【正文】 2 210 XEX ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? 22D X E X E X?? ????67 極限定理 ? 大數(shù)定律 1：設 ，相互獨立同分布隨機變量，且存在數(shù)學期望和方差： 則對任意 ，有 即 12 ,nX X X， ， ，? ? ? ? ? ?2, , 1 , 2 ,iiE X D X i??? ? ?0??11l im 1niniPXn ???? ??? ???????11 n PiiXXn?????68 極限定理 ? 伯努利大數(shù)定律：設 ，相互獨立都服 01分布隨機變量， 則對 ，有 12 ,nX X X， ， ，? ? ? ? ? ?1 , 0 , 0 1 , 1iiP X p P X q p p q? ? ? ? ? ? ? ?0???11l im 1niniP X pn??? ??? ???????? ? 1niinXmf A pnn?? ? ??69 極限定理 ? 獨立同分布中心極限定理：設 ，是相互獨立同分布隨機變量序列，具有數(shù)學期望和方差 則 ? 即 的極限分布為標準正態(tài)分布 N(0,1) 12 ,nX X X， ， ，? ? ? ? ? ?2, , 1 , 2 ,iiE X D X i??? ? ?? ?21 21l im2ntixinXnP x e d t xn???????????? ? ? ?????????1niinXnZn????? 若有大量相互獨立的隨機變量，且每個陰機變量對它們之和的影響足夠小時，則當這些隨機變量的個數(shù)趨于無窮大時，這些隨機變量的和服從正態(tài)分布，而與每個機變量的分布無關 。10XEX ??? ? ?? ? ? ? ? ?22 39。39。若 相互獨立 ,記 ，則有 12, , , nX X X1niiXX?? ?1( ) ( )inXXixu???? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?iu X Y iu X iu YXYiu X iu YXYu E e E e eE e E e u u???????? ? ???? ? ?63 隨機變量的特征函數(shù) 性質 （ 3）隨機變量 相互獨立的充要條件： 12, , , nX X X121( , , , ) ( )inX n X iiu u u u???? ?121( , , , ) ( )inX n X iip x x x p x?? ?64 隨機變量的特征函數(shù) 性質 （ 4） 特征函數(shù)與隨機變量矩的關系為 一維變量， k階原點矩： 0()( ) ( ) kkk XkuuE X iu??????0()( ) ( )!kkXkiuu E Xk???? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0iu xXXkk iu xXX kkiu xXkkkiu x k iu xXXkkk kkXXu e f x dxdu e f x dxdude f x dxduix e f x dx i x e f x dxi x f x dx i E X???????????????? ? ? ?? ? ? ??????????????????65 隨機變量的特征函數(shù) 性質 （ 4） 特征函數(shù)與隨機變量矩的關系為 n維變量，混合原點矩： 1212112012()1212[ , , , ] ( ) ( , , , )mmmjjmu ikkknk k kkXnkkknE X X Xi u u uu u u???? ? ???? ??? ? ?（ i=1,…, n） 66 隨機變量的特征函數(shù) ? 利用特殊函數(shù)法求隨機變量 的數(shù)學期望和方差 ? 由 ? ?2~,XN ??? ?2~,XN ??? ? 2212iuX u e u?????? ? ? ?39。試問在給定一天內，顧客們在該店所花錢的期望值為多少？ ? 解 設 N表示進入該商店的顧客人數(shù)， 表示第 i個顧客所花的錢數(shù)，則 N個顧客所花錢的總數(shù)為 ，現(xiàn)在要求 E[Y] 由全期望公式： E[Y] = E[E(Y|N)] 而 ? E(Y|N) = NE(X) E[Y] = E[NE(X)] = E(N)E(X) ? ? ? ?11||nniiiiE Y N n E X N n E X n E X??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???iX1nii XY? ??58 隨機變量的特征函數(shù) 定義 一維特征函數(shù)： (( ) [ ] ( ) , 1 iu XXiu xXu E ee p x d x i??????? ? ?? 概率密度的傅氏變換）() iiu xXkku p e? ? ?(連續(xù) ) (離散 ) 59 隨機變量的特征函數(shù) 定義 二維特征函數(shù)： n維特征函數(shù)： ()()()11( , )( , ) [ ]jki u x v yi u X v Yi u x v yjkjke p x y d x d yu v E eep?? ? ? ??? ? ? ???????????? ????????1 1 2 2()12( , , , ) [ ]nni u X u X u Xnu u u E e? ? ? ??60 隨機變量的特征函數(shù) ? 01分布特征函數(shù)： 61 隨機變量的特征函數(shù) 性質 (1) (唯一性定理 ) 隨機變量的分布函數(shù)與特征函數(shù)是一一對應且相互唯一確定的。這些顧客所花的錢為數(shù)學期望是 50元相互獨立的隨機變量。 ()kEX[ ( ) ] kE X E X?()klE X Y{ [ ( ) ] [ ( ) ] }klE X E X Y E Y??50 隨機變量的數(shù)字特征 ? 01分布 ? 二項分布 ? 泊松分布 ? 均勻分布 ? ? ? ?1 0 1 , 1 , 0 ,1?? ? ? ? ? ? ? ?kkkp P X k p q p p q k? ? ? ?,??E X p D X p q? ? ? ?1 0 1 , 1 , 0 ,1 ,?? ? ? ? ? ? ? ?k k kknp P X k C p q p p q k? ? ? ?,??E X n p D X n p q? ? ? ? 0 , 1 , 2 ,! ??? ? ? ?kkp P X k e kk? ? ? ? ???E X D X? ?1 , 0 , ? ??????? 其 他a x bfx ba? ? 2?? abEX? ? ? ?212?? baDX51 隨機變量的數(shù)字特征 ? 指數(shù)分布 ? 正態(tài)分布 ? 分布 ? ? , 00 , 0??? ?? ? ??xexfx x? ?1??EX ? ? 21??DX? ?? ?? ? ? ?22 221 ,2?? ??????? ? ?xf x e E X D X? ? ? ? ? ? 1 2221, 0,2220 , 0???? ??? ? ??? ?????? ??nxnx e xnf x E X n D X nx52 隨機變量的數(shù)字特征 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?E a X b a E x b? ? ? ?2??D a X b a D X? ?11???? ???????nnk k k kkkE a X a E X ? ?1 1 1 c o v ,? ? ??? ??????