【正文】 故 GH∥ AB， HF∥ AC． HF=AG=5， DF。 AB=2AD，由余弦定理得 BD=，從而 BD2+AD2=AB2，故 BD⊥ AD 又 PD⊥底面 ABCD，可得BD⊥ PD 所以 BD⊥平面 PAD．故 PA⊥ BD．（ II）解：作 DE⊥ PB 于 E，已知 PD⊥底面 ABCD，則 PD⊥ BC，由（ I）知， BD⊥ AD，又 BC∥ AD，∴ BC⊥ BD．故 BC⊥平面 PBD， BC⊥ DE，則 DE⊥平面 PBC．由題設(shè)知 PD=1，則 BD=， PB=2．根據(jù) DE?PB=PD?BD，得 DE=，即棱錐 D﹣ PBC 的高為．【點(diǎn)評(píng)】此題是個(gè)中檔題．考查線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，以及點(diǎn)到面的距離，查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題能力． 19．（ 12 分）某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指 標(biāo)值大于或等于 102 的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為 A 配方和 B 配方）做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果： A 配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組 [90， 94） [94， 98） [98， 102）[102， 106） [106， 110]頻數(shù) 82042228B 配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組[90， 94） [94， 98） [98， 102） [102， 106） [106， 110]頻數(shù) 412423210（Ⅰ）分別估計(jì)用 A配方， B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率； （Ⅱ）已知用 B 配方生成的 一件產(chǎn)品的利潤 y（單位：元）與其質(zhì)量指標(biāo)值 t 的關(guān)系式為 y=從用 B 配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤記為 X（單位：元），求 X的分布列及數(shù)學(xué)期望．（以試驗(yàn)結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率）【考點(diǎn)】 B2：簡單隨機(jī)抽樣； BB：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)； CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題； 15：綜合題．【分析】（ I）根據(jù)所給的樣本容量和兩種配方的優(yōu)質(zhì)的頻數(shù)，兩個(gè)求比值，得到用兩種配方的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值．（ II）根據(jù)題 意得到變量對應(yīng)的數(shù)字，結(jié)合變量對應(yīng)的事件和第一問的結(jié)果寫出變量對應(yīng)的概率，寫出分布列和這組數(shù)據(jù)的期望值．【解答】解：（Ⅰ）由試驗(yàn)結(jié)果知，用 A 配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)的頻率為∴用 A 配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為 ．由試驗(yàn)結(jié)果知，用 B 配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為∴用 B 配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為 ； （Ⅱ）用 B配方生產(chǎn)的 100件產(chǎn)品中，其質(zhì)量指標(biāo)值落入?yún)^(qū)間 [90，94）， [94， 102）， [102， 110]的頻率分別為 ， ， ，∴ P（ X=﹣ 2） =， P（ X=2） =， P（ X=4） =，即 X的分布列為 X﹣ ∴ X 的數(shù)學(xué)期望值 EX=﹣ 2 +2 +4=【點(diǎn)評(píng)】本題考查隨機(jī)抽樣和樣本估計(jì)總體的實(shí)際應(yīng)用，考查頻數(shù)，頻率和樣本容量之間的關(guān)系，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，本題是一個(gè)綜合問題 20．（ 12 分）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線 y=x2﹣ 6x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓 C上．（Ⅰ）求圓 C的方程； （Ⅱ）若圓 C與直線 x﹣ y+a=0 交與 A， B 兩點(diǎn)，且 OA⊥ OB，求 a的值．【考點(diǎn)】 J1：圓的 標(biāo)準(zhǔn)方程； J8：直線與圓相交的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 5B：直線與圓．【分析】（Ⅰ）法一：寫出曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用圓心的幾何特征設(shè)出圓心坐標(biāo)，構(gòu)造關(guān)于圓心坐標(biāo)的方程，通過解方程確定出圓心坐標(biāo)，進(jìn)而算出半徑，寫出圓的方程； 法二：可設(shè)出圓的一般式方程，利用曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，根據(jù)同一性直接求出參數(shù)，（Ⅱ）利用設(shè)而不求思想設(shè)出圓 C 與直線 x﹣y+a=0 的交點(diǎn) A， B 坐標(biāo)，通過 OA⊥ OB 建立坐標(biāo)之間的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理尋找關(guān)于 a的方程，通過解方程確定出 a的值．【解答】解：（Ⅰ）法一：曲 線 y=x2﹣ 6x+1與 y 軸的交點(diǎn)為（ 0， 1），與 x 軸的交點(diǎn)為（ 3+2，0），（ 3﹣ 2， 0）．