【正文】 求 PD 與平面 PBC 所成角的大小． 19．（ 12 分）乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：一局比賽，雙方比分在 10 平前，一方連續(xù)發(fā)球 2 次后，對方再連續(xù)發(fā)球 2 次，依次輪換．每次發(fā)球，勝方得 1 分，負(fù)方得 0 分．設(shè)在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，發(fā)球方得 1分的概率為 ，各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立．甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球．（Ⅰ）求開始第 4 次發(fā)球時，甲、乙的比分為 1比 2 的概率； （Ⅱ）ξ表示開始第 4 次發(fā)球時乙的得分，求ξ的期望． 20．（ 12分）設(shè)函數(shù) f（ x） =ax+cosx， x∈ [0，π ]．（Ⅰ）討論 f（ x）的單調(diào)性； （Ⅱ）設(shè) f（ x）≤ 1+sinx，求 a 的取值范圍． 21．（ 12 分）已知拋物線 C： y=（ x+1） 2與圓（ r＞ 0）有一個公共點(diǎn) A，且在 A 處兩曲線的切線為同一直線 l．（Ⅰ）求 r； （Ⅱ）設(shè) m， n 是異于 l 且與 C 及 M 都相切的兩條直線， m， n 的交點(diǎn)為 D，求 D到 l 的距離． 22．（ 12 分）函數(shù) f（ x） =x2﹣ 2x﹣ 3，定義數(shù)列 {xn}如下： x1=2， xn+1 是過兩點(diǎn) P（ 4， 5）， Qn（ xn， f（ xn））的直線 PQn與 x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．（Ⅰ）證明： 2≤ xn＜ xn+1＜ 3； （Ⅱ）求數(shù)列 {xn}的通項(xiàng)公式． 2021 年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（大綱版）參考答案與試題解析 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5分，共 60 分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．） 1．（ 5 分）復(fù)數(shù) =（） A． 2+iB． 2﹣ iC． 1+2iD． 1﹣ 2i【考點(diǎn)】 A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題．【分析】把的分子分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，得，由此利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，能求出結(jié)果．【解答】解： ===1+2i．故選： C．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn) 算，是基礎(chǔ)題．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答． 2．（ 5分）已知集合 A={1， 3， }， B={1， m}， A∪B=A，則 m 的值為（） A． 0 或 B． 0 或 3C． 1 或 D． 1 或 3【考點(diǎn)】 1C：集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 5J：集合．【分析】由題設(shè)條件中本題可先由條件 A∪ B=A 得出 B?A，由此判斷出參數(shù)m 可能的取值，再進(jìn)行驗(yàn)證即可得出答案選出正確選項(xiàng)．【解答】解：由題意 A∪ B=A，即 B?A，又， B={1， m}，∴ m=3或 m=，解得 m=3或 m=0及 m=1，驗(yàn)證知， m=1 不滿足集合的互異性，故 m=0 或 m=3 即為 所求，故選： B．【點(diǎn)評】本題考查集合中參數(shù)取值問題，解題的關(guān)鍵是將條件 A∪ B=A 轉(zhuǎn)化為 B?A，再由集合的包含關(guān)系得出參數(shù)所可能的取值． 3．（ 5 分）橢圓的中心在原點(diǎn)，焦距為 4，一條準(zhǔn)線為 x=﹣ 4，則該橢圓的方程為（） A． B． C． D．【考點(diǎn)】 K3：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； K4：橢圓的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題．【分析】確定橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上，根據(jù)焦距為 4，一條準(zhǔn)線為 x=﹣ 4，求出幾何量，即可求得橢圓的方程．【解答】解：由題意，橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上，且∴ c=2， a2=8∴ b2=a2﹣ c2=4∴橢圓 的方程為故選： C．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題． 4．（ 5分）已知正四棱柱 ABCD﹣ A1B1C1D1中， AB=2， CC1=2， E 為 CC1 的中點(diǎn)，則直線 AC1 與平面 BED 的距離為（） A． 2B． C． D． 1【考點(diǎn)】 MI：直線與平面所成的角．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題．【分析】先利用線面平行的判定定理證明直線 C1A∥。 1，∴直線 l 的方程為x﹣ y﹣ 1=0，或 x+y﹣ 1=0．【點(diǎn)評】本題主要考查求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，韋達(dá)定理、弦長公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于難題． 