【正文】 收已有研究成果的基礎(chǔ)上，力求有所突破和創(chuàng)新，具體體現(xiàn)在如下幾個(gè)方面： （ 1）對(duì)數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的個(gè)性的分析 數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)具有其個(gè)性化特點(diǎn)，突出表現(xiàn)在：數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)具有開放性，數(shù)學(xué)課題探究方法的多樣性，數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)活動(dòng)內(nèi)容的豐富性，數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)需要進(jìn)行抽象。提出課題探究設(shè)計(jì)的四個(gè)基本類型，即數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、形成和發(fā)展過程的課題探究設(shè)計(jì)；數(shù)學(xué)問題解決的課題探究設(shè)計(jì)；數(shù)學(xué)思想方法形成、遷移、應(yīng)用的課題探究設(shè)計(jì)；數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化的課題探究設(shè)計(jì)。 一、杜威的探究學(xué)習(xí)理論 19 世紀(jì)末到 20 世紀(jì)上半葉，杜威及后繼者倡導(dǎo)探究教學(xué)。他認(rèn)為探究在本質(zhì)上是思維或反省思維，即“對(duì)任何信念或假設(shè)的知識(shí)，按照所依據(jù)的理由和得出的結(jié)論，去進(jìn)行主動(dòng)的、持續(xù)的和周密的思考” [4]。因此，從他對(duì)探究的論述來看，他對(duì)探究本質(zhì)的揭示是相當(dāng)深刻的，他所提出的探究教學(xué)程序也對(duì)后 來的探究教學(xué)研究和實(shí)踐產(chǎn)生了巨大影響。施瓦布是芝加哥大學(xué)教授，著名的生物學(xué)家、教育家。只有進(jìn)一步拓展第二個(gè)側(cè)面，當(dāng)新的認(rèn)知矛盾發(fā)生，才能選擇不同的材料，作出不同解釋，闖入新問題的探究之中，也才能真正把握連續(xù)性、流動(dòng)性的探究過程 [7]。施瓦布實(shí)際上提出三種不同探究程度的探究方法，其中第三種是最開放的方式。他通過三年旨在培養(yǎng)探究能力的小學(xué)理科課程的研究，提出這樣的主張：探究重在過程和方法的訓(xùn)練，要使學(xué)生明白一切知識(shí)都是嘗試性的，如果想教給學(xué)生發(fā)現(xiàn)具有某種意義的典范和規(guī)則，就必須教給他們積極地、有計(jì)劃地、有目的地樹立假設(shè)的方法、驗(yàn)證的方 法、解釋結(jié)果的方法。 第二節(jié) 數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)研究縱覽 一、國(guó)外研究綜述 山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 7 在國(guó)外，雖然施瓦布、薩其曼等人的探究教學(xué)理論以及布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)思想對(duì)一般探究學(xué)習(xí)理論和科學(xué)探究學(xué)習(xí)理論的研究影響較為廣泛，但對(duì)數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域似乎并沒有產(chǎn)生相應(yīng)的效應(yīng)。數(shù)學(xué)問題解決過程的實(shí)質(zhì)包含數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的過程，因?yàn)閿?shù)學(xué)探究活動(dòng)的主要形式正是發(fā)生在解決各類數(shù)學(xué)問題的過程中，而數(shù)學(xué)問題又是數(shù)學(xué)探究過程的起點(diǎn)，兩者已經(jīng)內(nèi)在地融合在一起了。許多哲學(xué)家也已經(jīng)把探究和問題解決作為哲學(xué)和科學(xué)事業(yè)的核心問題，探究是所有認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ) [12]。從而將探究分成 4 個(gè)層次：（ 1）思索式探究（難題）；（ 2）臺(tái)級(jí)式探究山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 8 （“過程”或結(jié)合型問題）；（ 3）決策性問題；（ 4）實(shí)際的問題。雷恩格（ A. M. Rnge, 1995）以幾何證明對(duì)七年級(jí)學(xué)生就探究學(xué)習(xí)與思維能力發(fā)展的關(guān)系進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，結(jié)果表明：探究學(xué)習(xí)有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)方面的批判性思維 能力，但與一般性思維能力無明顯相關(guān)性。 