第4講等價關(guān)系與集合的分類(參考版)
2024-09-09 15:58本頁面
【正文】 作業(yè)： 30P ①，③。 設(shè) BA?:? 為一個映射，由 ? 可定義 A 的一個等價關(guān)系 ～ ? : a ～ ? )()( bab ?? ?? ? 由～ ? 確定了一個商集 A ╱～ ? }]{[ Aaa ?? ，其中： xAxxa 且?? {][ ～ ? ))((})()({} 1 aaxAxxa ???? ????? 且 于是 可以定義 A ╱～ ? 到 B 的映射： :?? A ╱～ ? ? B )(][ aa ?? 可以驗算出： ?? 是單射，習(xí)慣上稱 ?? 為 ? 的導(dǎo)出映射。 思考題 ： For set },{ dcbaA? ,give two partitions of A and the corresponding relations Solution: Two partitions of A are }},{},{{1 dcba?? and corresponding equivalence relations are ～ 1:a ～ 1 ba, ～ 1 ab, ～ 1 bb, ～ 1a ， c ～ 1 dc, ～ 1 cd, ～ 1 dd, ～ 1c ～ 2： a ～ 2 ba, ～ 2b c ～ 2 dc, ～ 2d ， c ～ 2 dd, ～ 2c Which of the following is an equivalence relation on the indicated set, if it is, give corresponding partition. (1) On Z ,m～ n if nm? . (2) On Z ,m～ n if mn is a multiple of 4. (3) On R, let a～ b if ab Q? (4) On Q, ,m～ n if mn Z? (5) On RR? , let ),( ba ～ ),( dc if 2222 dcba ??? 三、補充知識 —— 映射與分類、映射與等價關(guān)系之間的聯(lián)系 設(shè)～是集合 A 上的一個等價關(guān)系 ?得到商集 A ╱～ }]{[ Aaa ?? ， 作： ?A:? A ╱～， ][aa? ，顯然 ? 是 A 到 A ╱～的一個滿射，稱 ? 為自然映射。 在 4Z 中，屬于 ]2[ 的整數(shù)是： 16， 6， 20， 30。 思考題 ：你還能寫出例 1 中的另一個全體代表團嗎？ （ 3）一種重要的等價關(guān)系 —— 同余關(guān)系 定義 任取 Zn??0 ，可以在 Z 中確定一種等價關(guān)系 bana R bZbaR ???? ,: 則稱 R 為模 n 的同余關(guān)系，并將 aRb 記為 )()( nbanba 模同余? 由同余關(guān)系確定的分類中的等價關(guān)系為模 n 的剩余類。 在本講的例 1中 , Z??1 ╱～ },{ 3210 AAAA? 而顯然 ]1[],0[ 10 ?? AA ，]3[],2[ 32 ?? AA 。而每 類的一個代表組成的集合叫做 A 的一個全體代表團。 定義 3：設(shè) ? 是 A 上等價關(guān)系 ～確定的分類，習(xí)慣上記 ?? A ╱～，并稱 A ╱～為 A 的關(guān)于等價關(guān)
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