它更符合人們的生活和社會 的實(shí)際需要，因而有利于提高學(xué)生學(xué)以致用的本領(lǐng)。探究教學(xué)非常注重這后 3 個(gè)層次的學(xué)習(xí)，尤其是問題解決。 課題探究學(xué)習(xí) 尤其注重發(fā)展學(xué)生運(yùn)用科學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。 傳統(tǒng)教學(xué)特別注意 結(jié)果，在很大程度上忽視了知識獲得 的過程。 學(xué)生作為 具有創(chuàng)造能力的學(xué)習(xí)社會中的主體，教師應(yīng)充分信任他們，相信他們在一定程度上有能力進(jìn)行自主地探索和研究。當(dāng)然，教師要根據(jù)每個(gè)學(xué)生的特點(diǎn)進(jìn)行不同的指導(dǎo)和引導(dǎo)。 在課題探究學(xué)習(xí)中，教師不再是傳統(tǒng)的“傳道、授業(yè)、解惑”的知識傳授者和管理者，而是 學(xué)生進(jìn)行探究學(xué)習(xí)的促進(jìn)者和合作 者。學(xué)生在參與探究的過程中既學(xué)習(xí)了科學(xué)知識，又養(yǎng)成了主動(dòng)、積極的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)精神?？茖W(xué)素養(yǎng)包括科學(xué)知識、科學(xué)方法、科學(xué)態(tài)度、科學(xué)精神。 第三節(jié) 數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的特征 數(shù)學(xué)課題探究 學(xué)習(xí) 作為一種以課題為紐帶的探究 學(xué)習(xí) ，不僅具備一般探究 學(xué)習(xí) 的內(nèi)涵和特點(diǎn)（共性），同時(shí)還有自身的特點(diǎn)（個(gè)性） 。教學(xué)要促進(jìn)學(xué)生思維就應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，使學(xué)生產(chǎn)生問題意識并能自主解決問題的教學(xué)才是成功的教學(xué) [19]。教學(xué)依問題而存在，問題依教學(xué)而有效解決。目前，我國基礎(chǔ)教育課程改革的基本理念指向于問題探究式學(xué)習(xí)，課程改革遵從“ 基于 問題解決學(xué)習(xí)”的教學(xué)設(shè)計(jì)理念，將問題解決作為顯性課程納入教學(xué)過程中，以此作為“主題與問題式學(xué)