探究學(xué)習(xí)與學(xué)習(xí)成績(jī)。 2022 年 6 月 8 日教育部印發(fā)《基礎(chǔ)教育課程改革綱要（試行）》，其中的具體目標(biāo)明確指出： “?改變課程實(shí)施過于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)、死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、樂于探究、勤于動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生收集和處理信息的能力、獲取新知識(shí)的能力、分析和解決問題的能力以及交流與合作的能力”。 相對(duì)而言，我國(guó)研究人員對(duì)數(shù)學(xué)解題的探究學(xué)習(xí)過程研究較為具體。張廣祥的《數(shù)學(xué)中的問題探究》（ 2022）列舉了幾十個(gè)可以展開探究活動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)問題。 總之，國(guó)內(nèi)對(duì)數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)、探究教學(xué)的研究存在兩種趨向：其一是由一般探究學(xué)習(xí)推演數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的特點(diǎn)；其二則是借助具體的數(shù)學(xué)實(shí)例來闡釋一般探究學(xué)習(xí)、探究教學(xué)的規(guī)律。針對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)的探究學(xué)習(xí)及學(xué)習(xí)方式的相關(guān)理論研究相對(duì)薄弱。對(duì)于在數(shù)學(xué)課堂里開展探究學(xué)習(xí)的具體環(huán)節(jié)及相關(guān)因素缺乏系統(tǒng)與實(shí)證研究。真正以一種新的教育思想、觀念，新的教學(xué)形式和新的學(xué)習(xí)方法，將學(xué)生置于教育教學(xué)的主體地位，充分發(fā)揮每個(gè)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造潛能。但是，無論從哪個(gè)角度來界定探究學(xué)習(xí)，都以不同的方式突出了探究學(xué)習(xí)的一些特征： 。 。 數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)自然具有一般探究學(xué)習(xí)的基本特性 ，但更重要的是具有數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)的特殊性。事實(shí)上，對(duì)學(xué)生學(xué)法影響最大的將是這部分內(nèi)容。由于個(gè)體的經(jīng)驗(yàn)不同，于是對(duì)外部世界的理解便也不同。一方面，對(duì)新信息的理解是借助已有經(jīng)驗(yàn)，超越所提供的新信息而建構(gòu)的。 可見，數(shù)學(xué)建構(gòu)主義認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是一個(gè)被動(dòng)的吸收過程，而是一個(gè)以已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)過程。 二、再創(chuàng)造教學(xué)理論 荷蘭著名的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾（ Hans Freudenthal）認(rèn)為：數(shù)學(xué)是人的一種活動(dòng)，如同游泳一樣，要在游泳中學(xué)會(huì)游泳，學(xué)生的學(xué)習(xí)只有通過自身的操作活動(dòng)和再創(chuàng)造性的“做”才可能是有效的，學(xué)生也必須在數(shù)學(xué)活動(dòng)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，而教學(xué)過程應(yīng)作為一種活動(dòng)進(jìn)行解釋和分析。實(shí)現(xiàn)這個(gè)方式的前提，就是要把數(shù)學(xué)教育作為一個(gè)活動(dòng)過程來加以分析，在整個(gè)活動(dòng)過程中，學(xué)生應(yīng)該始終處于一種積極、創(chuàng)造的狀態(tài)，要參與這個(gè)活動(dòng)，感覺到創(chuàng)造的需要，于是才有可能進(jìn)行“再創(chuàng)造”。目前，我國(guó)基礎(chǔ)教育課程改革的基本理念指向于問題探究式學(xué)習(xí)，課程改革遵從“ 基于 問題解決學(xué)習(xí)”的教學(xué)設(shè)計(jì)理念，將問題解決作為顯性課程納入教學(xué)過程中，以此作為“主題與問題式學(xué)習(xí)”的教學(xué)載體。