【正文】 ∴∠ BAF=60176。及平行四邊形的判定定理． 第 40 頁（共 43 頁） 29．如圖，將一張矩形紙片 ABCD 沿直線 MN 折疊，使點(diǎn) C 落在點(diǎn) A 處，點(diǎn) D 落在點(diǎn) E 處，直線 MN 交BC 于點(diǎn) M，交 AD 于點(diǎn) N． （ 1）求證： CM=CN； （ 2）若 △ CMN 的面積與 △ CDN 的面積比為 3： 1，求 的值． 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；勾股定理；翻折變換（折疊問題）． 【分析】（ 1）由折疊的性質(zhì)可得： ∠ ANM=∠ CNM，由四邊形 ABCD 是矩形，可得 ∠ ANM=∠ CMN，則可證得 ∠ CMN=∠ CNM，繼而可得 CM=CN； （ 2）首先過點(diǎn) N 作 NH⊥ BC 于點(diǎn) H，由 △ CMN 的面積與 △ CDN 的面積比為 3： 1，易得 MC=3ND=3HC，然后設(shè) DN=x，由勾股定理，可 求得 MN 的長，繼而求得答案． 【解答】（ 1）證明：由折疊的性質(zhì)可得： ∠ ENM=∠ DNM， 即 ∠ ENM=∠ ENA+∠ ANM， ∠ DNM=∠ DNC+∠ CNM， ∵∠ ENA=∠ DNC ∴∠ ANM=∠ CNM， ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥ BC， ∴∠ ANM=∠ CMN， ∴∠ CMN=∠ CNM， ∴ CM=CN； （ 2）解：過點(diǎn) N 作 NH⊥ BC 于點(diǎn) H， 則四邊形 NHCD 是矩形， ∴ HC=DN， NH=DC， ∵△ CMN 的面積與 △ CDN 的面積比為 3： 1， 第 41 頁（共 43 頁） ∴ = = =3， ∴ MC=3ND=3HC， ∴ MH=2HC， 設(shè) DN=x，則 HC=x， MH=2x， ∴ CM=3x=CN， 在 Rt△ CDN 中， DC= =2 x， ∴ HN=2 x， 在 Rt△ MNH 中， MN= =2 x， ∴ = =2 ． 【點(diǎn)評】此題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理以及三角形的面積．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用． 30．如圖，在矩形 ABCD 中， E 是 CD 邊上的點(diǎn)，且 BE=BA，以點(diǎn) A 為圓心、 AD 長為半徑作 ⊙ A 交 AB于點(diǎn) M，過點(diǎn) B 作 ⊙ A 的切線 BF，切點(diǎn)為 F． （ 1）請判斷直線 BE 與 ⊙ A 的位置關(guān)系，并說明 理由； （ 2）如果 AB=10， BC=5，求圖中陰影部分的面積． 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；切線的判定與性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算． 【專題】幾何綜合題． 第 42 頁（共 43 頁） 【分析】（ 1）直線 BE 與 ⊙ A 的位置關(guān)系是相切，連接 AE，過 A 作 AH⊥ BE，過 E 作 EG⊥ AB，再證明AH=AD 即可； （ 2）連接 AF，則圖中陰影部分的面積 =直角三角形 ABF 的面積﹣扇形 MAF 的面積． 【解答】解：（ 1）直線 BE 與 ⊙ A 的位置關(guān)系是相切， 理由如下：連接 AE，過 A 作 AH⊥ BE，過 E 作 EG⊥ AB，則四邊形 ADEG 是矩形． ∵ S△ ABE= BE?AH= AB?EG， AB=BE， ∴ AH=EG， ∵ 四邊形 ADEG 是矩形， ∴ AD=EG， ∴ AH=AD， ∴ BE 是圓的切線； （ 2）連接 AF， ∵ BF 是 ⊙ A 的切線， ∴∠ BFA=90176。．（ 1 分） ∴∠ ADE=∠ DEC，（ 1 分） ∴∠ DEC=∠ AED． 又 ∵ DF⊥ AE， ∴∠ DFE=∠ C=90176。﹣ ∠ BAF， ∠ EDA=90176。 AB=DC，然后求出 BF=CE，再利用 “邊角邊 ”證明 △ ABF和 △ DCE 全等即可； （ 2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得 ∠ BAF=∠ EDC，然后求出 ∠ DAF=∠ EDA，然后根據(jù)等腰三角形的定義證明即可． 