【正文】 從而得到 ∠ NAD=∠ AMB，再求出 △ ABM 和 △ NDA 相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求解即可； （ 2）過點 A 作 AF⊥ AN 并截取 AF=AN，連接 BF、 FM，根據同角的余角相等求出 ∠ 1=∠ 3，然后利用 “邊角邊 ”證明 。求出 ∠ BAM+∠ NAD=45176。再求出 ∠ ABM=∠ ADN=135176。 ∴ AF⊥ DE， ∵ 點 N、 F 分別是 DE、 CD 的中點， ∴ NF 是 △ CDE 的中位線， ∴ DF=EC=2NF， ∵ cos∠ DAF= = ， cos∠ CDE= = ， ∴ = ， ∴ 2AD?NF=DE?DM． 【點評】本題考查了正方形的性質，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的，全等三角形的判定與性質，解直角三角形，銳角三角函數的定義，（ 2）求出三角形全等，再根據等角的余弦相等列出等式求解更簡便． 29．已知：如圖，正方形 ABCD， BM、 DN 分別平分正方 形的兩個外角，且滿足 ∠ MAN=45176。． ∵ ， ∴△ ECG≌△ FCG（ SAS）． ∴ GE=GF． ∴ GE=DF+GD=BE+GD． 【點評】本題主要考查證兩條線段相等往往轉化為證明這兩條線段所在三角形全等的思想，在第二問中也是考查了通過全等找出和 GE 相等的線段，從而證出關系是不是成立． 28．如圖，在正方形 ABCD 中，點 E、 F 分別是 BC、 CD 的中點， DE 交 AF 于點 M，點 N 為 DE 的中點． （ 1）若 AB=4，求 △ DNF 的周長及 sin∠ DAF 的值； （ 2）求證： 2AD?NF=DE?DM． 第 46 頁（共 51 頁） 【考點】正方形的性質；相似三角形的判定與性質；解直角三角形． 【專題】幾何綜合題． 【分 析】（ 1）根據線段中點定義求出 EC=DF=2，再利用勾股定理列式求出 DE，然后三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出 NF，再求出 DN，再根據三角形的周長的定義列式計算即可得解；利用勾股定理列式求出 AF，再根據銳角的正弦等于對邊比斜邊列式計算即可得解； （ 2）利用 “邊角邊 ”證明 △ ADF 和 △ DCE 全等，根據全等三角形對應邊相等可得 AF=DE，全等三角形對應角相等可得 ∠ DAF=∠ CDE，再求出 AF⊥ DE，然后根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得 DF=EC=2NF，然后根據 ∠ DAF 和 ∠ CDE 的余弦列式整理即可得證． 【解答】（ 1）解： ∵ 點 E、 F 分別是 BC、 CD 的中點， ∴ EC=DF= 4=2， 由勾股定理得， DE= =2 ， ∵ 點 F 是 CD 的中點，點 N 為 DE 的中點， ∴ DN= DE= 2 = ， NF= EC= 2=1， ∴△ DNF 的周長 =1+ +2=3+ ； 在 Rt△ ADF 中，由勾股定理得， AF= = =2 ， 所以， sin∠ DAF= = = ； （ 2）證明：在 △ ADF 和 △ DCE 中， ， ∴△ ADF≌△ DCE（ SAS）， ∴ AF=DE， ∠ DAF=∠ CDE， ∵∠ DAF+∠ AFD=90176。 又 ∵∠ GCE=45176。又 ∠ GCE=45176。 ∴∠ ADG=∠ DCF， ∵ 在 △ DCF 和 △ ADG 中， ， ∴△ DCF≌△ ADG（ AAS）； （ 2）設正方形 ABCD 的邊長為 2a， ∵ 點 E 是 AB 的中點， ∴ AE= 2a=a， 在 Rt△ ADE 中， DE= = = a， ∴ sin∠ ADG= = = ， ∵∠ ADG=∠ DCF=α， ∴ sinα= ． 【點評】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，銳角三角函數，同角的余角相等的性質，以及勾股定理的應用，熟練掌握各圖 形的性質并確定出三角形全等的條件是解題的關鍵． 27．如圖，在正方形 ABCD 中， E 是 AB 上一點， F 是 AD 延長線上一點，且 DF=BE． （ 1）求證： CE=CF； （ 2）若點 G 在 AD 上，且 ∠ GCE=45176。 