22．（ 12 分）函數(shù) f（ x） =ln（ x+1）﹣（ a＞ 1）．（Ⅰ）討論 f（ x）的單調(diào)性； （Ⅱ）設(shè) a1=1， an+1=ln（ an+1），證明：＜ an≤（ n∈ N*）．【考點(diǎn)】 6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性； RG：數(shù)學(xué)歸納法．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論 a 的取值范圍，即可得到 f（ x）的單調(diào)性； （Ⅱ）利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明不等式．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（ x）的定義域?yàn)椋ī?1， +∞）， f′（ x） =，①當(dāng) 1＜ a＜ 2 時，若 x∈（﹣ 1， a2﹣ 2a），則 f′（ x）＞ 0，此時函數(shù) f（ x）在（﹣ 1， a2﹣2a）上是增函數(shù)，若 x∈（ a2﹣ 2a， 0），則 f′（ x）＜ 0，此時函數(shù) f（ x）在（ a2﹣ 2a， 0）上是減函數(shù)，若 x∈（ 0， +∞），則 f′（ x）＞0，此時函 數(shù) f（ x）在（ 0， +∞）上是增函數(shù)．②當(dāng) a=2 時， f′（ x）≥ 0，此時函數(shù) f（ x）在（﹣ 1， +∞）上是增函數(shù)，③當(dāng) a＞ 2 時，若x∈（﹣ 1， 0），則 f′（ x）＞ 0，此時函數(shù) f（ x）在（﹣ 1， 0）上是增函數(shù)，若 x∈（ 0， a2﹣ 2a），則 f′（ x）＜ 0，此時函數(shù) f（ x）在（ 0，a2﹣ 2a）上是減函數(shù)，若 x∈（ a2﹣ 2a， +∞），則 f′（ x）＞ 0，此時函數(shù) f（ x）在（ a2﹣ 2a， +∞）上是增函數(shù)．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng) a=2時，此時函數(shù) f（ x）在（﹣ 1， +∞）上是增函數(shù)，當(dāng) x∈（ 0， +∞）時， f（ x）＞ f（ 0） =0， 即 ln（ x+1）＞，（ x＞ 0），又由（Ⅰ）知，當(dāng)a=3時， f（ x）在（ 0， 3）上是減函數(shù)，當(dāng) x∈（ 0， 3）時， f（ x）＜f（ 0） =0， ln（ x+1）＜，下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明＜ an≤成立，①當(dāng) n=1 時，由已知，故結(jié)論成立．②假設(shè)當(dāng) n=k 時結(jié)論成立，即，則當(dāng) n=k+1 時， an+1=ln（ an+1）＞ ln（）， ak+1=ln（ ak+1）＜ ln（），即當(dāng) n=k+1 時，成立，綜上由①②可知，對任何 n∈ N?結(jié)論都成立．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，以及利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，綜合性較強(qiáng)，難度較大 ． 第三篇：全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（大綱版）（含解析版） 2021 年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（大綱版）一、選擇題（共12 小題，每小題 5 分，共 60 分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．） 1．（ 5分）復(fù)數(shù) =（） A． 2+iB． 2﹣ iC． 1+2iD． 1﹣ 2i2．（ 5 分）已知集合 A={1， 3， }， B={1， m}， A∪ B=A，則 m 的值為（） A． 0或 B． 0或 3C． 1 或 D． 1 或 33．（ 5 分）橢圓的中心在原點(diǎn)，焦距為 4，一條準(zhǔn)線為 x=﹣ 4，則該橢圓的方程為（） A． B． C． D． 4． （ 5分）已知正四棱柱 ABCD﹣ A1B1C1D1中， AB=2， CC1=2， E 為 CC1 的中點(diǎn)，則直線 AC1 與平面 BED的距離為（） A． 2B． C． D． 15．（ 5分）已知等差數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn， a5=5， S5=15，則數(shù)列的前 100 項(xiàng)和為（）A． B． C． D． 6．（ 5分）△ ABC 中， AB 邊的高為 CD，若 =， =，? =0， ||=1，||=2，則 =（） A． B． C． D． 7．（ 5 分）已知α為第二象限角，則 cos2α =（） A．﹣ B．﹣ C． D． 8．（ 5 分）已知 F F2 為雙曲線 C： x2﹣ y2=2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) P 在 C 上 ， |PF1|=2|PF2|，則 cos∠ F1PF2=（）A． B． C． D． 9．（ 5 分）已知 x=lnπ， y=log52，則（） A． x＜ y＜ zB． z＜ x＜ yC． z＜ y＜ xD． y＜ z＜ x10．（ 5 分）已知函數(shù) y=x3﹣ 3x+c 的圖象與 x 軸恰有兩個公共點(diǎn)，則 c=（） A．﹣ 2 或 2B．﹣ 9或 3C．﹣ 1 或 1D．﹣3 或 111．（ 5 分）將字母 a， a， b， b， c， c 排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有（）A． 12 種 B． 18 種 C． 24 種 D． 36 種 12．