【正文】 其焦點在于全體學生必須學習問題解決的必要性和選擇問題及所應用的技巧時的困難[30]。最后，“問題解決”是個基本技能，當“問題解決”解釋為基本技能時，它遠非一個單一的技巧，而是若干個技巧的一個整體。在進行問題解決時學生必須綜合他所學到的東西，并把它用到新的、困難的情境中去，此種解釋著重考慮學生用以解決問題的方法、策略和猜想。重視問題解決能力的培養(yǎng)，發(fā)展問題解決的能力，其目的倒不是單純?yōu)榱吮M量多盡量好地解決新問題，而是為了學習在這個充滿疑問，有時連問題和答案都是不確定的世界里生存的本領。我們以問題解決作為數(shù)學教育的中心即要努力幫助學生學會“數(shù)學地思維”。其三，暴露思維過程，不僅要給成功的范例，還要展示失敗和挫折，讓學生了解探索的艱辛和反復，體驗研究的氛圍和真諦。為了提升數(shù)學課的探究成分，教學設計應當把握好以下3個環(huán)節(jié)：其一，揭示知識的形成過程，從數(shù)學家的廢紙簍里尋找研究的痕跡，讓學生看到并體驗，面對一個新問題他們是如何去研究、創(chuàng)造的。這就意味著，作為數(shù)學課題探究學習必須在課堂中充分暴露教師的思維過程，充分展現(xiàn)知識的形成過程，讓學生在兩種過程的認同與體驗中建構知識。數(shù)學知識不能從一個人遷移到另一個人，一個人的數(shù)學知識必須基于個人對經驗的操作、交流通過反省來主動建構。因此，筆者嘗試以課題探究學習為前提，以合作交流為形式，以探究建構為目的，通過教師與學生、學生和學生的互動，攻克了教學的難點，實現(xiàn)了學生對此公式認識的建構和深化。數(shù)學新課程以轉變學生的學習方式為著眼點，以學生的發(fā)展為本，以發(fā)展學生的創(chuàng)新能力為本。點評：本設計的創(chuàng)新點在于這節(jié)課的教學目標，顯然不僅是為了得到一個公式，要結論，而重要的是要過程。設P（x0 , y0），P1（x1 , y1）?！居嗯d未消】 生：從代數(shù)式結構出發(fā)分析，構造向量（A ，B）與（），用它們的數(shù)量積表示（如圖32）設向量=（A ，B），P1（x1 ，y1）,，而，因為所以， =（因為）。由于加強了任務分析，簡化了計算過程，運算量小，但思維量大。② 師：非常好！那么怎樣處理①、②兩式？ 生：可以將①、②兩式平方后相加，得到 ，所以，= ，兩邊開平方，取算數(shù)根求出d。生：直線PQ的方程可寫成。生：如圖32，設P（x0 , y0），P1（x , y），于是， =當x = 時, 的最小值是yPQxO圖32l=【登高望遠】師：非常好，這種方法雖然運算較冗繁，但能訓練學生的耐性，培養(yǎng)學生的運算能力。那么，能否從代數(shù)式結構尋求解法？生：可以，點到直線的距離是該點到直線上任意一點距離的最小值，因此可以通過求最小值的方法來解決。（令代入公式整理即得，最后補充說明以上結論當B=0時公式同樣成立）【循序漸進】 師：剛才我們通過兩條平行線距離的求法自然過渡到點到直線距離的求解，并由直線的點斜式自然過渡到直線的一般式，順利地完成了點到直線距離公式的推導。生：已知點P（x0 , y0），直線l：y=kx+b,可求P到l 的距離。生：利用圖形31，可得 。教材開門見山地提出了已知點P（x0 , y0）和直線l:Ax+By+C=0怎樣求點P到直線l的距離問題，然后進行分析和證明。讓學生感受到知識的發(fā)生過程，了解知識的可靠性和局限性，使他們認識到數(shù)學知識是在實驗，猜想、反駁，修正和證明中發(fā)展起來的，從而發(fā)展他們合情推理的能力、勇于批判的精神和自我反省意識；讓學生理解知識的形成過程，可以使他們明晰數(shù)學的嚴謹性，弄清楚知識之間的邏輯關系，從而培養(yǎng)他們的邏輯思維能力、概括能力和解決問題的能力；讓學生了解知識的發(fā)展性，可以使他們經歷數(shù)學知識的探究歷程，培養(yǎng)他們的發(fā)散思維能力和直覺思維能力[28]。筆者擬結合教學實踐從教學內容的組織與選擇闡述數(shù)學課題探究學習的四種基本類型。要充分發(fā)揮探究課的作用，使其不流于形式，一個重要方面就是教師對所教內容做出較好的教學法加工和組織。