【正文】 查表得歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)()Gp： 321() 2 2 1Gp p p p? ? ? ? （ 5）頻率變換，將歸一化低通 ()Gp轉(zhuǎn)換成 實(shí)際帶通 ()aHs 220332 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3 30 0 036 5 4 3 2( ) ( )( ) 2 ( ) 2 ( )0 .0 8 50 .8 7 9 8 1 .4 4 8 4 0 .7 0 7 6 0 .5 1 2 4 0 .1 1 0 1 0 .0 4 4 3sa psBH s G pBss s sB s s B s Bss s s s s s?? ? ?????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?（ 6）用雙線性變換公式將 ()aHs轉(zhuǎn)換成 ()Hz 11211( ) ( ) |a s TH z H s ????? ??? 1 5 1 2 3 4[ 0 .0 1 8 1 1 .7 7 6 4 1 0 0 .0 5 4 3 4 .4 4 0 9 0 .0 5 4 3z z z z? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 1 5 5 6 1 23 4 5 6 12 . 7 7 5 6 1 0 0 . 0 1 8 1 ] [ 1 2 . 2 7 2 3 . 5 1 5 13 . 2 6 8 5 2 . 3 1 2 9 0 . 9 6 2 8 0 . 2 7 8 ]z z z zz z z z? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 。為計(jì)算方便，取 2Ts? 。采用巴特沃斯型模擬濾波器進(jìn)行設(shè)計(jì)，用雙線性變換法進(jìn)行轉(zhuǎn)換。 ③ 用脈沖響應(yīng)不變法將 ()aHs轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù) ()Hz 410() 1 kksTk BTHz ez??? ?? 其中， 31 10T ms s??? 。 解 （ 1）沖激響應(yīng) 不變法 本題要求用巴特沃斯型模擬濾波器設(shè)計(jì)。 8 設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器，要求通帶內(nèi)頻率低于 rad? 時(shí)，容許幅度誤差在 dB1 之內(nèi)；頻率在 ? 到 ? 之間的阻帶衰減大于 dB10 。 雙線性變換法的設(shè)計(jì)公式為： 112 1 2 111( ) ( ) |a zzs T T zzH z H s ?????? ??? 當(dāng) 2T? 時(shí)，11( ) ( ) |azs zH z H s ?? ??，這時(shí)，如 果 ()aHs為低通，則 ()Hz亦為低通。 （ 1） 0?? （低通） （ 2） ??? （高通） （ 3）除 0 和 ? 以外的某一頻率（帶通） 解 方法 1：按題意可寫出 11( ) ( ) |azs zH z H s ?? ?? 故 c os1 2c ta n12sin 2jjej j je???????? ? ?? 即 | | ctan 2?? ? 原模擬 低通濾波器以 0?? 為通帶中心，由上式可知， 0?? 時(shí)，對(duì)應(yīng)于 ??? ，故答案（ 2）正確。 定性畫出數(shù)字濾波器的幅頻特性，如題 6 解圖所示： 0?2??()jHe? 題 6 解圖 易知數(shù)字濾波器近似為低通濾波器。確定系統(tǒng)函數(shù) )(zH ，并把 T 作為參數(shù)，證明： T 為任何值時(shí)，數(shù)字濾波器是穩(wěn)定的，并說明數(shù)字濾波器近似為低通濾波器還是高通濾波器。 256 162 4 8 2 4 87 . 2 6 8 7 1 0() ( 1 . 6 7 3 1 1 0 4 . 7 7 9 1 1 0 ) ( 4 . 0 3 9 4 1 0 4 . 7 7 9 0 1 0 )aHs s s s s?? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 試分別用沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法將下列模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) )(sHa 轉(zhuǎn)換為數(shù)字系統(tǒng)函數(shù) )(zH 。因?yàn)?41pp?? ， 32pp?? ，所以， 41ss?? ，32ss?? 。求濾波器的歸一化系統(tǒng)函數(shù) )(pHa 和實(shí)際系統(tǒng)函數(shù) )(sHa 。 解 （ 1）確定高通濾波器的技術(shù)指標(biāo) 2 0 31 0 1 5ppssf kH z d Bf kH z d B???? 易知 3dB 截止頻率為： 20cpf f kHz?? 歸一化邊界頻率為： 333320 10 120 1010 10 20 10ppcsscffff???? ? ???? ? ?? （ 2）轉(zhuǎn)換成相應(yīng)低通濾波器的技術(shù)指標(biāo) 254 1 131 2 1 5pppsssdBdB??????? ? ?? ? ? （ 3）設(shè)計(jì)歸一化低通 ()Gp。 （ 1） 11 14(1 )() 1 z???? ?， 122 121 1 .4 1 4() 1 0 .9 0 .8 1zzHz zz??????? ?? )( nx )( ny1?z1?z1?z0 . 54 0 . 9 0 . 8 1 1 . 4 1 4 題 2 解圖 (a) （ 2） 11 124 (1 )() 1 0 .9 0 .8 1zHz zz????? ??， 122 11 1 .4 1 4() 1 0 .5zzHz z?????? ? 0 . 54 0 . 9 0 . 8 1 1 . 4 1 4)( nx )( ny1?z1?z1?z1?z 題 2 解圖 (b) 3 設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃斯高通濾波器，要求其通帶截止頻率 kHzfp 20? ，阻帶截止頻率kHzfs 10? ， pf 處最大衰減為 dB3 ，阻帶最小衰減為 dB15 。 解 252 對(duì) 差分方程兩邊進(jìn)行 Z 變換，得： 1 2 13 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 8 3Y z z Y z z Y z X z z X z? ? ?? ? ? ? 