【正文】 =﹣，故選： A．【點(diǎn)評】本題考查誘導(dǎo)公式及特殊角三角函數(shù)值． 2．（ 5 分）設(shè)集合 A={4， 5，7， 9}， B={3， 4， 7， 8， 9}，全集 U=A∪ B，則集合 ?U（ A∩ B）中的元素共有（） A． 3個(gè) B． 4個(gè) C． 5 個(gè) D． 6 個(gè)【考點(diǎn)】 1H： 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)交集含義取 A、 B 的公共元素寫出 A∩ B，再根據(jù)補(bǔ)集的含義求解．【解答】解： A∪ B={3， 4， 5， 7，8， 9}， A∩ B={4， 7， 9}∴ ?U（ A∩ B） ={3， 5， 8}故選 A．也可用摩根律： ?U（ A∩ B） =（ ?UA）∪（ ?UB）故選： A．【點(diǎn)評】本題考查集合的基本運(yùn)算，較簡單． 3．（ 5 分）不等式＜ 1 的解集為（） A． {x|0＜ x＜ 1}∪ {x|x＞ 1}B． {x|0＜ x＜ 1}C． {x|﹣ 1＜ x＜ 0}D． {x|x＜ 0}【考點(diǎn)】7E：其他不等式的解法．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析 】本題為絕對值不等式，去絕對值是關(guān)鍵，可利用絕對值意義去絕對值，也可兩邊平方去絕對值．【解答】解：∵＜ 1，∴ |x+1|＜ |x﹣ 1|，∴ x2+2x+1＜ x2﹣ 2x+1．∴x＜ 0．∴不等式的解集為 {x|x＜ 0}．故選： D．【點(diǎn)評】本題主要考查解絕對值不等式，屬基本題．解絕對值不等式的關(guān)鍵是去絕對值，去絕對值的方法主要有：利用絕對值的意義、討論和平方． 4．（ 5 分）已知 tana=4， cotβ =，則 tan（ a+β） =（） A． B．﹣ C． D．﹣【考點(diǎn)】GP：兩角和與差的三角函數(shù)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題．【分析】由已知中 cotβ =，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系公式，我們求出β角的正切值，然后代入兩角和的正切公式，即可得到答案．【解答】解：∵ tana=4， cotβ =，∴ tanβ =3∴ tan（ a+β） ===﹣故選： B．【點(diǎn)評】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是兩角和與差的正切函數(shù)，其中根據(jù)已知中β角的余切值，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系公式，求出β角的正切值是解答本題的關(guān)鍵． 5．（ 5 分）已知雙曲線﹣ =1（ a＞ 0， b＞ 0）的漸近線與拋物線 y=x2+1 相切，則該雙曲線的離心率為（） A． B． 2C． D．【考點(diǎn)】 KC：雙曲線的性質(zhì)； KH：直線與圓錐曲線的綜合．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題．【分析】先求出漸近線方程，代入拋物線方程，根據(jù)判別式等于 0，找到 a和 b 的關(guān)系，從而推斷出 a和 c 的關(guān)系，答案可得．【解答】解：由題雙曲線的一條漸近線方程為，代入拋物線方程整理得 ax2﹣ bx+a=0，因漸近線與拋物線相切，所以 b2﹣ 4a2=0，即，故選： C．【點(diǎn)評】本小題考查雙曲線的漸近線方程直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、雙曲線的離心率，基礎(chǔ)題． 6．（ 5分）已知函數(shù) f（ x）的反函數(shù)為 g（ x） =1+2lgx（ x＞ 0），則 f（ 1） +g（ 1） =（） A． 0B． 1C． 2D． 4【考點(diǎn)】 4R：反函數(shù)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題．【分析】將 x=1代入即可求得 g（ 1），欲求 f（ 1），只須求當(dāng) g（ x） =1 時(shí) x 的值即可．從而解決問題．【解答】解：由題令 1+2lgx=1 得 x=1，即 f（ 1） =1，又 g（ 1）=1，所以 f（ 1） +g（ 1） =2，故選： C．