教學(xué)要促進(jìn)學(xué)生思維就應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)，使學(xué)生產(chǎn)生問題意識(shí)并能自主解決問題的教學(xué)才是成功的教學(xué) [19]?？茖W(xué)素養(yǎng)包括科學(xué)知識(shí)、科學(xué)方法、科學(xué)態(tài)度、科學(xué)精神。 在課題探究學(xué)習(xí)中，教師不再是傳統(tǒng)的“傳道、授業(yè)、解惑”的知識(shí)傳授者和管理者，而是 學(xué)生進(jìn)行探究學(xué)習(xí)的促進(jìn)者和合作 者。 學(xué)生作為 具有創(chuàng)造能力的學(xué)習(xí)社會(huì)中的主體，教師應(yīng)充分信任他們，相信他們?cè)谝欢ǔ潭壬嫌心芰M(jìn)行自主地探索和研究。 課題探究學(xué)習(xí) 尤其注重發(fā)展學(xué)生運(yùn)用科學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。與一般的掌握知識(shí)、解答問題的學(xué)習(xí)活動(dòng)相比， 它更符合人們的生活和社會(huì) 的實(shí)際需要，因而有利于提高學(xué)生學(xué)以致用的本領(lǐng)。它在評(píng)價(jià)的方式和評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)上都是開放的、多元的。首先，學(xué)生課題的選擇是 開放的，課題的開放性要求教師不應(yīng)把學(xué)習(xí)內(nèi)容限制在某些方面，只要與數(shù)學(xué)有關(guān)，學(xué)生力所能及的，都可以成為課題探究的內(nèi)容；其次，學(xué)習(xí)的形式是開放的，可以是數(shù)學(xué)課內(nèi)知識(shí)的擴(kuò)充，可以是自己感興趣的數(shù)學(xué)問題，也可以是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、動(dòng)手制作等；再次，學(xué)習(xí)空間是開放的，要求學(xué)生可以從課堂走到課外；學(xué)習(xí)的途徑是開放的，可以檢索計(jì)算機(jī)、利用圖書館，可以走訪社會(huì)有關(guān)部門、單位，可以采訪各方面的專家、學(xué)者等；最后，學(xué)習(xí)結(jié)論是開放的，鼓勵(lì)學(xué)生就研究的問 題提出自己獨(dú)特的見解。 常見的方法主要有： 合情推理和演繹推理法 、數(shù)學(xué)分析與綜合法、數(shù)學(xué)化歸方法、 逐步逼近法、猜想法、 數(shù)學(xué)公理化方法等等。因此，在 數(shù)學(xué) 課題探究中要加強(qiáng)這種演繹方式的訓(xùn)練。總之，數(shù)學(xué)課題探究 學(xué)習(xí) 在解決問題的同時(shí)，加強(qiáng)了學(xué)生思維能力的訓(xùn)練，這樣又有利于 學(xué)生提出新的課題，進(jìn)而進(jìn)行新的探究學(xué)習(xí)，從而形成良性循環(huán)。抽象越來越成為數(shù)學(xué)的重要特點(diǎn)。這時(shí)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行抽象，去掉一些無關(guān)緊要的枝節(jié)問題，把問題的本質(zhì)突出來，從而利用已學(xué)過的概念、公式、定理、 方法來解決問題。另一方面，社會(huì)生活的各個(gè)方面日益增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)化趨勢(shì)，使得數(shù)學(xué)課題探究活動(dòng)的范圍更加廣泛。而且，這些問題以各種形式出現(xiàn)，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)探究的趣味性、游戲性和開放性等特點(diǎn)。 第四節(jié) 數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的教育價(jià)值 一、在數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)中，學(xué)生具有高度的主體性 數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)是在學(xué)生發(fā)展?jié)撃軣o限的理念下提出的，相信學(xué)生具有巨大的發(fā)展?jié)撃?，相信學(xué)生有能力自己解決自己的問題，高度尊重學(xué)生的人格和創(chuàng)造力。在數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生自己制定計(jì)劃（包括活動(dòng)的時(shí)間、地點(diǎn)、方式等），進(jìn)行自我監(jiān)控、自我評(píng)價(jià)，可以充分培養(yǎng)學(xué)生的自主意識(shí)和自我教育能力。