第6章概率分布(參考版)
2024-10-21 13:08本頁面
【正文】 將該定理用于抽樣推斷就有如下結(jié)論： 不管總體是什么分布，只要樣本單位數(shù) n足夠大（一般要大于 30個），那么樣本的頻率（成數(shù)）分布就趨于數(shù)學期望為 p，方差為 pq/n的正態(tài)分布。 返回 中心極限定理（辛欽中心極限定理） 如果隨機變量 X1 ， X2 ， …Xn相互獨立，且服從同一分布，且有有限的數(shù)學期望 μ和方差 σ2，則隨機變量 X=ΣXk/n ，在 n無限大時，服從參數(shù)為 μ和 σ2/n 的正態(tài)分布，即 n趨于無窮大時， X～ N（ μ， σ2/n） 將該定理用于抽樣推斷就有如下結(jié)論： 不管總體是什么分布，只要其均值和方差存在，當樣本單位數(shù)足夠大（一般要大于 30個）時，樣本平均數(shù)的分布就趨于數(shù)學期望為 μ，方差為 σ2/n 的正態(tài)分布。 將該定律用于抽樣推斷就有如下結(jié)論： 隨著樣本單位數(shù)的增加，樣本平均數(shù)將有接近總體平均數(shù)的趨勢 大數(shù)定律（ 切貝雪夫大數(shù)定律 ） 設 n次獨立試驗中，事件 A發(fā)生的次數(shù)為 m，事件 A在每次試驗中發(fā)生的概率為 P，則對于任意的正數(shù) ε，有： 即當試驗次數(shù)足夠多時， “ 事件 A發(fā)生的頻率與事件 A的概率之差，就其絕對值來說，可以充分小 ” 的概率趨于 1；也就是說，當試驗次數(shù)很多時，事件 A發(fā)生的頻率與概率有較大偏差的可能性很小。 χ2 （ n）分布的數(shù)學期望和方差分別為： μ=n 和 σ2=2n 返回 t 分布 設隨機變量 X～ N（ 0， 1）， Y～ χ2 （ n） ，且 X ， Y 相互獨立，則隨機變量 的分布稱為自由度為 n 的 t 分布，記為T～ t（ n）。 解：設 X為 100臺車床中工作著的車床臺數(shù)，則， X～ B（ 100， ），現(xiàn)在用正態(tài)分布近似計算， np=80， pq=16 思考： 如何計算任一時刻有 80臺以上車床在工作的概率 返回 χ2（卡方）分布 設隨機變量 X1 ， X2 ， … ， Xn 皆服從 N （ 0 ， 1 ）分布，且相互獨立，則隨機變量 X=∑Xk2 所服從的分布稱為 χ2分布，并記為 X～ χ2 （ n）。理論研究表明，當 n很大，而 0＜ p＜ 1是一個定值時，二項分布的隨機變量近似地服從正態(tài)分布 N（ np， npq）。 （ 1）求整批電冰箱壓縮機的壽命大于 9年的概率 （ 2）求整批電冰箱壓縮機壽介于 9～ 11年的概率 解： X～ N（ 10， 22）， 則（ 1） 正態(tài)分布（舉例） （ 2） 思考： 如果該廠為了提高產(chǎn)品競爭力，提出其電冰箱壓縮機在保險期 限年遇有故障可免費換新，該廠預計免費換新的比重為 1%，請 確定該廠電冰箱壓縮機免費換新的保用年限。 正態(tài)分布的概率計算 對于標準正態(tài)分布，即 Z～ N（ 0， 1），有 對于負的 Z，可由 得到 將一般正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布后，通過查表，就可以解決正態(tài)分布的概率計算問題。此時 X的密度函數(shù)記為 ，即 （ － ∞＜ x＜ +∞） 正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì) 以直線 χ=μ為對稱軸； 以直線 y=0（ x軸）為漸近線； 當 χ=μ時， f（ x）有極大值 ； 曲線與軸的面積為 1，即 正態(tài)分布的分布函數(shù) 設 X～ N（ μ， σ2 ），其密度函數(shù)為 f（ x）， 則 X的分布函數(shù)為 （ － ∞＜ x＜ +∞） 標準正態(tài)分布 設 N（ 0， 1），則其分布函數(shù)為： （ － ∞＜ x＜ +∞） 根據(jù)正態(tài)分布的數(shù)學性質(zhì)，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布。 返回 超幾何分布 (舉例 ) 【 例 】 假定有 10
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