可知圓心在直線 x=3 上，故可設(shè)該圓的圓心 C 為（ 3，t），則有 32+（ t﹣ 1） 2=（ 2） 2+t2，解得 t=1，故圓 C 的半徑為，所以圓 C 的方程為（ x﹣ 3） 2+（ y﹣ 1） 2=9．法二：圓 x2+y2+Dx+Ey+F=0x=0，y=1有 1+E+F=0y=0， x2﹣ 6x+1=0 與 x2+Dx+F=0 是同一方程，故有 D=﹣6， F=1， E=﹣ 2，即圓方程為 x2+y2﹣ 6x﹣ 2y+1=0（Ⅱ）設(shè) A（ x1， y1），B（ x2， y2），其坐標(biāo) 滿足方程組，消去 y，得到方程 2x2+（ 2a﹣ 8） x+a2﹣ 2a+1=0，由已知可得判別式△ =56﹣ 16a﹣ 4a2＞ 0．在此條件下利用根與系數(shù)的關(guān)系得到 x1+x2=4﹣ a， x1x2=①，由于 OA⊥ OB 可得x1x2+y1y2=0，又 y1=x1+a， y2=x2+a，所以可得 2x1x2+a（ x1+x2） +a2=0②由①②可得 a=﹣ 1，滿足△ =56﹣ 16a﹣ 4a2＞ 0．故 a=﹣ 1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的方程的求解，考查學(xué)生的待定系數(shù)法，考查學(xué)生的方程思想，直線與圓的相交問題的解決方法和設(shè)而不求的思想，考查垂直問題的解決 思想，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，屬于直線與圓的方程的基本題型． 21．（ 12 分）已知函數(shù) f（ x） =+，曲線 y=f（ x）在點(diǎn)（ 1， f（ 1））處的切線方程為 x+2y﹣ 3=0．（Ⅰ）求 a、 b的值； （Ⅱ）證明：當(dāng) x＞ 0，且 x≠ 1 時(shí)， f（ x）＞．【考點(diǎn)】 6E：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值； 6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】15：綜合題； 16：壓軸題； 32：分類討論； 35：轉(zhuǎn)化思想．【分析】（ I）據(jù)切點(diǎn)在切線上，求出切點(diǎn)坐標(biāo)； 求出導(dǎo)函數(shù)； 利用導(dǎo)函數(shù)在切點(diǎn)處的值為切線的斜率及切點(diǎn)在曲線上，列出方程組，求出 a， b 的值．（ II）構(gòu)造新函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)，通過研究導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，證得不等式．【解答】解：（ I）．由于直線 x+2y﹣ 3=0的斜率為﹣，且過點(diǎn)（ 1， 1）所以解得 a=1， b=1（ II）由（ I）知 f（ x） =所以考慮函數(shù)，則所以當(dāng) x≠ 1時(shí)， h′（ x）＜ 0而 h（ 1） =0，當(dāng) x∈（ 0， 1）時(shí)， h（ x）＞ 0 可得； 當(dāng)從而當(dāng) x＞ 0 且 x≠ 1 時(shí)，【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義：在切點(diǎn)處的導(dǎo) 數(shù)值為切線的斜率、考查通過判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)性； 通過求函數(shù)的最值證明不等式恒成立． 22．（ 10 分）如圖， D，E 分別為△ ABC 的邊 AB， AC 上的點(diǎn)，且不與△ ABC 的頂點(diǎn)重合．已知AE 的長為 m， AC 的長為 n， AD， AB 的長是關(guān)于 x 的方程 x2﹣ 14x+mn=0的兩個(gè)根．（Ⅰ）證明： C， B， D， E四點(diǎn)共圓； （Ⅱ）若∠ A=90176。 AB=2AD， PD⊥底面 ABCD．（Ⅰ）證明： PA⊥ BD（Ⅱ）設(shè) PD=AD=1，求棱錐 D﹣ PBC 的高．【考點(diǎn)】 LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積； LW：直線與平面垂直．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題； 14：證明題； 15：綜合題．【分析】（ Ⅰ）因?yàn)椤?DAB=60176。且 m=4， n=6，求 C， B， D， E所在圓的半徑． 23．在直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線 C1 的參數(shù)方程為（α為參數(shù)） M 是 C1 上的動(dòng)點(diǎn)， P 點(diǎn)滿足 =2， P點(diǎn)的軌跡為曲線 C2（Ⅰ）求 C2 的方程； （Ⅱ）在以 O 為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線θ =與 C1 的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為 A，與 C2 的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為 B，求|AB|． 24．設(shè)函數(shù) f（ x） =|x﹣ a|+3x，其中 a＞ 0．（Ⅰ）當(dāng) a=1 時(shí)，求不等式 f（ x）≥ 3x+2的解集（Ⅱ）若不等式 f（ x）≤ 0 的解集為 {x|x≤﹣ 1}，求 a 的值． 2021 年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（ 文科）（新課標(biāo)）參考答案與試題解析 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60分） 1．（ 5 分）已知集合 M={0， 1， 2， 3， 4}， N={1， 3， 5}， P=M∩ N，則 P 的子集共有（） A． 2 個(gè) B． 4個(gè) C． 6個(gè) D． 8個(gè)【考點(diǎn)】 1E：交集及其運(yùn)算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題．【分析】利用集合的交集的定義求出集合 P； 利用集合的子集的個(gè)數(shù)公式求出 P 的子集個(gè)數(shù)．