[經(jīng)濟(jì)學(xué)]第七章拉普拉斯變換(完整版)
【正文】 mmLtL u t ssL e s asaaL at ssasL at ssamL t ss??????????????????2022/1/4 21 ?六、卷積與卷積定理 1．卷積的概念 前面討論兩函數(shù)傅氏卷積為 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ,f t f t f f t d? ? ?????? ? ??12( ) , ( )f t f t若函數(shù) 滿足： 120 ( ) ( ) 0t f t f t? ? ?當(dāng) 時(shí)， ，則 01 2 1 2 1 2 1 20( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttf t f t f f t d f f t d f f t d? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ?? ? ?120 ( ) ( ) .t f f t d? ? ????1 2 1 20 ( ) ( ) ( ) , ( )t f f t d f t f t? ? ???稱 為函數(shù) 的拉氏卷積，記作： 1 2 1 20( ) ( ) ( ) ( ) .tf t f t f f t d? ? ?? ? ??2022/1/4 22 ? 例 1． 12( ) ( ) si nf t t f t t??求函數(shù) 和 的卷積，si n .tt?即求解： 0s in s in ( )tt t t d? ? ?? ? ??0 0[ c o s ( ) ] c o s ( )ttt t d? ? ? ?? ? ? ??si n .tt??2．卷積的性質(zhì) 1 2 2 1( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 。f t f t f t f t? ? ?1 2 3 1 2 3( 2 ) ( ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( ) 。f t f t f t f t f t f t? ? ? ? ?1 2 3 1 2 1 3( 3 ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) .f t f t f t f t f t f t f t? ? ? ? ? ?2022/1/4 23 3．卷積定理 12( ) , ( )f t f t設(shè)函數(shù) 滿足拉氏變換定理中條件， 11[ ( ) ] ( )L f t F s?且，22[ ( ) ] ( )L f t F s? ， 12( ) ( )f t f t?則 的拉氏變換定理一定存在， 且有1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )L f t f t F s F s? ? ?或 1 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) .L F s F s f t f t? ? ? ?證明： 1 2 1 20[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]stL f t f t f t f t e d t?? ?? ? ??1200[ ( ) ( ) ]t stf f t d e d t? ? ??? ?????120 ( ) [ ( ) ]stf f t e d t d?? ? ?? ? ? ? ????? ( , )u t dt du?? ? ?令()1 2 1 20 0 0 0( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ]s u s s uf f u e d u d f e f u e d u d??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?120 ( ) ( )stf e F s d???? ?? ? 210( ) ( ) stF s f e d???? ?? ? 2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) .F s F s F s F s? ? ? ?1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )F f t f t F s F s? ? ?2022/1/4 24 推論： ( ) ( 1 , 2 , , )kf t k n?若函數(shù) ， 滿足拉氏定理?xiàng)l件，且[ ( ) ] ( ) ( 1 , 2 , , )kkL f t F t k n?? ，則 1 2 1 2[ ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) .nnL f t f t f t F s F s F s? ? ? ?這性質(zhì)說(shuō)明：函數(shù)卷積的拉氏變換等于其象函數(shù)的乘積． ? 例 2． 求下列卷積的拉氏變換 33(1) ,tet? ( 2) ( ) si n .t t sht? ??解： 3 1(1 ) [ ] ,3tLe s? ? 3 43![ ] ,Lt s? 33 41 3 ![ ] .3tL e t ss? ? ? ??( 2 ) [ ( )] 1,Lt? ? 2 1[ sin ] ,1Lt s? ?21[ ] ,1L sh t s? ?2 2 41 1 1[ ( ) s in ] 1 .1 1 1L t t s h t s s s?? ? ? ? ? ? ?? ? ?2022/1/4 25 第三節(jié) 拉普拉斯逆變換 ?一、反演積分公式 ( ) ( ) jtF f t e d t?? ?? ???? ? 1( ) ( )2 jt
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