【正文】 D 的左邊與右邊兩種情況求出 OE，然后寫出點(diǎn) P 的坐標(biāo)即可． 【解答】解： ∵ A（ 10， 0）， C（ 0， 4）， ∴ OA=10， OC=4， ∵ 點(diǎn) D 是 OA 的中點(diǎn)， ∴ OD= OA= 10=5， 過點(diǎn) P 作 PE⊥ x 軸于 E， 則 PE=OC=4， ∵ P（ 3， 4）， ∴ OP= =5， ∴ 此時(shí)， OP=OD， 當(dāng) PD=OD 時(shí)，由勾股定理得， DE= = =3， 若點(diǎn) E 在點(diǎn) D 的左邊， OE=5﹣ 3=2， 此時(shí)，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 2， 4）， 若點(diǎn) E 在點(diǎn) D 的右邊，則 OE=5+3=8， 此時(shí)，點(diǎn) P 的組別為（ 8， 4）， 綜上所述，其余的點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 2， 4）或（ 8， 4）． 故答案為：（ 2， 4）或（ 8， 4）． 第 34 頁（共 43 頁） 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，難點(diǎn)在于要分兩種情況寫出點(diǎn) P 的坐標(biāo)． 24．如圖，矩形 ABCD 的對(duì)角線 AC， BD 相交于點(diǎn) O，過點(diǎn) O 作 OE⊥ AC 交 AB 于 E，若 BC=4， △ AOE的面積為 5，則 sin∠ BOE 的值為 ． 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理；銳角三角函數(shù)的定義． 【專題】壓軸題． 【分析】由題意可知， OE 為對(duì)角線 AC 的中垂線，則 CE=AE， S△ AEC=2S△ AOE=10，由 S△ AEC 求出線段AE 的長度，進(jìn)而在 Rt△ BCE 中，由勾股定理求出線段 BE 的長度；然后證明 ∠ BOE=∠ BCE，從而可求得結(jié)果． 【解答】解：如圖，連接 EC． 由題意可得， OE 為對(duì)角線 AC 的垂直平分線， ∴ CE=AE， S△ AOE=S△ COE=5， ∴ S△ AEC=2S△ AOE=10． ∴ AE?BC=10，又 BC=4， ∴ AE=5， ∴ EC=5． 在 Rt△ BCE 中，由勾股定理得： BE= = =3． ∵∠ EBC+∠ EOC=90176。再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出 ∠ CAG，然后求出 ∠ CAF=120176。 同理 ∠ DMC=45176。 ∴∠ EBH=∠ OHD， 在 △ BEH 和 △ HDF 中， ， ∴△ BEH≌△ HDF（ ASA）， ∴ BH=HF， HE=DF，故 ③正確； ∵ HE=AE﹣ AH=BC﹣ CD， ∴ BC﹣ CF=BC﹣（ CD﹣ DF） =BC﹣（ CD﹣ HE） =（ BC﹣ CD） +HE=HE+HE=2HE．故 ④正確； ∵ AB=AH， ∠ BAE=45176。﹣ 45176。 ∴∠ MPC=∠ MCP=35176。 ∠ A=∠ A′=90176。 又 ∵∠ ADC=90176。 AD=2，則 AC 的長是（ ） A． 2 B． 4 C． D． 3．矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（ ） A．兩組對(duì)邊分別平行 B．對(duì)角線相等 C． 對(duì)角線互相平分 D．兩組對(duì)角分別相等 4．矩形 ABCD 的對(duì)角線 AC、 BD 相交于點(diǎn) O， ∠ AOD=120176。 ∴∠ AOB=60176。﹣ 60176。 ∴△ AOD∽△ OBE， ∴ ， 第 18 頁（共 43 頁） 即 ， ∴ OE= ， 即點(diǎn) B（ ， 3）， ∴ AF=OE= ， ∴ 點(diǎn) C 的橫坐標(biāo)為：﹣（ 2﹣ ） =﹣ ， ∴ 點(diǎn) C（﹣ ， 4）． 故選： B． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌 握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 12．如圖，在矩形 ABCD 中， AD= AB， ∠ BAD 的平分線交 BC 于點(diǎn) E， DH⊥ AE 于點(diǎn) H，連接 BH 并延長交 CD 于點(diǎn) F，連接 DE 交 BF 于點(diǎn) O，下列結(jié)論： ①∠ AED=∠ CED； ②OE=OD； ③BH=HF； ④BC﹣ CF=2HE； ⑤AB=HF， 其中正確的有（ ） A． 2 個(gè) B． 3 個(gè) C． 4 個(gè) D． 5 個(gè) 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】 ①根據(jù)角平分線的定義可得 ∠ BAE=∠ DAE=45176。 ∴∠ AED=∠ CED，故 ①正確； ∵ AB=AH， ∵∠ AHB= （ 180176。 AD=AF，然后根據(jù)同角的余角相等求出 ∠ BAF=∠ EFC，然后根據(jù) tan∠ EFC= ，設(shè) BF=3x、 AB=4x，利用勾股定理列式求出 AF=5x，再求出 CF，根據(jù) tan∠ EFC= 表示出 CE 并求出 DE，最后在 Rt△ ADE 中，利用勾股定理列式求出 x，即可得解． 【解答】解：在矩形 ABCD 中， AB=CD， AD=BC， ∠ B=∠ D=90176。﹣ 45176。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得 AC=2BC=2AD，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解． 【解答】解：由三角形的外角性質(zhì)得， ∠ AGC=∠ GAF+∠ F=20176。 ∴ B、 C、 O、 E 四點(diǎn)共圓， 第 35 頁（共 43 頁） ∴∠ BOE=∠ BCE． 另解： ∵∠ AEO+∠ EAO=90176。﹣ ∠ EDC， ∴∠ DAF=∠ EDA， ∴△ AOD 是等腰三角形． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟記性質(zhì)確定出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵． 27．在矩形 ABCD 中，點(diǎn) E 是 BC 上一點(diǎn)， AE=AD， DF⊥ AE，垂足為 F；求證： DF=DC． 