第4講等價(jià)關(guān)系與集合的分類(已改無錯(cuò)字)
2022-10-18 15:58:58 本頁(yè)面
【正文】 b ，推出矛盾，所以 ??][][ ba ? 。 （ 3） ?Aa aA ??? ][： ??Aa aaaAa ?????? ][][。 AAaa 是}]{[ ????? 的一個(gè)分類。 注意 ： （ 1） a ～ ][][ bab ?? “ ?” a? ～ b ? ?ba?? ? ? ? ? 又～傳遞性由～～ ],[][,”“, babxbxaxax ???????? b? ～ ][][][ ababa ???? ， ][][ ba ?? “ ?” ababaa ????? ][][][ ～ b （ 2）若 ][][][][ baba ????? 因?yàn)樵O(shè) xaxbax 即][][][ ??? ? ～ bxa 即又 ][, ? ～ b ，由傳遞性推出 a ～ b再由（ 1）知 ][][ ba ? 。 由定理 2 可知： A 的等價(jià)關(guān)系 ～與 A 的分類是可以相互推導(dǎo)的，但仍需要注意以下幾個(gè)問題： （ 1） 若先有 A 的一個(gè)等價(jià)關(guān)系 ～ 1，由 ～ 1 確定的分類若為 1? 時(shí)，那么用定理 1 由確定的等價(jià)關(guān)系 ～ 2有 ～ 1=～ 2。 （ 2） 若先有 A 的一個(gè)分類 2? ，由 2? 確定的等價(jià)關(guān)系是 ～ 2，那么用定理 2，由 ～ 2確定的 A 的分類若為 3? 時(shí)，則 2? = 3? 。 定義 3：設(shè) ? 是 A 上等價(jià)關(guān)系 ～確定的分類，習(xí)慣上記 ?? A ╱～，并稱 A ╱～為 A 的關(guān)于等價(jià)關(guān)系 ～的商集。 因?yàn)?A ╱～ = }]{[ Aaa ?? ，那么每個(gè) ][a 叫做 A 的一個(gè)等價(jià)類，而 a叫做這個(gè)等價(jià)類的一個(gè)代表。而每 類的一個(gè)代表組成的集合叫做 A 的一個(gè)全體代表團(tuán)。 注 ：由于 ][ab?? ，那么 b ～ a ，這表明對(duì)等價(jià)類 ][a 來說， ][a 中任何元素 b 均可作為 ][a 的代表，即等價(jià)類與其代表元素的選取無關(guān)。 在本講的例 1中 , Z??1 ╱～ },{ 3210 AAAA? 而顯然 ]1[],0[ 10 ?? AA ，]3[],2[ 32 ?? AA 。但 ]4[]0[]0[4 ??? 以及 ?????? ]12[]4[]0[ ， 所以在例 1 中 Z ╱～ ]}3[],2[],1[],0{[? ，而 }3,2,1,0{ 是 Z 的關(guān)于～的一個(gè)全體代表團(tuán)。 思考題 ：你還能寫出例 1 中的另一個(gè)全體代表團(tuán)嗎？ （ 3）一種重要的等價(jià)關(guān)系 —— 同余關(guān)系 定義 任取 Zn??0 ，可以在 Z 中確定一種等價(jià)關(guān)系 bana R bZbaR ???? ,: 則稱 R 為模 n 的同余關(guān)系，并將 aRb 記為 )()( nbanba 模同余? 由同余關(guān)系確定的分類中的等價(jià)關(guān)系為模 n 的剩余類。 而由同余關(guān)系引導(dǎo)出來的商集 RZ 習(xí)慣上記為 nZ . 在本講的例 1 中，就是 4?n 的同余關(guān)系，由此得到的分類為 ]}3[],2[],1[],0{[4 ?Z ，其中 },11,7,3,1,5{]3[},10,6,2,2,6,{]2[},9,5,1,3,7,{]1[},8,4,0,4,8,{]0[???????????????????? 注 ：同余關(guān)系尤其是剩余類 nZ 將是我們后續(xù)課程中常常出現(xiàn)的內(nèi)容，要求熟練掌握 . 課堂訓(xùn)練 ： 在 4Z 中
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