級(jí)線性代數(shù)試題和答案a卷(1)(參考版)
2025-01-09 21:03本頁(yè)面
【正文】 因此實(shí)二次型 ? ? ? ? ? ? 2TT T Tf x B x x A A x A x A x A x? ? ? ? 僅當(dāng) 0x? 是，有 0Tf x Bx??，即 Tf x Bx? 是正定二次型，故 TB A A? 是正定矩陣 A 和 B 為 n 階矩陣，且滿足 A2 = A,B2 = B, r(A+BE) = n,證明： r(A) = r(B). 證 由題設(shè)可得 A（ A+BE） = 2A +ABA=AB， （ A+BE） B=AB+ 2B B=AB。Ta ? 對(duì)于 3 5,?? 求解線性方程組 (5 ) 0,E A x??得特征向量 3 (0, 1, 1) .Ta ? 特征向量 1 2 3,a a a 已是正交向量，將其單位化，得 1 2 30 1 0111 , 0 1 ,221 0 1? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?， 作正交矩陣 1 2 30 2 01( , , ) 1 0 1 ,21 0 1Q ? ? ?????????? 則經(jīng)正交變換 ,x Qy? f 可化為標(biāo)準(zhǔn)形 2 2 21 2 32 5 .y y y?? 四、證明題（每題 8 分，共 16 分） 1．已知 A 為 m n 實(shí)矩陣，證明：矩陣 B=ATA 是正定矩陣的充分必要條件為矩陣 A 的秩 r(A) = n. 證明：必要性：由 B 為正定矩陣可得 ? ? ? ?Tr B r A A n??，又 A 為實(shí)矩陣， ，因此 ? ?r A n? 。 3．設(shè)線性方程組 1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 43 0 ,2 3 5 1 ,3 2 7 1 ,3,x x x xx x x xx x ax xx x x x b? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ?? （ 1）問(wèn)： a ,b 取何值時(shí)，線性方程組無(wú)解、有唯一解、有無(wú)窮多解？ （ 2）當(dāng)線性方程組有無(wú)窮多解時(shí)，求出其通解 . 解 設(shè)題中線性方程組為 .Ax b? 用消元法，對(duì)線性方程組 Ax b? 的增廣矩陣A 施以行初等變換，化為階梯形矩陣： 1 1 1 3 02 1 3 5 13 2 7 11 1 3 1A ab???????????1 1 1 3 00 1 1 1 1 .0 0 4 1 00 0 0 2 2ab????????? ??????行 由此可知： （ 1）當(dāng) a≠ 4 時(shí)，秩 ( ) ( ) 4,r A r A??線性方程組 Ax b? 有唯一解； 當(dāng) a=4,且 b=2 時(shí)，秩 ( ) ( ) 3 4,r A r A? ? ?線性方程組 Ax b? 有無(wú)窮多解； 當(dāng) a=4,且 b≠ 2 時(shí)，秩 ( ) 3 ( ) 4,r A r A? ? ?線性方程組 Ax b? 無(wú)解； （ 2）當(dāng) a=4,且 b=2 時(shí)，繼續(xù)對(duì) A 施以行初等變換，使之化為規(guī)范的階梯形矩陣： 1 0 2 0 10 1 1 0 1 ,0 0 0 1 00 0 0 0 0A?????????????行 由此可知線性方程組 Ax b? 對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組 0Ax? 的解為 1 3 2 3 3 3 42 , , , 0 ,x x x x x x x? ? ? ? ? 取 3 1 , 0 ( 2 , 1 , 1 , 0 ) .Tx A x ?? ? ? ?0得 的 基 礎(chǔ) 解 系因此 0Ax? 的通解 02110c cc?????????????????， c 為任意常數(shù) . 線性方程組 Ax b? 的解為 1 3 2 3 3 3 41 2 , 1 , , 0x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? 取 3 0x? 得
公司管理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1