【正文】 課堂練習(xí)： 在伯努利大數(shù)定理中，求證： l im 0n mPp n ??? ??? ? ?????證明 因?yàn)? 1 mmp p p pnn ??? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?由伯努利大數(shù)定理論， n ??就得到此題結(jié)果。 甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局甲勝的概率為 p,p1/，采用三局二勝制有利，還是采用五局三勝制有利。第一次取后放回，設(shè)第一次取得正品的事件為 A,設(shè)第二次取得正品的事件為 B,那么P(B/A)=P(B) 若事件 A,B相互獨(dú)立，證明 A與 也相互獨(dú)立。 課堂思考 課堂練習(xí) 1654年 ,一個(gè)名叫 梅累的騎士就 “ 兩個(gè)賭徒約定賭若干局 , 且誰先贏 c 局便算贏家 , 若在一賭徒勝 a 局 ( ac ),另一賭徒勝 b局(bc)時(shí)便終止賭博 ,問應(yīng)如何分賭本 ” 為題求教于帕斯卡 , 帕斯卡與費(fèi)馬通信討論這一問題 , 于 1654 年共同建立了概率論的第一個(gè)基本概念 數(shù)學(xué)期望 1. 概率論的誕生 醫(yī)學(xué)應(yīng)用： 根據(jù)字母使用頻率分布，把字母的序號(hào) 作為橫坐標(biāo)，對應(yīng)頻率的對數(shù)作為縱坐標(biāo)則 散點(diǎn)圖大致成斜率為 1的直線，各種文字都 有類似規(guī)律 研究發(fā)現(xiàn)，占 DNA分子鏈長度 97%的， 但并不表現(xiàn)任何功能的片斷中，分子頻率的 特征竟與上述語言文字規(guī)律一致！形成了“基 因文字“的猜想。 1()nkkx?? 大數(shù)定律和中心極限定理是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)聯(lián)系的核心定理，他們不僅是理論研究的依據(jù)，而且對數(shù)理統(tǒng)計(jì)和多變量分析在實(shí)際上的應(yīng)用起到重要作用。也可解釋為：若被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立隨機(jī)變量的和，其中每一個(gè)隨機(jī)變量對于總和只起微小的作用，則可以認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量實(shí)際上是近似服從正態(tài)分布的。 伯努利大數(shù)定律指出， n充分大，通過隨機(jī)試驗(yàn)確定某事件發(fā)生的頻率可作為該事件的相應(yīng)概率的估計(jì) 二．中心極限定理 概率論中有關(guān)論證隨機(jī)變量 的和的極限分布是正態(tài)分布的那些定理通常叫做中心極限定理。 一、大數(shù)定律 概率論中用來闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理統(tǒng)稱為 大數(shù)定律（ law of large numbers） .它是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)最基本最重要的核心定理。 例 31 某地 20歲男子，其身高均數(shù) (數(shù)學(xué)期望 )為，標(biāo)準(zhǔn)差為 ；其體重均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為 20歲男青年身高與體重的變異程度是否可認(rèn)為相同 ? 解：設(shè)該地 20歲男子身高和體重都是隨即變量，分別用 X1,X2表示 124. 95( ) 10 0% 2. 98 %16 6. 064. 96( ) 10 0% 9. 23 %53 .7 2CV XCV X? ? ?? ? ?由此可見，體重變異大于身高變異，或者說身高比體重均勻。 這個(gè)定義對離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量都是統(tǒng)一的，但具體表達(dá)形式不同。陽性為 設(shè)平均每人化驗(yàn)次數(shù)為隨即變量 X,則分布列為 X 1/4 1+1/4 試問哪個(gè)射手技術(shù)較好 ? 思考題 誰的技術(shù)比較好 ? 乙射手 甲射手 解 故甲射手的技術(shù)比較好 . 隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì) 一、方差的概念 二、方差的性質(zhì) 三、五種常見分布的方差 四、標(biāo)準(zhǔn)差及變異系數(shù) 在許多實(shí)際問題中 ， 除了考慮隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望外 ， 還要研究隨機(jī)變量以 E(x)為中心的分散程度 ， 比如生物體內(nèi)的脈搏 、 血壓及血球波動(dòng)過大 ， 表明該生物體處于病態(tài) 。醫(yī)務(wù)人員把 4個(gè)職工分為一組，把 4人的血液混合檢查，如果混合血樣是陰性的，這樣， 4個(gè)人平均每人化驗(yàn) 1/4次；如果混合血樣是陽性的，則對 4個(gè)人再逐個(gè)分別化驗(yàn)，這樣 4個(gè)人共作 5次化驗(yàn)，相當(dāng)平均每人化驗(yàn) 5/4次。某單位為職工進(jìn)行普查，共有 1000人需要驗(yàn)血。 正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸 :直徑、長度、重量 高度等都近似服從正態(tài)分布 . 正態(tài)分布的應(yīng)用與背景 3. 正態(tài)分布 正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征 正態(tài)分布的分布函數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為 正態(tài)分布的性質(zhì) 一般正態(tài)分布函數(shù)通過變量代換可轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 同理可計(jì)算另兩個(gè)問題的解 思考題 學(xué)生 A參加 SAT中的數(shù)學(xué)部分考試，得分 700分。