【點(diǎn)評】本小題考查反函數(shù)，題目雖然簡單，卻考查了對基礎(chǔ)知識(shí)的靈活掌握情況，也考查了運(yùn)用知識(shí)的能力． 7．（ 5 分）甲組有 5名男同學(xué)， 3名女同學(xué)； 乙組有 6 名男同學(xué)、 2 名女同學(xué)．若從甲、乙兩組中各選出 2 名同學(xué)，則選出的 4 人 中恰有 1 名女同學(xué)的不同選法共有（） A． 150 種B． 180 種 C． 300種 D． 345種【考點(diǎn)】 D1：分類加法計(jì)數(shù)原理； D2：分步乘法計(jì)數(shù)原理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 5O：排列組合．【分析】選出的 4 人中恰有 1 名女同學(xué)的不同選法， 1 名女同學(xué)來自甲組和乙組兩類型．【解答】解：分兩類（ 1）甲組中選出一名女生有 C51?C31?C62=225種選法； （ 2）乙組中選出一名女生有 C52?C61?C21=120 種選法．故共有345種選法．故選： D．【點(diǎn)評】分類加法計(jì)數(shù)原理和分類。 +180176。）=sin225176。 =sin（ 585176。（ I）證明： M是側(cè)棱 SC 的中點(diǎn)； （Ⅱ）求二面角 S﹣ AM﹣ B的大?。?20．（ 12 分）甲、乙二人進(jìn)行一次圍棋比賽，約定先勝 3 局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束．假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為 ，乙獲勝的概率為 ，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知前 2 局中，甲、乙各勝 1局．（Ⅰ）求再賽 2 局結(jié)束這次比賽的概率； （Ⅱ）求甲獲得這次比賽勝利的概率． 21．（ 12 分） 已知函數(shù) f（ x） =x4﹣ 3x2+6．（Ⅰ）討論 f（ x）的單調(diào)性； （Ⅱ）設(shè)點(diǎn) P 在曲線 y=f（ x）上，若該曲線在點(diǎn) P 處的切線 l通過坐標(biāo)原點(diǎn)，求 l 的方程． 22．（ 12 分）如圖，已知拋物線 E： y2=x 與圓 M：（ x﹣ 4） 2+y2=r2（ r＞ 0）相交于 A、 B、 C、 D 四個(gè)點(diǎn)．（Ⅰ）求 r的取值范圍； （Ⅱ）當(dāng)四邊形 ABCD 的面積最大時(shí)，求對角線 AC、 BD 的交點(diǎn) P的坐標(biāo)． 2021 年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（全國卷Ⅰ）參考答案與試題解析 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5分，滿分 60 分） 1．（ 5分） sin585176。⑤ 75176。③ 45176。動(dòng)點(diǎn) P、 Q 分別在面α、β內(nèi)， P 到β的距離為， Q 到α的距離為，則 P、Q 兩點(diǎn)之間距離的最小值為（） A． 1B． 2C． D． 412．（ 5 分）已知橢圓C： +y2=1 的右焦點(diǎn)為 F，右準(zhǔn)線為 l，點(diǎn) A∈ l，線段 AF 交 C 于點(diǎn) B，若 =3，則 ||=（） A． B． 2C． D． 3 二、填空題（共 4 小題，每小題 5分，滿分 20 分） 13．（ 5 分）（ x﹣ y） 10 的展開式中， x7y3 的系數(shù)與x3y7 的系數(shù)之和等于 ． 14．（ 5 分）設(shè)等差數(shù)列 {an}的前 n 的和為Sn，若 S9=72，則 a2+a4+a9= ． 15．（ 5 分）已知 OA 為球 O 的半徑，過 OA 的中點(diǎn) M 且垂直于 OA 的平面截球面得到圓 M．若圓 M 的面積為 3π，則球 O 的表面積等于 ． 16．（ 5 分）若直線 m 被兩平行線 l1：x﹣ y+1=0 與 l2： x﹣ y+3=0 所截得的線段的長為，則 m 的傾斜角可以是① 15176。 D． 30176。 B． 120176。為 CE 與平面 ABE 所成的角．∵ CE=，∴ CH=EH=．直角三角形 CBH 中，利用勾股定理求得 BH===1，∴ AH=AB﹣ BH=AC﹣ 1； 直角三角形 ACH 中，由勾股定理求得 AC2=CH2+AH2=3+（ AC﹣ 1） 2，∴ AB=AC=2．