【考點(diǎn)】矩形的 性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和 DF⊥ AE 于 F，可以得到 ∠ DEC=∠ AED， ∠ DFE=∠ C=90，進(jìn)而依據(jù) AAS 可以證明 △ DFE≌△ DCE．然后利用全等三角形的性質(zhì)解決問題． 【解答】證明：連接 DE．（ 1 分） ∵ AD=AE， ∴∠ AED=∠ ADE．（ 1 分） ∵ 有矩形 ABCD， ∴ AD∥ BC， ∠ C=90176。 AB=2， ∴ AE= = ， BE=2AE= ， ∴ BC=AD=AE+ED=AE+BE= + =2 ． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，含 30 度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力． 26．如圖，在矩形 ABCD 中， E， F 為 BC 上兩點(diǎn)，且 BE=CF，連接 AF， DE 交于點(diǎn) O．求證： （ 1） △ ABF≌△ DCE； （ 2） △ AOD 是等腰三角形． 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定． 【專題】證明題． 【分析】（ 1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得 ∠ B=∠ C=90176。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并求出 AB 是 30176。則 AB= ． 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；含 30 度角的直角三角形；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得 ∠ AGC=∠ GAF+∠ F=40176。 ∵ M 為 AD 中點(diǎn)， 第 25 頁（共 43 頁） ∴ AM=DM， 在 △ ABM 和 △ DCM， ∴△ ABM≌△ DCM（ SAS）； （ 2）答：四邊形 MENF 是菱形． 證明： ∵ N、 E、 F 分別是 BC、 BM、 CM 的中點(diǎn)， ∴ NE∥ CM， NE= CM， MF= CM， ∴ NE=FM， NE∥ FM， ∴ 四邊形 MENF 是平行四邊形， 由（ 1）知 △ ABM≌△ DCM， ∴ BM=CM， ∵ E、 F 分別是 BM、 CM 的中點(diǎn)， ∴ ME=MF， ∴ 平行四邊形 MENF 是菱形； （ 3）解：當(dāng) AD： AB=2： 1 時(shí)，四邊形 MENF 是正方形． 理由是： ∵ M 為 AD 中點(diǎn)， ∴ AD=2AM， ∵ AD： AB=2： 1， ∴ AM=AB， ∵∠ A=90∴∠ ABM=∠ AMB=45176。=176。 ∴∠ CED=180176。=35176。 ∠ B=∠ A′B′F=90176。=30176。 AC=8，則 △ ABO 的周長為（ ） A． 16 B． 12 C． 24 D． 20 5．如圖，將矩形 ABCD 沿對(duì)角線 BD 折疊，使點(diǎn) C 和點(diǎn) C′重合，若 AB=2，則 C′D 的長為（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 6．如圖，把矩形 ABCD 沿 EF 翻折，點(diǎn) B 恰好落在 AD 邊的 B′處，若 AE=2， DE=6， ∠ EFB=60176。 ∴△ AOB 是等邊三角形， ∴ AB=AO=4， ∴△ ABO 的周長是 4+4+4=12， 故選 B． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了矩形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：矩形的對(duì)角線相等且互相平分． 5．如圖，將矩形 ABCD 沿對(duì)角線 BD 折疊，使點(diǎn) C 和點(diǎn) C′重合，若 AB=2，則 C′D 的長為（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）． 【分析】根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得 CD=AB，再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得 C′D=CD，代入數(shù)據(jù)即可得解． 【解答】解：在矩形 ABCD 中， CD=AB， ∵ 矩形 ABCD 沿對(duì)角線 BD 折疊后點(diǎn) C 和點(diǎn) C′重合， ∴ C′D=CD， ∴ C′D=AB， ∵ AB=2， ∴ C′D=2． 故選 B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的對(duì)邊相等的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 6．如圖，把矩形 ABCD 沿 EF 翻折，點(diǎn) B 恰好落在 AD 邊的 B′處，若 AE=2， DE=6， ∠ EFB=60176。=30176。然后利用求出 △ ABE 是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得 AE= AB，從而得到 AE=AD，然后利用 “角角邊 ”證明 △ ABE 和 △ AHD 全等， 第 19 頁（共 43 頁） 根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得 BE=DH，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出 ∠ ADE=∠ AED=176。﹣ 45176。 ∵△ ADE 沿 AE 對(duì)折，點(diǎn) D 的對(duì)稱點(diǎn) F 恰好落在 BC 上， ∴∠ AFE=∠ D=90176。=90176。+20176。 ∠ AEO=∠ BOE+∠ ABO， ∴∠ BOE+∠ ABO+∠ EAO=90176。．（ 1 分） ∴∠ ADE=∠ DEC，（ 1 分） ∴∠ DEC=∠ AED． 又 ∵ DF⊥ AE， ∴∠ DFE=∠ C=90176。 第 37 頁（共 43 頁） ∵∠ A=90176。 在 Rt△ ABC 中， AC=2BC=2AD=2 ， 由勾股定理， AB= = = ． 故答案為： ． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形 30176。 在 △ CEF 和 △ CDF 中， ， ∴△ CEF≌△ CDF（ AAS），故 ④正確， 綜上所述，正確的結(jié)論是 ①③④． 故答案為： ①③④． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn) 在于求出 △ AEF 和 △ ECF 相似并得到 ∠ AFE=∠ EFC．