第三節(jié) 數(shù)學課題探究學習的基本類型及教學案例設計探究性教學情境，讓中學生在觀察、歸納、分析、綜合，提出并驗證結論的過程中體會和學習數(shù)學，長期以來受到數(shù)學教育研究者的重視。其次，教師又是合作學習的評估者，既要對學習過程不斷評估，又要對學習結束后各小組的學習成果進行評估。另一方面，教師也不再是過去的“主演”，而應是營造一個寬松和諧，民主的環(huán)境。因此，合作學習成為當今世界范圍內廣泛使用的課堂教學組織形式。因此，在數(shù)學課堂教學中引進“開放式”問題也將成為必然，它可作為貫徹素質教育的一個切入口，成為培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的載體，教師要樹立正確的教學思想，在教學中要有意識構建開放式問題，讓學生進行探索和交流活動，才能在教學過程中有意識地向學生傳授思維策略，從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力[26]。通過一定的變式教學策略可以幫助學生系統(tǒng)的、有效的理解和掌握學科知識。開放題由于其自身的開放性質，不再是方法唯一，答案唯一，這就吸引學生不依賴教師和書本，獨立地去探索和發(fā)現(xiàn)問題的各種各樣的答案，可使學生在解題中形成積極探索和創(chuàng)造性的心理態(tài)勢，對數(shù)學本質產生一種新的領悟，進而生動活潑地參與“學數(shù)學，做數(shù)學，用數(shù)學”的過程使學生的認知結構得到有效的發(fā)展。三、“開放式”問題變換傳統(tǒng)上，問題的答案是唯一的，解法是模式化的，稱這類問題是“封閉”的。數(shù)學家波利亞在他的著作《數(shù)學與猜想》中特別強調：數(shù)學的創(chuàng)造性過程是與其他知識的創(chuàng)造過程是一樣的，在證明一個數(shù)學定理之前，你先得猜測這個定理的內容，在你完全做出詳細證明之前，你先得推測證明的思路……只要數(shù)學的學習過程稍能反映出數(shù)學的發(fā)明過程的話，那么就應當讓猜測，合情推理占有適當?shù)奈恢肹24]。這種程序適應于概念，公式，定理等知識過程的教學，體現(xiàn)學生參與發(fā)現(xiàn)過程的主體地位，注重了發(fā)現(xiàn)知識的策略和方法的培養(yǎng)。二、“發(fā)現(xiàn)式”問題探究 數(shù)學發(fā)現(xiàn)是數(shù)學探究的一個重要方面，沒有發(fā)現(xiàn)就沒有證明，但傳統(tǒng)的數(shù)學過程是重證明輕發(fā)現(xiàn)的，這顯然是數(shù)學“演繹”式的教學，不利于學生理解數(shù)學。 創(chuàng)設問題的情境需要三個條件：一是學習者能否在先前經驗的基礎上覺察到問題的存在；二是探究的內容對于學習者來說一定是未知的，而經過努力是可掌握的；三是能否激發(fā)探究者的認知沖突、需要和期望。 數(shù)學情境的創(chuàng)設應以一定數(shù)學知識和數(shù)學方法為依托，同時也是數(shù)學知識產生的背景，其素材可以源于生活，源于數(shù)學自身，還可以源于其它學科，它不僅能激發(fā)數(shù)學問題的提出，也能為數(shù)學問題的提出和解決提供相應的信息和依據。一、“情境式”問題提出數(shù)學創(chuàng)新源于數(shù)學問題，數(shù)學問題的產生離不開一定的數(shù)學情境。事實上，課堂教學是數(shù)學教學的主渠道，因而對那些可以改造成數(shù)學探究性課題的數(shù)學課堂教學內容，數(shù)學教師要創(chuàng)造性地把它設計成具有探索性和開放性的問題。作為中學生，一般不可能達到真正意義的探究，因而實施課題探究的重心就在于誘導學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律。，學會與他人交流合作和建立嚴謹?shù)目茖W態(tài)度。一個好的數(shù)學探究性課題應該是具有一定的開放性，有助于學生對數(shù)學的理解，有助于學生體驗數(shù)學研究的過程，有助于學生形成發(fā)現(xiàn)、探究問題的意識和提高數(shù)學的實踐能力、創(chuàng)新精神。