所以，系統(tǒng)函數(shù)為： 112113() 311 48zHzzz??????? （ 1）直接型 )(nx )(ny1?z3 / 41 / 3 1 / 8 題 1 解圖 (a) （ 2）級(jí)聯(lián)型 將 ()Hz的零、極點(diǎn)進(jìn)行因式分解，得 111 2 1 1111133() 3 1 1 11 ( 1 ) ( 1 )4 8 2 4zzHzz z z z??? ? ? ?????? ? ? ? 按照上式可以有兩種級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)： )( nx )( ny1?z1?z1 / 41 / 21 / 3 或 )( nx )( ny1?z1?z1 / 41 / 21 / 3 題 1 解圖 (b) （ 3）并聯(lián)型 將 ()Hz展開成部分分式，得 11 1 1 11 10 713 3 3() 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) 1 12 4 2 4zHzz z z z?? ? ? ???? ? ?? ? ? ? )( nx)( nyz1 / 21?1 / 41 0 / 3 7 / 3 題 1 解圖 (c) 2 設(shè)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為： 253 ))(( ))(1(4)( 211211????????? ???? zzz zzzzH 試畫出各種可能的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)。易畫出幅頻特性 )( ?jeH ，判斷為高通濾波器。 例 6 一個(gè)線性時(shí)不變因果系統(tǒng)由下列差分方程描述： )1()1()()( ????? nynxnxny 求系統(tǒng)函數(shù) ()Hz，并判斷系統(tǒng)屬 于 FIR 和 IIR 中的哪一類以及它的濾波特性。 解 階躍響應(yīng)不變法是使數(shù)字濾波器的階躍響應(yīng) ()gn 模仿模擬濾波器的階躍響應(yīng) ()agt，即將模擬濾波器的階躍響應(yīng)加以等間隔采樣，使 ()gn 正好等于 ()agt的采樣值，即滿足 ( ) ( ) ( )aat n Tg n g t g nT??? 其中， T 是采樣周期。實(shí)際工作中有時(shí)需要數(shù)字濾波器模仿模擬濾波器的單 位階躍響應(yīng)波形。 |)()( 22222??????? ? ss sss spGsH ccspa c ??? 用雙線性變換法將模擬高通轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通。 1??cpp ??? ??css ??? 低通指標(biāo)為： 1/1 ?? pp ?? dBp 3?? ?? ss ?? dBs 18?? （ 4）設(shè)計(jì)歸一化 Butterworth 低通濾波器。 ?? ?p rad dBp 3?? ?? ?s rad dBs 18?? （ 2）確定相應(yīng)模擬高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，由于設(shè)計(jì)的是數(shù)字高通濾波器，所以應(yīng)選用雙線性變換法（取 sT 2? ）。 ③ 求模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù) )(sHa a. 計(jì)算階數(shù) N ? （與（ 1）的 ③ 相同） lg l g 0. 18 03 l g l g 5. 32 76ssppspspkN????? ? ?? ? ? ? ? 工程上允許時(shí)，為簡(jiǎn)化，可取 1N? b. 查表得 1 階歸一化低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 1() 1Gp s? ? c. 將 )(pG 去歸一化，得到實(shí)際系統(tǒng)函數(shù) )(sHa 249 443 . 4 6 4 1 1 0( ) ( ) | 3 . 4 6 4 1 1 0ccasp cH s G p ss?? ???? ? ?? ? ? ④ 用雙線性變換法將模擬系統(tǒng)函數(shù) )(sHa 轉(zhuǎn)換成數(shù)字系統(tǒng)函數(shù) 2()Hz 114122 1 11 441 1 10 ( 1 )( ) ( ) |1 1 95z6 10 101a zsT zzH z H szz???? ???? ???? ? ?? ?? ? ?? 例 4 設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字高通濾波器，要求通帶截止頻率 ?? ?p rad ，通帶衰減不大于 3dB，阻帶截止頻率 ?? ?s rad ，阻帶衰減不小于 18dB，希望采用 Butterworth 型濾波器。所以，這里要 進(jìn)行頻率預(yù)畸變校正 。 ② 將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo) 。在沖激響應(yīng)不變法中， T??? （31130 10sT f?? ?），所以有： 333 0 1 0 1 0 0 0 0 / 334 3 0 1 0 2 4 0 0 0 / 1 55pppsssra d s d BTra d s d BT? ?? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ③ 求模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù) )(sHa a. 根據(jù)題意，選擇巴特沃斯類型，計(jì)算階數(shù) N 0. 1 0. 30. 1 1. 510 1 10 10. 18 0310 1 10 1240002. 410000lg l g 0. 18 031. 95 69l g l g 2. 4psasp assppspspkkN? ???????? ? ???? ? ?? ? ? ? ? 取 2N? b. 查表得 2 階歸一化低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 248 2 1() 21Gp pp? ?? c. 將 )(pG 去歸一化，得到實(shí)際系統(tǒng)函數(shù) )(sHa 2 822 2 2 4 8 210( ) ( ) | 2 1 0 2 1 0ccasp cc