第 44 頁（共 51 頁） ∴∠ AGD=∠ CFD， 又 ∵∠ ADG+∠ CDE=∠ ADC=90176。 ∵ CF⊥ DE， ∴∠ CFD=∠ CFG=90176。再根據兩直線平行，內錯角相等求出 ∠ AGD=∠ CFG=90176。即 BP⊥ CF． ②證法一：設 CP=CE=1，則 BC=CD=n， DP=CD﹣ CP=n﹣ 1． 易知 △ FDP 為等腰直角三角形， ∴ FD=DP=n﹣ 1． S1=S 梯形 BCDF﹣ S△ BCP﹣ S△ FDP = （ BC+FD） ?CD﹣ BC?CP﹣ FD?DP = （ n+n﹣ 1） ?n﹣ n 1﹣ （ n﹣ 1） 2 = （ n2﹣ 1）； S2= DP?CE= （ n﹣ 1） 1= （ n﹣ 1）． ∵ n2﹣ 1=（ n+1）（ n﹣ 1）， ∴ S1=（ n+1） S2． 證法二： ∵ AD∥ BE， ∴△ FDP∽△ ECP， ∴ = ， ∴ S1= S△ BEF． 如下圖所示，連接 BD． ∵ BC： CE=CD： CP=n， 第 43 頁（共 51 頁） ∴ S△ DCE= S△ BED， ∵ DP： CP=n﹣ 1， ∴ S2= S△ DCE， ∴ S2= S△ BED． ∵ AD∥ BE， ∴ S△ BEF=S△ BED， ∴ S1=（ n+1） S2． 【點評】本題是幾何綜合題，考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形、圖形的面積等知識點，試題的難度不大． 26．如圖，點 E 在正方形 ABCD 的邊 AB 上，連接 DE，過點 C 作 CF⊥ DE 于 F，過點 A 作 AG∥ CF 交DE 于點 G． （ 1）求證： △ DCF≌△ ADG． （ 2）若點 E 是 AB 的中點，設 ∠ DCF=α，求 sinα的值． 【考點】正方形的性質；全等三角形的判定與性質；解直角三角形． 【分析】（ 1）根據正方形的性質求出 AD=DC， ∠ ADC=90176。 ∴∠ FCD+∠ BPC=90176。 ∴∠ PFD=45176。 ∴∠ CPE=45176。． ∴△ AOE≌△ BOG（ AAS）， ∴ OE=OG， AE=BG， ∵ AE﹣ EF=AF， EF=OG=OE， AE=BG=AF+EF=OE+AF， ∴ BF﹣ AF=BG+GF﹣（ AE﹣ EF） =AE+OE﹣ AE+EF=OE+OE=2OE， ∴ BF﹣ AF=2OE． 【點評】本題考查了正方形的性質，矩形的判定與性質，全等三角形的判定與 性質，同角的余角相等的性質，作輔助線構造出全等三角形與矩形是解題的關鍵，也是本題的難點． 第 41 頁（共 51 頁） 25．（ 1）如圖（ 1）點 P 是正方形 ABCD 的邊 CD 上一點（點 P 與點 C， D 不重合），點 E 在 BC 的延長線上，且 CE=CP，連接 BP， DE．求證： △ BCP≌△ DCE； （ 2）直線 EP 交 AD 于 F，連接 BF， FC．點 G 是 FC 與 BP 的交點． ①若 CD=2PC 時，求證： BP⊥ CF； ②若 CD=n?PC（ n 是大于 1 的實數）時，記 △ BPF 的面積為 S1， △ DPE 的面積為 S2．求證： S1=（ n+1）S2． 【考點】正方形的性質；全等 三角形的判定與性質． 【分析】（ 1）利用 SAS，證明 △ BCP≌△ DCE； （ 2）在（ 1）的基礎上，再證明 △ BCP≌△ CDF，進而得到 ∠ FCD+∠ BPC=90176。 ∴∠ AOG+∠ BOG=90176。 ∴∠ AOE+∠ AOG=90176。 又 ∵∠ AOE+∠ BOE=90176。 ∴∠ AOE=∠ OBG， ∵ 在 △ AOE 和 △ OBG 中， ， ∴△ AOE≌△ OBG（ AAS）， ∴ OG=AE， OE=BG， ∵ AF﹣ EF=AE， EF=BG=OE， AE=OG=OE﹣ GE=OE﹣ BF， ∴ AF﹣ OE=OE﹣ BF， ∴ AF+BF=2OE； （ 2）圖 2 結論： AF﹣ BF=2OE， 圖 3 結論： BF﹣ AF=2OE． 對圖 2 證明：過點 B 作 BG⊥ OE 交 OE 的延長線于 G， 則四邊形 BGEF 是矩形， ∴ EF=BG， BF=GE， 在正方形 ABCD 中， OA=OB， ∠ AOB=90176。 ∵ BG⊥ OE， ∴∠ OBG+∠ BOE=90176。再根據同角的余角相等求出 ∠ AOE=∠ OBG，然后利用 “角角邊 ”證明 △ AOE 和 △ OBG 全等，根據全等三角形對應邊相等可得OG=AE， OE=BG，再根據 AF﹣ EF=AE，整理即可得證； （ 2）選擇圖 2，過點 B 作 BG⊥ OE 交 OE 的 延長線于 G，可得四邊形 BGEF 是矩形，根據矩形的對邊相等可得 EF=BG， BF=GE，根據正方形的對角線相等且互相垂直平分可得 OA=OB， ∠ AOB=90176。 ∠ 3+∠ ABH=∠ ABC=90176。 又 ∵∠ 1+∠ EAD=90176。再根據同角的余角相等求出 ∠ 1=∠ 2，然后利用 “角邊角 ”證明 △ ABG 和 △ DAF 全等，根據全等三角形對應邊相等可 AF=BG， AG=DF，全等三角形對應角相等可得 ∠ AFD=∠ BGA，然后求出 EF=HG，再利用 “邊角邊 ”證明 △ AEF 和 △ BHG 全等，根據全等三角形對應角相等可得 ∠ 1=∠ 3，從而得到 ∠ 2=∠ 3，最后根據等角的余角相等證明即 可． 【解答】證明：在正方形 ABCD 中， AB=AD， ∠ ABG=∠ DAF=90176。 ∴∠ ECP=135176。 ∴∠ AKE=135176。 ∴∠ BAE=∠ FEC， 在 Rt△ ABE 中， AE= = ， ∵ sin∠ BAE= =sin∠ FEC= ， ∴ = ， 解法二：由上得 ∠ BAE=∠ FEC， ∵∠ BAE=∠ FEC， ∠ B=∠ DCB， ∴△ ABE∽△ ECF， ∴ = ， （ 2）證明：在 BA 邊上截取 BK=BE，連接 KE， ∵∠ B=90176。且 EP 交正 方形外角的平分線 CP 于點 P，交邊 CD 于點 F， （ 1） 的值為 ； （ 2）求證： AE=EP； （ 3）在 AB 邊上是否存在點 M，使得四邊形 DMEP 是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由． 第 35 頁（共 51 頁） 【考點】正方形的性質；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定． 【分析】（ 1）由正方形的性質可得： ∠ B=∠ C=90176。然后求出 ∠ AOD=∠ COF，再利用 “邊角邊 ”證明 △ AOD 和 △ COF 全等，根據全等三角形對應邊相等即可得證； （ 2）與（ 1）同理求出 CF=AD，連接 DF 交 OE 于 G，根據正方形的對角線互相垂直平分可得 DF⊥ OE，DG=OG= OE，再求出 AG，然后利用勾股定理列式計算即可求出 AD． 【解答】解：（ 1） AD=CF． 理由如下：在正方形 ABCO 和正方形 ODEF 中， AO=CO， OD=OF， ∠ AOC=∠ DOF=90176。 ∴∠ DPE=58176。﹣ ∠ 1﹣ ∠ CDP=180176。則 ∠ DPE= 58 度． 【考點】正方形的性質；全等三角形的判定與性質；菱形的性質． 【專題】證明題． 第 32 頁（共 51 頁） 【分析】（ 1）根據正方形的四條邊都相等可得 BC=DC，對角線平分一組對角可得 ∠ BCP=∠ DCP，然后利用 “邊角邊 ”證明即可； （ 2）根據全等三角形對應角相等可得 ∠ CBP=∠ CDP，根據等邊對等角可得 ∠ CBP=∠ E，然后求出 ∠ DPE=∠ DCE，再根據兩直線平行，同位角相等可得 ∠ DCE=∠ ABC，從而得證； （ 3）根據（ 2）的結論解答． 【解答】（ 1）證明：在正方形 ABCD 中， BC=DC， ∠ BCP=∠ DCP=45176。 ∵ AF⊥ BE， 第 31 頁（共 51 頁） ∴∠ ABE+∠ BAF=90176。 ∴∠ ABE=∠ DAF， ∵ 在 △ ABE 和 △ DAF 中， ， ∴△ ABE≌△ DAF（ ASA）， ∴ AF=BE； （ 2）解： MP 與 NQ 相等． 理由如下：如圖，過點 A 作 AF∥ MP 交 CD 于 F，過點 B 作 BE∥ NQ 交 AD 于 E， ∵ AB∥ CD， AD∥ BC， ∴ 四邊形 AMPF 與四邊形 BNQE 是平行四邊形，