在課題探究學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)習(xí)者是否掌握某項(xiàng)具體的知識(shí)或技能并不是頭等重要，關(guān)鍵是能否對(duì)所學(xué)的知識(shí)有所選擇、判斷、解釋和運(yùn)用，從而山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 18 有所發(fā)現(xiàn)、有所創(chuàng)造。在探究學(xué)習(xí)中，學(xué)習(xí)者通過親身實(shí)踐獲得感悟和體驗(yàn)，獲得豐富的非結(jié)構(gòu)性的知識(shí)，在思維方式上大量地依靠直覺與頓悟，這些都是創(chuàng)造性思維的重要組成部分 [22]。“課題探究學(xué)習(xí)”是以學(xué)生的“自主探索和自主創(chuàng)造”為宗旨，教師的權(quán)威不再像傳統(tǒng)教學(xué)那樣建立在學(xué)生的被動(dòng)與無知之上，而是建立在教師幫助學(xué)生積極參與以促進(jìn)其充分發(fā)展之上。數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的核心概念是“問題”，即學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題以后，帶著問題去尋求解決問題的策略。數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)以課題為紐帶，注重問題的提出與解決，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力得到極大的提高。狄爾曼（ Dillmann）說：“??數(shù)學(xué)能夠集中、加速和強(qiáng)化人們的注意力，能夠給人發(fā)明創(chuàng)造的精細(xì)與謙虛精神，能夠激發(fā)人們追求真理的勇氣和自信心??數(shù)學(xué)比起任何其它學(xué)科來，更能使學(xué)生得到充實(shí)和增添知識(shí)的光輝，更能鍛煉和發(fā)揮學(xué)生探索真理的獨(dú)山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 19 立工作能力” [23]。 山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 20 第三章 數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的策略及教學(xué)案例 前面我提出了研究問題、論述了該項(xiàng)研究?jī)r(jià)值，隨后進(jìn)行了大量的文獻(xiàn)研究，提出了在課堂中開展數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的有效性及可行性。數(shù)學(xué)探究課題可以從教材提供的案例和背景材料中發(fā)現(xiàn)和建立，也可以從教師提供的案例和背景材料中發(fā)現(xiàn)和建立，應(yīng)該特別鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、方法、思想的過程中發(fā)現(xiàn)和提出自己的問題并加以研究。例如，從教材內(nèi)容出發(fā)的問題有“多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)”“概率實(shí)驗(yàn)”等；從數(shù)學(xué)應(yīng)用出發(fā)的問題有“電話費(fèi)的計(jì)費(fèi)方式如何用函數(shù)表示”，“銀行儲(chǔ)蓄的稅后利息的計(jì)算”等。另一方面，數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)可根據(jù)學(xué)校的實(shí)際情況采取靈活多樣的方式進(jìn)山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 21 行，如利用數(shù)學(xué)方法開展某一問題的調(diào)查研究也是具有可操作性的數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)。一個(gè)好的數(shù)學(xué)探究性課題應(yīng)該是具有一定的開放性，有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究的過程，有助于學(xué)生形成 發(fā)現(xiàn)、探究問題的意識(shí)和提高數(shù)學(xué)的實(shí)踐能力、創(chuàng)新精神。作為中學(xué)生，一般不可能達(dá)到真正意義的探究，因而實(shí)施課題探究的重心就在于誘導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn) 數(shù)學(xué)規(guī)律。 一、 “情境式”問題提出 數(shù)學(xué)創(chuàng)新源于數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)問題的產(chǎn)生離不開一定的數(shù)學(xué)情境。 