【解答】證明：（ 1）在矩形 ABCD 中， ∠ B=∠ C=90176。 第 37 頁（共 43 頁） ∵∠ A=90176。 AB=CD， AB∥ CD， ∴∠ ABD=∠ CDB， ∴∠ EBD=∠ FDB， ∴ EB∥ DF， ∵ ED∥ BF， ∴ 四邊形 BFDE 為平行四邊形 ． （ 2）解： ∵ 四邊形 BFDE 為菱形， ∴ BE=ED， ∠ EBD=∠ FBD=∠ ABE， ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴ AD=BC， ∠ ABC=90176。根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出 AE、 BE，即可求出答案． 【解答】（ 1）證明： ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴∠ A=∠ C=90176。﹣（ ∠ BCE+∠ ECO） ]+∠ EAO=90176。﹣ ∠ OBC=90176。 ∠ AEO=∠ BOE+∠ ABO， ∴∠ BOE+∠ ABO+∠ EAO=90176。=180176。角直角三角形的直角邊是解題的關(guān)鍵． 22．矩形 ABCD 中， AB=2， BC=1，點(diǎn) P 是直線 BD 上一點(diǎn)，且 DP=DA，直線 AP 與直線 BC 交于點(diǎn) E，則 CE= ﹣ 2 或 +2 ． 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理． 【專題】分類討論． 【分析】依題意畫出圖形：以點(diǎn) D 為圓心， DA 長為半徑作圓，與直線 BD 交于點(diǎn) P（有 2 個），利用等腰三角形 的性質(zhì)分別求出 CE 的長度． 【解答】解：矩形 ABCD 中， AB=2， AD=1， 第 32 頁（共 43 頁） 由勾股定理得： BD= ． 如圖所示，以點(diǎn) D 為圓心， DA 長為半徑作圓，交直線 BD 于點(diǎn) P P2，連接 AP P2A 并延長，分別交直線 BC 于點(diǎn) E E2． ①∵ DA=DP1， ∴∠ 1=∠ 2． ∵ AD∥ BC， ∴∠ 1=∠ 4， 又 ∵∠ 2=∠ 3， ∴∠ 3=∠ 4， ∴ BE1=BP1= ， ∴ CE1=BE1﹣ BC= ﹣ 2； ②∵ DA=DP2， ∴∠ 5=∠ 6 ∵ AD∥ BC， ∴∠ 5=∠ 7， ∴∠ 6=∠ 7， ∴ BE2=BP2= +1， ∴ CE2=BE2+BC= +2． 故答案為： ﹣ 2 或 +2． 【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形等知識點(diǎn)．考查重點(diǎn)是分類討論的數(shù)學(xué)思想，本題所求值有 2 個，注意不要漏解． 第 33 頁（共 43 頁） 23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形 OABC 是矩形，點(diǎn) A， C 的坐標(biāo)分別為 A（ 10，0）， C（ 0， 4），點(diǎn) D 是 OA 的中點(diǎn)，點(diǎn) P 為線段 BC 上的點(diǎn)．小明同學(xué)寫出了一個以 OD 為腰的等腰三角形 ODP 的頂點(diǎn) P 的坐標(biāo)（ 3， 4），請你寫出其余所有符合這個條件的 P 點(diǎn)坐標(biāo) （ 2， 4）或（ 8， 4） ． 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖 形性質(zhì)；等腰三角形的判定． 【專題】分類討論． 【分析】根據(jù)點(diǎn) A、 C 的坐標(biāo)求出 OA、 OC，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求出 OD=5，過點(diǎn) P 作 PE⊥ x 軸于 E，根據(jù)已知點(diǎn) P（ 3， 4）判斷出 OP=OD，再根據(jù) PD=OD 利用勾股定理列式求出 DE 的長，然后分點(diǎn) E 在點(diǎn)D 的左邊與右邊兩種情況求出 OE，然后寫出點(diǎn) P 的坐標(biāo)即可． 