數(shù)學課題探究學習是學生利用所學知識進行綜合運用的最有效方式，因此選擇數(shù)學探究的內容時，要使其有利于學生多層次、多角度地思考問題，有利于學生對信息的分析、綜合、交流能力的提高等。另一方面，數(shù)學課題探究學習可根據學校的實際情況采取靈活多樣的方式進行，如利用數(shù)學方法開展某一問題的調查研究也是具有可操作性的數(shù)學探究性學習活動。數(shù)學課題探究學習的實施往往會受到一些主客觀條件的制約，因此要因材施教和因地制宜。例如，從教材內容出發(fā)的問題有“多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)”“概率實驗”等；從數(shù)學應用出發(fā)的問題有“電話費的計費方式如何用函數(shù)表示”，“銀行儲蓄的稅后利息的計算”等。問題是數(shù)學的心臟，數(shù)學思維是從數(shù)學問題開始的，因此數(shù)學課題探究學習的核心是要首先確定某個探究解決的數(shù)學問題。數(shù)學探究課題可以從教材提供的案例和背景材料中發(fā)現(xiàn)和建立，也可以從教師提供的案例和背景材料中發(fā)現(xiàn)和建立，應該特別鼓勵學生在學習數(shù)學知識、技能、方法、思想的過程中發(fā)現(xiàn)和提出自己的問題并加以研究。由此看來，以課例為載體，進行數(shù)學課題探究學習的策略及實證研究就顯得十分必要。第三章 數(shù)學課題探究學習的策略及教學案例前面我提出了研究問題、論述了該項研究價值，隨后進行了大量的文獻研究，提出了在課堂中開展數(shù)學課題探究學習的有效性及可行性。數(shù)學課題探究學習，真正能讓學生深刻理解和體會這些精神。狄爾曼（Dillmann）說：“……數(shù)學能夠集中、加速和強化人們的注意力，能夠給人發(fā)明創(chuàng)造的精細與謙虛精神，能夠激發(fā)人們追求真理的勇氣和自信心……數(shù)學比起任何其它學科來，更能使學生得到充實和增添知識的光輝，更能鍛煉和發(fā)揮學生探索真理的獨立工作能力” [23]。曼努爾（Kant Immanuel）說：“教育孩子的目標應該是逐步地組合他們的知與行。數(shù)學課題探究學習以課題為紐帶，注重問題的提出與解決，使學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力得到極大的提高。事實上，人類的的生活、學習、工作活動就是一個不斷發(fā)現(xiàn)問題與解決問題的過程，因此，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力應該是教育的一個重要任務。數(shù)學課題探究學習的核心概念是“問題”，即學生在發(fā)現(xiàn)問題以后，帶著問題去尋求解決問題的策略。學生創(chuàng)造性精神的培養(yǎng)需要在問題情境中進行?！罢n題探究學習”是以學生的“自主探索和自主創(chuàng)造”為宗旨，教師的權威不再像傳統(tǒng)教學那樣建立在學生的被動與無知之上，而是建立在教師幫助學生積極參與以促進其充分發(fā)展之上。潛創(chuàng)造力，是指對個人來說是獨特的、新穎的發(fā)現(xiàn)或想法，但對整個人類社會而言則屬已經被人們發(fā)現(xiàn)或發(fā)明過的成果，不涉及到社會價值的創(chuàng)造力。在探究學習中，學習者通過親身實踐獲得感悟和體驗，獲得豐富的非結構性的知識，在思維方式上大量地依靠直覺與頓悟，這些都是創(chuàng)造性思維的重要組成部分[22]。一個人的創(chuàng)造性思維離不開一定的知識基礎，而這個基礎應該是間接經驗與直接經驗的結合。在課題探究學習的過程中，學習者是否掌握某項具體的知識或技能并不是頭等重要，關鍵是能否對所學的知識有所選擇、判斷、解釋和運用，從而有所發(fā)現(xiàn)、有所創(chuàng)造?？傊?，在數(shù)學課題探究學習過程中，無論是在學習的方式、進度，還是在實施地點、最終成果的呈現(xiàn)等方面，學生都擁有高度的自主性和積極性；教師不再是作為知識的權威，將預先組織的知識體系傳遞給學生，而是與學生共同參與到探究知識的過程中去；學生不再地作為知識的接受者，聆聽教師一再重復的事實和結論，而是自己提出和整理問題，并自己解決問題得出結論。