（ 5分）正方形 ABCD 的邊長為1，點(diǎn) E 在邊 AB 上，點(diǎn) F 在邊 BC 上，動點(diǎn) P 從 E 出發(fā)沿直線向 F 運(yùn)動，每當(dāng)碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當(dāng)點(diǎn) P第一次碰到 E 時， P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為（） A． 16B． 14C． 12D． 10 二、填空題：本大題共 4小題，每小題 5 分，共 20 分，把答案填在題中橫線上．（注意：在試題卷上作答無效） 13．（ 5 分）若 x， y 滿足約束條件則 z=3x﹣ y 的最小值為 ． 14．（ 5 分）當(dāng)函數(shù) y=sinx﹣ cosx（ 0≤ x＜ 2π）取得最大值時， x= ． 15．（ 5 分）若的展開式中第 3項(xiàng)與第 7 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則該展開式 中的系數(shù)為 ． 16．（ 5分）三棱柱 ABC﹣ A1B1C1 中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，∠ BAA1=∠CAA1=60176。在 Rt△ BEA 中，設(shè) AE=a，則 AB=2a， BE=a，在 Rt△ AEF中，則 EF=a， AF=a，在 Rt△ BEF 中，則 BF=2a，∴異面直線 AB 與 CD所成的角即是∠ BAF，∴ cos∠ BAF===．故選： B．【點(diǎn)評】本題主要考查了二面角和異面直線所成的角，關(guān)鍵是構(gòu)造二面角的平面角和異面直線所成的角，考查了學(xué)生的空間想象能力和作圖能力，屬于難題． 12．（ 5 分）函數(shù) y=f（ x）的圖象與函數(shù) y=g（ x）的圖象關(guān)于直線 x+y=0對稱，則 y=f（ x）的反函數(shù)是（） A． y=g（ x） B． y=g（﹣ x）C． y=﹣ g（ x） D． y=﹣ g（﹣ x）【考點(diǎn)】 4R：反函數(shù)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】設(shè) P（ x， y）為 y=f（ x）的反函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，則 P 關(guān)于 y=x 的對稱點(diǎn) P′（ y， x）一點(diǎn)在y=f（ x）的圖象上， P′（ y， x）關(guān)于直線 x+y=0 的對稱點(diǎn) P″（﹣ x，﹣ y）在 y=g（ x）圖象上，代入解析式變形可得．【解答】解：設(shè) P（ x，y）為 y=f（ x）的反函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，則 P 關(guān)于 y=x的對稱點(diǎn) P′（ y， x）一點(diǎn)在 y=f（ x）的圖象上，又∵函數(shù) y=f（ x）的圖象與函數(shù)y=g（ x）的圖象關(guān)于直線 x+y=0 對稱，∴ P′（ y， x）關(guān)于直線 x+y=0的對稱點(diǎn) P″（﹣ x，﹣ y）在 y=g（ x）圖象上，∴必有﹣ y=g（﹣ x），即 y=﹣ g（﹣ x）∴ y=f（ x）的反函數(shù)為： y=﹣ g（﹣ x）故選： D．【點(diǎn)評】本題考查反函數(shù)的性質(zhì)和對稱性，屬中檔題． 二、填空題 (本大題共 4 小題，每小題 5 分 )13．（ 5 分）的展開式中 x2y2 的系數(shù)為 70 ．（用數(shù)字作答）【考點(diǎn)】 DA：二項(xiàng)式定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 5P：二 項(xiàng)式定理．【分析】先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令x、 y的冪指數(shù)都等于 2，求得 r的值，即可求得展開式中 x2y2的系數(shù)．【解答】解：的展開式的通項(xiàng)公式為 Tr+1=?（﹣ 1） r?? =?（﹣ 1） r?，令 8﹣ =﹣ 4=2，求得 r=4，故展開式中 x2y2的系數(shù)為 =70，故答案為： 70．【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題． 14．（ 5分）設(shè) x、 y 滿足約束條件，則 z=x+4y 的最大值為 5 ．【考點(diǎn)】 7C：簡單線性規(guī)劃．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 31：數(shù)形結(jié)合．【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，由圖得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得 C（ 1， 1）．化目標(biāo)函數(shù) z=x+4y為直線方程的斜截式，得．由圖可知，當(dāng)直線過 C 點(diǎn)時，直線在 y 軸上的截距最大， z 最大．此時 zmax=1+4 1=5．故答案為： 5．【點(diǎn)評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題． 15．（ 5 分）直線 l1 和 l2 是圓 x2+y2=2 的兩條切線，若 l1 與l2 的交點(diǎn)為（ 1， 3） ，則 l1 與 l2 的夾角的正切值等于．【考點(diǎn)】 IV：兩直線的夾角與到角問題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 5B：直線與圓．【分析】設(shè) l1 與 l2 的夾角為 2θ，由于 l1 與 l2 的交點(diǎn) A（ 1， 3）在圓的外部，由直角三角形中的邊角關(guān)系求得 sinθ =的值，可得 cosθ、 tanθ的值，再根據(jù) tan2θ =，計(jì)算求得結(jié)果．【解答】解：設(shè) l1 與 l2 的夾角為 2θ，由于 l1 與 l2 的交點(diǎn) A（