所以可用泊松粉不近似計(jì)算，λ =np=1，查附錄 Ⅲ ，所求的概率為： （ 1)P{X3}=1{X≥3} == （ 2)P{X3}=P{X≥4} = （ 3)P{X=2}={X≥ 2}P{X≥3} == 四、均勻分布 性質(zhì)： X落在 [a,b]任意等長的子區(qū)間內(nèi)的概率相等 [ 定義 1 4 ] 設(shè)隨機(jī)變量 X 在區(qū)間 [ a , b ] 中取值，其概率密度函數(shù)為 1,()0a x bfx ba????? ???? 其 它 則稱 x 服從區(qū)間 [ a , b ] 的均勻分布。 例 25 用車運(yùn)送 500件針劑藥品 ， 在運(yùn)輸途中藥品受損壞的概率為 ， (1)求運(yùn)輸途中小于 3件藥品損壞的概率； (2)求運(yùn)輸途中多于 3件藥品損壞的概率 ， (3)求運(yùn)輸途中恰有 2件藥品損壞的概率 。他工作的特色是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究各類力學(xué)和物理問題，并由此得到數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn)。他的數(shù)學(xué) 才能受到拉格朗日和拉普拉斯的注意。 例 23 在 100升經(jīng)消毒的自來水中 ， 只能含有10個(gè)大腸桿菌 ， 今從中取出 l升水進(jìn)行檢驗(yàn) ，問在這一升水中檢出 2個(gè)大腸桿菌的概率是多少 ?如果真的檢查出有 2個(gè)大腸桿菌 ， 問這水是否合格 ? 解：對于每個(gè)大腸桿菌來說，只有兩個(gè)結(jié)果：落入A 或不落入 A 這一升水中， P (A )=0. 01,P( A )=0. 99 ，所以 10 個(gè)大腸桿菌是否落入可以看作 10 重伯努利試驗(yàn)，故所求概率為： 10 (2)P 210C= ()2()102= 根據(jù)小概率原理：小概率事件在一次試驗(yàn)中不 可能發(fā)生，所以認(rèn)為這水是不合格的。 所求概率用3 ( 2 )P表示， 3 ( 2 )P= P {1 2 3A A A+1 2 3A A A+1 2 3A A A} = P {1 2 3A A A} + P {1 2 3A A A} + P {1 2 3A A A} =3p2(1 p)3 2=23Cp2(1 p)3 2 求在 3次重復(fù)試驗(yàn)中事件 A剛好出現(xiàn) 2次的概率 ? 解：用 Ai（ i=1， 2， 3）表示事件 A在第 i次試驗(yàn)發(fā)生；用 （ i=1， 2， 3）表示事件A在第 i次事件不發(fā)生。 二、 二項(xiàng)分布 n 重伯努利試驗(yàn)： 1 ．該試驗(yàn)在相同條件下重復(fù) n 次試驗(yàn)； 2 ．每次試驗(yàn)只有二個(gè)結(jié)果 A 或 A ．每次試驗(yàn) 兩種結(jié)果的概率均是 P(A ) ＝ p P( A ) ＝ 1 一 p ； 3 ．在 n 重試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)結(jié)果互不影響。 把結(jié)果 A 與 1 對應(yīng)，結(jié)果 A 對應(yīng) 0 ，則可定義二點(diǎn)分布 離散型隨機(jī)變量：二點(diǎn)分布 、 二項(xiàng)分布 、 泊松分布； 連續(xù)型隨機(jī)變量：均勻分布和正態(tài)分布 。 對于離散型隨機(jī)變量： F(x)=P{X≤ x}= kkxxp?? 對于連續(xù)型隨機(jī)變量： F(x)=P{X≤ x}= ()x f x d x???實(shí)際生活中有時(shí)也要解決隨機(jī)變量 X 在區(qū)間 (??? x] 上 取值的概率， kXx?()kkP X x p?? 0 .1 0 .6 0 .30 1 2例 21 求本章例 19中的分布列 的隨機(jī)變量 X的分布函數(shù) 解：當(dāng) x0時(shí)， {X≤x} 是不可能事件， kkxxp??=0 F(x)=P{X≤x}= 當(dāng) 0≤x1 時(shí)， F(x)=P{X≤x}=P{X=0}= 當(dāng) 1≤x2 時(shí)， F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}= 當(dāng) x≥2 時(shí)， F(x)=P{X≤x}=1 Y 1 0 1 2 x （ 2） 分布函數(shù) F(x)的導(dǎo)數(shù)就是密度函數(shù) f(x). 如果 x 是連續(xù)隨機(jī)變量．由定義 10 ，隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)是： F ( x ) ＝? ? ( ) ( )xP X x f t d t x??? ? ? ? ? ? ? ?? 其中 f ( x ) 是 X 的密度函數(shù) 連續(xù)隨機(jī)變量密度函數(shù)與分布函數(shù)關(guān)系是： （ 1）密度函數(shù) f(x)的積分就是分布函數(shù)； 例 22 求例 20 的密度函數(shù)為 2 , 0 1()0xxfx???? ?? 其 它 的 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 函 數(shù) ； 通 過 分 布 函 數(shù) 也 求? ?1 / 2PX ?,? ?1 / 3PX ?和? ?1 / 3 1 / 2PX ??的概率。 122 130 138 146 154 mi/n/△ xi 122 130 138 146 154 mi/n/△ xi 解：由概率密度函數(shù)的性質(zhì) : 例 20 設(shè) f( x) 是連續(xù)隨機(jī)變量密度函數(shù)，且 , 0 1()0a x xfx???? ?? 其 它 求常數(shù) a 的值，并計(jì)算? ?1 / 3 1 / 2PX ??的概率值 。 ? ? ( ) 1P X f x d x????? ? ? ? ? ? ? ?? 1 。 隨機(jī)變量的分類 離散型： 取值為有限個(gè)或無限可列個(gè)； 取值為某一區(qū)間或整個(gè)實(shí)數(shù)軸。 X=0表陰性； X＝ 1表陽性 。 例 18 為探討乳腺腫塊的鑒別診斷 ,