由面 ABC⊥面 BCDE，矩形 BCDE 中 CD⊥ CB，可得 CD⊥面 ABC，故△ ACD 為直角三角形， AD===，故 CG===， DG==，又，則，∴，即二面角 C﹣ AD﹣ E 的大?。军c(diǎn)評】本題主要考查通過證明線面垂直來證明線線垂直的方法，以及求二面角的大小的方法，屬于中檔題． 19．（ 12 分）在數(shù)列 {an}中， a1=1， an+1=2an+2n．（Ⅰ）設(shè) bn=．證明：數(shù)列 {bn}是等差數(shù)列； （Ⅱ）求數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和 Sn．【考點(diǎn)】 8E：數(shù)列的求和； 8H：數(shù)列遞推式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題； 14：證明題．【分析】（ 1）由 an+1=2an+2n 構(gòu)造可得即數(shù)列 {bn}為等差數(shù)列（ 2）由（ 1）可求 =n，從而可得 an=n?2n﹣ 1 利用錯(cuò)位相減求數(shù)列 {an}的和【解答】解：由 an+1=2an+2n．兩邊同除以 2n 得∴，即 bn+1﹣ bn=1∴ {bn}以 1 為首項(xiàng)， 1 為公差的等差數(shù)列（ 2）由（ 1）得∴ an=n?2n﹣ 1Sn=20+2 21+3 22+? +n?2n﹣ 12Sn=21+2 22+? +（ n﹣ 1）? 2n﹣ 1+n?2n∴﹣ Sn=20+21+22+? +2n﹣ 1﹣ n?2n=∴ Sn=（ n﹣ 1）?2n+1【點(diǎn)評】本題考查利用構(gòu)造法構(gòu)造特殊的等差等比數(shù)列及錯(cuò)位相減求數(shù)列的和，構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)及錯(cuò)位相減求數(shù)列的和是數(shù)列部分的重點(diǎn)及熱點(diǎn)，要注意該方法的掌握． 20．（ 12 分）已知 5 只動(dòng)物中有 1 只患有某種疾病，需要通過化驗(yàn)血液來確定患病的動(dòng)物．血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的即為患病動(dòng)物，呈陰性即沒患?。旅媸莾煞N化驗(yàn)方案： 方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止．方案乙：先任取3 只，將它們的血液混在一起化驗(yàn) ．若結(jié)果呈陽性則表明患病動(dòng)物為這3 只中的 1 只，然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止； 若結(jié)果呈陰性則在另外 2 只中任取 1 只化驗(yàn)．求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率．【考點(diǎn)】 C5：互斥事件的概率加法公式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題； 35：轉(zhuǎn)化思想．【分析】（解法一）主要依乙所驗(yàn)的次數(shù)分類，并求出每種情況下被驗(yàn)中的概率，再求甲種方案的次數(shù)不少于乙種次數(shù)的概率； （解法二）先求所求事件的對立事件即甲的次數(shù)小于乙的次數(shù)，再求出它包含的兩個(gè)事件“甲進(jìn)行的一次即驗(yàn)出 了和甲進(jìn)行了兩次，乙進(jìn)行了 3 次”的概率，再代入對立事件的概率公式求解．【解答】解：（解法一）：主要依乙所驗(yàn)的次數(shù)分類： 若乙驗(yàn)兩次時(shí)，有兩種可能： ①先驗(yàn)三只結(jié)果為陽性，再從中逐個(gè)驗(yàn)時(shí)，恰好一次驗(yàn)中概率為： （也可以用）②先驗(yàn)三只結(jié)果為陰性，再從其它兩只中驗(yàn)出陽性（無論第二次驗(yàn)中沒有，均可以在第二次結(jié)束）（）∴乙只用兩次的概率為．若乙驗(yàn)三次時(shí)，只有一種可能： 先驗(yàn)三只結(jié)果為陽性，再從中逐個(gè)驗(yàn)時(shí)，恰好二次驗(yàn)中概率為：∴在三次驗(yàn)出時(shí)概率為∴甲種方案的次數(shù)不少于乙種次數(shù)的概率為： （解法二）：設(shè) A 為甲的次數(shù)不小于乙的次數(shù)，則表示甲的次數(shù)小于乙的次數(shù)，則只有兩種情況，甲進(jìn)行的一次即驗(yàn)出了和甲進(jìn)行了兩次，乙進(jìn)行了 3 次．