[經(jīng)濟(jì)學(xué)]第七章拉普拉斯變換(參考版)
2025-01-01 12:18本頁(yè)面
【正文】 f t f t f t f t f t f t? ? ? ? ?1 2 3 1 2 1 3( 3 ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) .f t f t f t f t f t f t f t? ? ? ? ? ?2022/1/4 23 3．卷積定理 12( ) , ( )f t f t設(shè)函數(shù) 滿(mǎn)足拉氏變換定理中條件， 11[ ( ) ] ( )L f t F s?且，22[ ( ) ] ( )L f t F s? ， 12( ) ( )f t f t?則 的拉氏變換定理一定存在， 且有1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )L f t f t F s F s? ? ?或 1 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) .L F s F s f t f t? ? ? ?證明： 1 2 1 20[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]stL f t f t f t f t e d t?? ?? ? ??1200[ ( ) ( ) ]t stf f t d e d t? ? ??? ?????120 ( ) [ ( ) ]stf f t e d t d?? ? ?? ? ? ? ????? ( , )u t dt du?? ? ?令()1 2 1 20 0 0 0( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ]s u s s uf f u e d u d f e f u e d u d??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?120 ( ) ( )stf e F s d???? ?? ? 210( ) ( ) stF s f e d???? ?? ? 2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) .F s F s F s F s? ? ? ?1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )F f t f t F s F s? ? ?2022/1/4 24 推論： ( ) ( 1 , 2 , , )kf t k n?若函數(shù) ， 滿(mǎn)足拉氏定理?xiàng)l件，且[ ( ) ] ( ) ( 1 , 2 , , )kkL f t F t k n?? ，則 1 2 1 2[ ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) .nnL f t f t f t F s F s F s? ? ? ?這性質(zhì)說(shuō)明：函數(shù)卷積的拉氏變換等于其象函數(shù)的乘積． ? 例 2． 求下列卷積的拉氏變換 33(1) ,tet? ( 2) ( ) si n .t t sht? ??解： 3 1(1 ) [ ] ,3tLe s? ? 3 43![ ] ,Lt s? 33 41 3 ![ ] .3tL e t ss? ? ? ??( 2 ) [ ( )] 1,Lt? ? 2 1[ sin ] ,1Lt s? ?21[ ] ,1L sh t s? ?2 2 41 1 1[ ( ) s in ] 1 .1 1 1L t t s h t s s s?? ? ? ? ? ? ?? ? ?2022/1/4 25 第三節(jié) 拉普拉斯逆變換 ?一、反演積分公式 ( ) ( ) jtF f t e d t?? ?? ???? ? 1( ) ( )2 jtf t F e d???? ???? ?0( ) ( )stF s f t e d t?? ?? ? 1( ) ( )2 j stjf t F s e d sj???????? ?( ) ( )F s f t這是從 求 的一般公式，積分稱(chēng)為拉氏反演積分.構(gòu)成一對(duì)互逆的積分變換公式， ( ) ( )F s f t稱(chēng) 和 構(gòu)成一個(gè) 拉氏變換對(duì) ． 2022/1/4 26 ?二、利用留數(shù)計(jì)算反演積分 定理 2： 12( ) Re , , , nF s s c s s s?設(shè)函數(shù) 在半平面 內(nèi)有限個(gè)孤立奇點(diǎn) 外是解析的，( ) 0s F s? ? ?且當(dāng) 時(shí)， ，則有：11 ( ) R e [ ( ) , ]2nj s t s tkjkF s e d s s F s e sj ????? ???? ??1Re [ ( ) , ]n st kks F s e s?? ? ，即： 1( ) R e [ ( ) , ] 0 .n st kkf t s F s e s t???? ，()ft若利用反演積分求函數(shù) ，由于此公式是一復(fù)變函數(shù)的積分，計(jì)算復(fù)變函數(shù)積分通常比較困難， ()Fs但當(dāng) 滿(mǎn)足一定條件時(shí)，可以利用 留數(shù)方法 拉計(jì)算這個(gè)反演積分． 2022/1/4 27 ? 例 1． 21( ) ,( 2 ) ( 1 )Fs ss? ??已知1( ) [ ( ) ] .f t L F s??求解： 法一 利用部分分式求解 ()Fs對(duì) 進(jìn)行分解可得：21 1 1( ) ,2 1 ( 1 )Fs s s s? ? ?? ? ?11211 , , ( 2 )( 1 )a t tL e L tes a s?? ???? ?? ???????? ??由于 見(jiàn)附錄2( ) .t t tf t e e te?
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1