【導(dǎo)讀】集合的性質(zhì)去推測另一個集合可能有的性質(zhì)。除了這種認(rèn)識事物的方。這種以局部到整體地認(rèn)識事物的方法，在高等代數(shù)中。已屢見不鮮，而在近世代數(shù)中更是不可缺少的，甚至是無處不有的。的一般原則——等價關(guān)系。在聯(lián)系和互相轉(zhuǎn)化的過程?！凹戏诸悺钡亩x。上述兩個概念的相互轉(zhuǎn)化問題。一個重要的實(shí)例——模m的剩余類集合。本講的教法和教具：本講中仍采用投影儀輔助教學(xué)。本講思考題及作業(yè)：思考題都穿插安排在教學(xué)內(nèi)容之中，作業(yè)置后。例1、設(shè)整數(shù)集},4,3,2,1,0,1,2,3,4,{???????iAi是整數(shù)集Z的一些子集，并具有以下特征：。m時,Z則被分解成偶數(shù)子集和奇數(shù)子集的并。jiRaaRMijij是R上一切二階矩陣組成的集合，的非空子集的并，而每個子集恰好是由秩相同的二階方陣組成的。通過以上三個例子，則可概括出集合分類的定義.余數(shù)也必然不同。種看法不僅具有普遍的意義，同時也更便于進(jìn)行教學(xué)的推理論證。何一個分類都是利用元素間的“某種關(guān)系”而得到的。babaRR，5R不能將Z分類。在同一類，但321)3,2(與?

　　

【正文】 ，哪兩個整數(shù)是模 4 同余的： 3 與 7， 11 與 2， 21 與 7，9 與 15。 在 4Z 中，屬于 ]2[ 的整數(shù)是： 16， 6， 20， 30。 在 4Z 中，哪兩個剩余類相等： [3]與 [9]； [12]與 [32]； [1]與[10]； [7]與 [31]。 思考題 ： For set },{ dcbaA? ,give two partitions of A and the corresponding relations Solution: Two partitions of A are }},{},{{1 dcba?? and corresponding equivalence relations are ～ 1:a ～ 1 ba, ～ 1 ab, ～ 1 bb, ～ 1a ， c ～ 1 dc, ～ 1 cd, ～ 1 dd, ～ 1c ～ 2： a ～ 2 ba, ～ 2b c ～ 2 dc, ～ 2d ， c ～ 2 dd, ～ 2c Which of the following is an equivalence relation on the indicated set, if it is, give corresponding partition. (1) On Z ,m～ n if nm? . (2) On Z ,m～ n if mn is a multiple of 4. (3) On R, let a～ b if ab Q? (4) On Q, ,m～ n if mn Z? (5) On RR? , let ),( ba ～ ),( dc if 2222 dcba ??? 三、補(bǔ)充知識 —— 映射與分類、映射與等價關(guān)系之間的聯(lián)系 設(shè)～是集合 A 上的一個等價關(guān)系 ?得到商集 A ╱～ }]{[ Aaa ?? ， 作： ?A:? A ╱～， ][aa? ，顯然 ? 是 A 到 A ╱～的一個滿射，稱 ? 為自然映射。 設(shè) }{ IiAAi ???? 是集合 A 的一個分類，作： ?A:? ? ， jAa? ，（如果 jAa? ），則 ? 是滿射，同時也稱 ? 為自然映射。 設(shè) BA?:? 為一個映射，由 ? 可定義 A 的一個等價關(guān)系 ～ ? : a ～ ? )()( bab ?? ?? ? 由～ ? 確定了一個商集 A ╱～ ? }]{[ Aaa ?? ，其中： xAxxa 且?? {][ ～ ? ))((})()({} 1 aaxAxxa ???? ????? 且 于是 可以定義 A ╱～ ? 到 B 的映射： :?? A ╱～ ? ? B )(][ aa ?? 可以驗(yàn)算出： ?? 是單射，習(xí)慣上稱 ?? 為 ? 的導(dǎo)出映射。 映射 ? ，導(dǎo)出映射 ?? 以及自然映射 ? 它們有如下重要關(guān)系 定理 3：設(shè) BA?:? 為一映射，那么存在唯一映射 :?? A ╱～ ? ? B ，使圖交換，即有 ??? ?? ， 其中 ? 為自然映射，并且 ? 是滿射時 ? ?? 是雙射。 作業(yè)： 30P ①，③。