第4講等價關(guān)系與集合的分類-wenkub.com
2024-09-01 15:58 本頁面
【正文】 映射 ? ，導(dǎo)出映射 ?? 以及自然映射 ? 它們有如下重要關(guān)系 定理 3：設(shè) BA?:? 為一映射，那么存在唯一映射 :?? A ╱～ ? ? B ，使圖交換，即有 ??? ?? ， 其中 ? 為自然映射，并且 ? 是滿射時 ? ?? 是雙射。 在 4Z 中，哪兩個剩余類相等： [3]與 [9]； [12]與 [32]； [1]與[10]； [7]與 [31]。但 ]4[]0[]0[4 ??? 以及 ?????? ]12[]4[]0[ ， 所以在例 1 中 Z ╱～ ]}3[],2[],1[],0{[? ，而 }3,2,1,0{ 是 Z 的關(guān)于～的一個全體代表團(tuán)。 因為 A ╱～ = }]{[ Aaa ?? ，那么每個 ][a 叫做 A 的一個等價類，而 a叫做這個等價類的一個代表。 注意 ： （ 1） a ～ ][][ bab ?? “ ?” a? ～ b ? ?ba?? ? ? ? ? 又～傳遞性由～～ ],[][,”“, babxbxaxax ???????? b? ～ ][][][ ababa ???? ， ][][ ba ?? “ ?” ababaa ????? ][][][ ～ b （ 2）若 ][][][][ baba ????? 因為設(shè) xaxbax 即][][][ ??? ? ～ bxa 即又 ][, ? ～ b ，由傳遞性推出 a ～ b再由（ 1）知 ][][ ba ? 。 定理 集合 A 的任一個等價關(guān)系～都可確定 A 的一個分類。 下面討論等價關(guān)系與集合的分類之間內(nèi)在聯(lián)系的重要事實(shí) . 定理 1：集合 A 的每個分類都決定了 A 的一個等價關(guān)系。 那么關(guān)系～叫做 A 上的等價關(guān)系。因 621)6,2( 與?? 在同一類，361)3,6( 與?? 在同一類，但 321)3,2( 與?? 不在同一類，這是不可能的。 例 在 Z 中，定義關(guān)系bababaR?4,),(ba4,),(:1若錯若對?? （仔細(xì)觀察可知： 1R 就是例 1 中的“除以 4 同余”的關(guān)系） 例 在 )(2 RM 中，定義baba babaR 秩若秩錯 秩若秩對 ??,),( ,),(:2 ?? （實(shí)際上， 2R 就是例 2 中的“秩相等”的關(guān)系） 例 在 Z 中，定義baba babaR ??若錯 若對 ,),( ,),(:3 ?? babababaR若錯若對,),(,),(:4?? ))1b),((,),( ))1),((,),(:5 ? ?ababa bababaR 即互素與若錯 即不互素與若對?? 上例中， 3R 就是通常的“大于”關(guān)系； 4R 就是整除關(guān)系； 5R 就是不互素關(guān)系。 誠然，“同類元素都具有同某種關(guān)系，不同類的元素一定沒有這種關(guān)系”這種看法所指的“某種關(guān)系”完全由具體的集合、具體的分類所內(nèi)定的，決不會千篇一律地都是“差被 4 整除”這種關(guān)系，比如例 2。譬如例 1 中， Z 的分類 },{ 32101 AAAA?? 使在同一類里的整數(shù)除以 4 之后余數(shù)都相同，而分在不同類里的整數(shù)除以 4 后，得到的余數(shù)也必然不同。 通過以上三個例子，則可概括出集合分類的定義 .
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