創(chuàng)設(shè)問題的情境需要三個(gè)條件：一是學(xué)習(xí)者能否在先前經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上覺察到問題的存在；二是探究的內(nèi)容對(duì)于學(xué)習(xí)者來說一定是未知的，而經(jīng)過努力是可 掌握的；三是能否激發(fā)探究者的認(rèn)知沖突、需要和期望。這種程序適應(yīng)于概念，公式，定理等知識(shí)過程的教學(xué)，體現(xiàn)學(xué)生參與發(fā)現(xiàn)過程的主體地位，注重了發(fā)現(xiàn)知識(shí)的策略和方法的培養(yǎng)。 三、 “開放式”問題變換 山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 23 傳統(tǒng)上，問題的答案是唯一的，解法是模式化的，稱這類問題是“封閉”的。通過一定的變式教學(xué)策略可以幫助學(xué)生系統(tǒng)的、有效的理解和掌握學(xué)科 知識(shí)。因此，合作學(xué)習(xí)成為當(dāng)今世界范圍內(nèi)廣泛使用的課堂教學(xué)組織形式。其次，教師又是合作學(xué)習(xí)的評(píng)估者，既要對(duì)學(xué)習(xí)過程不斷評(píng)估，又要對(duì)學(xué)習(xí)結(jié)束后各小組的學(xué)習(xí)成果進(jìn)行評(píng)估。要充分發(fā)揮探究課的作用，使其不流于形式，一個(gè)重要方面就是教師對(duì)所教內(nèi)容做出較好的教學(xué)法加工和組織。 讓學(xué)生感受到知識(shí)的發(fā)生過程，了解知識(shí)的可靠性和局限性，使他們認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)是在實(shí)驗(yàn)，猜想、反駁，修正和證明中發(fā)展起來的，從而發(fā)展他們合情推理的能力、勇于批判的精神和自我反省意識(shí)；讓學(xué)生理解知識(shí)的形成過程，可以使他們明晰數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，弄清楚知識(shí)之間的邏輯關(guān)系，從而培養(yǎng)他們的邏輯思維能力、概括能力和解決問題的能力；讓學(xué)生了解知識(shí)的發(fā)展性，可以使他們經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的探究歷程，培養(yǎng)他們的發(fā)散思維能力和直覺思維能力 [28]。 山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 25 生：利用圖形 31，可得 2211c os kbbMNd ????? ? ? ? 2211c osc os kbbMNMNd ???????? ??? 。 （令 BCbBAk ???? , 代入公式整理即得2200 BA CByAxd ? ??? ，最后補(bǔ)充說明以上結(jié)論當(dāng) B=0 時(shí)公式同樣成立） 【 循序漸進(jìn) 】 師：剛才我們通過兩條平行線距離的求法自然過渡到點(diǎn)到直線距離的求解，并由直線的點(diǎn)斜式自然過渡到直線的一般式，順利地完成了點(diǎn)到直線距離公式。 生：已知點(diǎn) P（ x0 , y0），直線 l： y=kx+b,可求 P 到 l 的距離。教材開門見山地提出了已知點(diǎn) P（ x0 , y0）和直線 l:Ax+By+C=0 怎樣求點(diǎn) P 到直線 l 的距離問題，然后進(jìn)行分析和證明。筆者擬結(jié)合教學(xué)實(shí)踐從教學(xué)內(nèi)容的組織與選擇闡述數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的四種基本類型。 山東師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 24 第三節(jié) 數(shù)學(xué)課題探究學(xué)習(xí)的基本類型及教學(xué)案例 設(shè)計(jì)探究性教學(xué)情境，讓中學(xué)生在觀察、歸納、分析、綜合，提出并驗(yàn)證結(jié)論的過程中體會(huì)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，長(zhǎng)期以來受到數(shù)學(xué)教育研究者的重視。另一方面，教師也不再是過去的“主演”，而應(yīng)是營(yíng)造一個(gè)寬松和諧，民主的環(huán)境。因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中引進(jìn)“開放式”問題也將成為必然，它可作為貫徹素質(zhì)教育的一個(gè)切入口，成為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的載體，教師要樹立正確的教學(xué)思想，在教學(xué)中要有意識(shí)構(gòu)建開放式問題，讓學(xué)生進(jìn)行探索和交流活動(dòng)，才能在教學(xué)過程中有意識(shí)地向?qū)W生傳授思維策略，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力 [26]。開放題由于其自身的開放性質(zhì)，不再是方法唯一，答案唯一，這就吸引學(xué)生不依賴教師和