則設(shè) A1， A2 分別表示甲在第一次、二次驗(yàn)出，并設(shè)乙在三次驗(yàn)出為 B∴∴【點(diǎn)評】本題考查了用計(jì)數(shù)原理來求事件的概率，并且所求的事件遇過于復(fù)雜的，要主動(dòng)去分析和應(yīng)用對立事件來處理． 21．（ 12 分）已知函數(shù) f（ x） =﹣ x2+ax+1﹣ lnx．（Ⅰ）當(dāng) a=3時(shí)，求函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間； （Ⅱ）若 f（ x）在區(qū)間（ 0，）上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍．【考點(diǎn)】 3D：函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間； 3E：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 16：壓軸題．【分析】（ 1）求單調(diào)區(qū)間，先求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于 0即可．（ 2）已知 f（ x）在區(qū)間（ 0，）上是減函數(shù)，即 f′（ x）≤ 0 在區(qū)間（ 0，）上恒成立，然后用分離參數(shù)求最值即可．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng) a=3時(shí)，f（ x） =﹣ x2+3x+1﹣ lnx∴解 f′（ x）＞ 0，即： 2x2﹣ 3x+1＜ 0 函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間是．（Ⅱ） f′（ x） =﹣ 2x+a﹣，∵ f（ x）在上為減函數(shù)，∴ x∈時(shí)﹣ 2x+a﹣≤ 0 恒成立．即 a≤ 2x+恒成 立．設(shè)，則∵ x∈時(shí)，＞ 4，∴ g′（ x）＜ 0，∴ g（ x）在上遞減，∴ g（ x）＞ g（） =3，∴ a≤ 3．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍，此類問題一般用導(dǎo)數(shù)解決，綜合性較強(qiáng)． 22．（ 12 分）雙曲線的中心為原點(diǎn) O，焦點(diǎn)在 x 軸上，兩條漸近線分別為 l1， l2，經(jīng)過右焦點(diǎn) F 垂直于 l1 的直線分別交 l1， l2 于 A， B 兩點(diǎn)．已知 ||、 ||、||成等差數(shù)列，且與同向．（Ⅰ）求雙曲線的離心率； （Ⅱ）設(shè) AB被雙曲線所截得的線段的長為 4，求雙曲線的方程．【考點(diǎn)】 KB：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； KC：雙曲線的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題； 16：壓軸題．【分析】（ 1）由 2 個(gè)向量同向，得到漸近線的夾角范圍，求出離心率的范圍，再用勾股定理得出直角三角形的 2 個(gè)直角邊的長度比，聯(lián)想到漸近線的夾角，求出漸近線的斜率，進(jìn)而求出離心率．（ 2）利用第（ 1）的結(jié)論，設(shè)出雙曲線的方程，將 AB 方程代入，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式，求出待定系數(shù)，即可求出雙曲線方程．【解答】解：（ 1）設(shè)雙曲線方程為，由，同向，∴漸近線的傾斜角范圍為（ 0，），∴漸近線斜率為：，∴．∵ ||、 ||、 ||成等差數(shù)列，∴|OB|+|OA|=2|AB|，∴ |AB|2=（ |OB|﹣ |OA|）（ |OB|+|OA|） =（ |OB|﹣|OA|）? 2|AB|，∴，∴，可得：，而在直角三角形 OAB 中，注意到三角形 OAF 也為直角三角形，即 tan∟ AOB=，而由對稱性可知： OA 的斜率為 k=tan，∴，∴ 2k2+3k﹣ 2=0，∴； ∴，∴，∴．（ 2）由第（ 1）知， a