【解答】解： ∵ A（ 10， 0）， C（ 0， 4）， ∴ OA=10， OC=4， ∵ 點(diǎn) D 是 OA 的中點(diǎn)， ∴ OD= OA= 10=5， 過點(diǎn) P 作 PE⊥ x 軸于 E， 則 PE=OC=4， ∵ P（ 3， 4）， ∴ OP= =5， ∴ 此時， OP=OD， 當(dāng) PD=OD 時，由勾股定理得， DE= = =3， 若點(diǎn) E 在點(diǎn) D 的左邊， OE=5﹣ 3=2， 此時，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 2， 4）， 若點(diǎn) E 在點(diǎn) D 的右邊，則 OE=5+3=8， 此時，點(diǎn) P 的組別為（ 8， 4）， 綜上所述，其余的點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 2， 4）或（ 8， 4）． 故答案為：（ 2， 4）或（ 8， 4）． 第 34 頁（共 43 頁） 【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，難點(diǎn)在于要分兩種情況寫出點(diǎn) P 的坐標(biāo)． 24．如圖，矩形 ABCD 的對角線 AC， BD 相交于點(diǎn) O，過點(diǎn) O 作 OE⊥ AC 交 AB 于 E，若 BC=4， △ AOE的面積為 5，則 sin∠ BOE 的值為 ． 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理；銳角三角函數(shù)的定義． 【專題】壓軸題． 【分析】由題意可知， OE 為對角線 AC 的中垂線，則 CE=AE， S△ AEC=2S△ AOE=10，由 S△ AEC 求出線段AE 的長度，進(jìn)而在 Rt△ BCE 中，由勾股定理求出線段 BE 的長度；然后證明 ∠ BOE=∠ BCE，從而可求得結(jié)果． 【解答】解：如圖，連接 EC． 由題意可得， OE 為對角線 AC 的垂直平分線， ∴ CE=AE， S△ AOE=S△ COE=5， ∴ S△ AEC=2S△ AOE=10． ∴ AE?BC=10，又 BC=4， ∴ AE=5， ∴ EC=5． 在 Rt△ BCE 中，由勾股定理得： BE= = =3． ∵∠ EBC+∠ EOC=90176。 在 Rt△ ABC 中， AC=2BC=2AD=2 ， 由勾股定理， AB= = = ． 故答案為： ． 【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形 30176。=120176。 ∴∠ CAF=∠ CAG+∠ GAF=100176。﹣ 2 40176。 ∵∠ ACG=∠ AGC， ∴∠ CAG=180176。+20176。再根據(jù)直角三角形 30176。再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出 ∠ CAG，然后求出 ∠ CAF=120176。 在 △ CEF 和 △ CDF 中， ， ∴△ CEF≌△ CDF（ AAS），故 ④正確， 綜上所述，正確的結(jié)論是 ①③④． 故答案為： ①③④． 【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn) 在于求出 △ AEF 和 △ ECF 相似并得到 ∠ AFE=∠ EFC． 第 31 頁（共 43 頁） 21．如圖，矩形 ABCD 中， AD= ， F 是 DA 延長線上一點(diǎn)， G 是 CF 上一點(diǎn)，且 ∠ ACG=∠ AGC， ∠ GAF=∠ F=20176。 ∴△ AEF∽△ ECF， 第 30 頁（共 43 頁） ∴∠ AFE=∠ EFC， 過點(diǎn) E 作 EH⊥ FC 于 H， 則 AE=HE， 在 △ AEF 和 △ HEF 中， ， ∴△ AEF≌△ HEF（ HL）， ∴ AF=FH， 同理可得 △ BCE≌△ HCE， ∴ BC=CH， ∴ AF+BC=CF，故 ②錯誤； ∵△ AEF≌△ HEF， △ BCE≌△ HCE， ∴ S△ CEF=S△ EAF+S△ CBE，故 ③正確； 若 = ，則 cot∠ BCE= = = = =2 = ， ∴∠ BCE=30176。 ∴∠ AEF=∠ BCE，故 ①正確； 又 ∵∠ A=∠ B=90176。再利用 “角角邊 ”證明即可． 【解答】解： ∵ EF⊥ EC， ∴∠ AEF+∠ BEC=90176。 由勾股定理得： AE=4x， 則 DE=5x﹣ 4x=x， ∵ AE?ED= ， ∴ 4x?x= ， 解得： x= （負(fù)數(shù)舍去），