【解答】解：∵ M={0，1， 2， 3， 4}， N={1， 3， 5}，∴ P=M∩ N={1， 3}∴ P 的子集共有 22=4 故選： B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用集合 的交集的定義求交集、考查一個(gè)集合含 n 個(gè)元素，則其子集的個(gè)數(shù)是 2n． 2．（ 5 分）復(fù)數(shù) =（） A． 2﹣iB． 1﹣ 2iC．﹣ 2+iD．﹣ 1+2i【考點(diǎn)】 A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題．【分析】將分子、分母同時(shí)乘以 1+2i，再利用多項(xiàng)式的乘法展開，將 i2 用﹣ 1 代替即可．【解答】解： =﹣ 2+i 故選： C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)． 3．（ 5 分）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（ 0， +∞）上單調(diào)遞增的函數(shù)是（） A． y=2x3B． y=|x|+1C． y=﹣ x2+4D． y=2﹣ |x|【考點(diǎn)】 3K：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題； 51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義和性質(zhì)，對選項(xiàng)一一加以判斷，即可得到既是偶函數(shù)又在（ 0， +∞）上單調(diào)遞增的函數(shù)．【解答】解：對于 A． y=2x3，由 f（﹣ x） =﹣ 2x3=﹣ f（ x），為奇函數(shù)，故排除 A； 對于 B． y=|x|+1，由 f（﹣ x） =|﹣ x|+1=f（ x），為偶函數(shù)，當(dāng) x＞ 0 時(shí)， y=x+1，是增函數(shù)，故 B正確； 對于 C． y=﹣ x2+4，有 f（﹣ x） =f（ x），是 偶函數(shù)，但 x＞ 0 時(shí)為減函數(shù)，故排除 C； 對于 D． y=2﹣ |x|，有 f（﹣ x） =f（ x），是偶函數(shù)，當(dāng) x＞ 0 時(shí)，y=2﹣ x，為減函數(shù)，故排除 D．故選： B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及運(yùn)用，注意定義的運(yùn)用，以及函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題． 4．（ 5 分）橢圓 =1 的離心率為（） A． B． C． D．【考點(diǎn)】 K4：橢圓的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】11：計(jì)算題．【分析】根據(jù)橢圓的方程，可得 a、 b 的值，結(jié)合橢圓的性質(zhì)，可得 c 的值，有橢圓的離心率公式，計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù) 橢圓的方程 =1，可得 a=4， b=2，則 c==2； 則橢圓的離心率為 e==，故選： D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的基本性質(zhì)： a2=b2+c2，以及離心率的計(jì)算公式，注意與雙曲線的對應(yīng)性質(zhì)的區(qū)分． 5．（ 5 分）執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的 N 是 6，那么輸出的 p是（） A． 120B． 720C． 1440D． 5040【考點(diǎn)】 EF：程序框圖．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 5K：算法和程序框圖．【分析】執(zhí)行程序框圖，寫出每次循環(huán) p， k 的值，當(dāng) k＜ N 不成立時(shí)輸出 p 的值即可．【解答】解：執(zhí)行程序框圖，有 N=6， k=1， p=1P=1， k＜ N 成立，有 k=2P=2， k＜ N成立，有 k=3P=6， k＜ N成立，有 k=4P=24， k＜ N 成立，有 k=5P=120，k＜ N 成立，有 k=6P=720， k＜ N 不成立，輸出 p 的值為 720．故選： B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考察了程序框圖和算法，屬于基礎(chǔ)題． 6．（ 5 分）有 3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為（） A． B． C． D．【考點(diǎn)】 CB：古典概型及其概率計(jì)算公式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】本題是一個(gè)古典概型，試 驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)是 3 3種結(jié)果，滿足條件的事件是這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組有 3種結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式得到結(jié)果．【解答】解：由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)是 3 3=9種結(jié)果，滿足條件的事件是這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組，由于共有三個(gè)小組，則有 3種結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式得到 P=，故選： A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型概率公式，是一個(gè)基礎(chǔ)題，題目使用列舉法來得到試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)和滿足條件的事件數(shù)，出現(xiàn)這種問題一定是一個(gè)必得分題目． 7．（ 5 分）已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的 正半軸重合，終邊在直線 y=2x上，則 cos2θ =（） A．﹣ B．﹣ C． D．【考點(diǎn)】 GS：二倍角的三角函數(shù)；