在數(shù)學課題探究學習的過程中，學生自己制定計劃（包括活動的時間、地點、方式等），進行自我監(jiān)控、自我評價，可以充分培養(yǎng)學生的自主意識和自我教育能力。在學習內容上，學生從學習生活和社會生活中自主選擇和確定他們自己感興趣的問題進行研究。第四節(jié) 數(shù)學課題探究學習的教育價值一、在數(shù)學課題探究學習中，學生具有高度的主體性數(shù)學課題探究學習是在學生發(fā)展?jié)撃軣o限的理念下提出的，相信學生具有巨大的發(fā)展?jié)撃?，相信學生有能力自己解決自己的問題，高度尊重學生的人格和創(chuàng)造力。有著現(xiàn)實生活背景的應用問題，使學生在一定程度上感受到“真實”的數(shù)學，有助于提高學生數(shù)學的應用意識和實踐能力。而且，這些問題以各種形式出現(xiàn)，增強了數(shù)學探究的趣味性、游戲性和開放性等特點。正如懷特黑德（. Whitehead） 所說：“沒有什么比這一事實更令人難忘，數(shù)學脫離現(xiàn)實而進入抽象思維限度的最高層次，當它返回現(xiàn)實時，在對具體事物分析時，其重要性也相應增強了……最抽象的東西是解決現(xiàn)實問題最有力武器，這一悖論已完全為人們接受了。另一方面，社會生活的各個方面日益增長的數(shù)學化趨勢，使得數(shù)學課題探究活動的范圍更加廣泛。實際上，這是一種誤解。這時，教師需要引導學生對實際問題進行抽象，去掉一些無關緊要的枝節(jié)問題，把問題的本質突出來，從而利用已學過的概念、公式、定理、方法來解決問題。在數(shù)學課題探究學習中，有些數(shù)學課題源于現(xiàn)實生活，而大多數(shù)學生通常在進行純粹的數(shù)學計算、變換和推演時可能感到困難不大，可一接觸到現(xiàn)實中有待解決的數(shù)學問題，往往束手無策。抽象越來越成為數(shù)學的重要特點。數(shù)學學科內容的豐富性決定了問題解決方法的多樣化，給學生提供了廣闊的思維空間，使學生真正感受到數(shù)學課題探究學習的魅力?？傊瑪?shù)學課題探究學習在解決問題的同時，加強了學生思維能力的訓練，這樣又有利于學生提出新的課題，進而進行新的探究學習，從而形成良性循環(huán)。一般根據概括對象是否完全而分為完全歸納法與不完全歸納法。因此，在數(shù)學課題探究中要加強這種演繹方式的訓練。演繹推理的重要形式是由大前提、小前提推出結論的三段論推理。常見的方法主要有：合情推理和演繹推理法、數(shù)學分析與綜合法、數(shù)學化歸方法、逐步逼近法、猜想法、數(shù)學公理化方法等等。作為一門基礎學科，數(shù)學課題探究學習尤其重視學生的思維方式。首先，學生課題的選擇是開放的，課題的開放性要求教師不應把學習內容限制在某些方面，只要與數(shù)學有關，學生力所能及的，都可以成為課題探究的內容；其次，學習的形式是開放的，可以是數(shù)學課內知識的擴充，可以是自己感興趣的數(shù)學問題，也可以是數(shù)學實驗、動手制作等；再次，學習空間是開放的，要求學生可以從課堂走到課外；學習的途徑是開放的，可以檢索計算機、利用圖書館，可以走訪社會有關部門、單位，可以采訪各方面的專家、學者等；最后，學習結論是開放的，鼓勵學生就研究的問題提出自己獨特的見解。在評價標準上，考慮到學生的個體差異，則采用多層次的評價標準，從而使評價標準具有彈性化，人性化的特征。它在評價的方式和評價的標準上都是開放的、多元的。這種評價方式過分強調學習和思維方式的統(tǒng)一性，壓抑了個性，不利于學生創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。與一般的掌握知識、解答問題的學習活動相比，它更符合人們的生活和社會的實際需要，因而有利于提高學生學以致用的本領。探究教學非常注重這后3個層次的學習，尤其是問題解決。課題探究學習尤其注重發(fā)展學生運用科學知識解決實際問題的能力。傳統(tǒng)教學特別注意結果，在很大程度上忽視了知識獲得的過程。學生作為具有創(chuàng)造能力的學習社會中的主體，教師應充分