【正文】 （ 2）求點(diǎn)到直線的距離和點(diǎn)到平面的距離，一般轉(zhuǎn)化為求直角三角形斜邊上的高；或利用三棱錐的底面與頂點(diǎn)的輪換性轉(zhuǎn)化為三棱錐的高，即用體積法。 ④求點(diǎn)到平面的距離常用方法是直接法與間接法，利用直接法求距離需找到點(diǎn)在面內(nèi)的射影，此時(shí)?？紤]面面垂直的性質(zhì)定理與幾何圖形的特殊性質(zhì) .而間接法中常用的是等積法及轉(zhuǎn)移法 . ⑤求角與距離的關(guān)鍵是將空間的角與距離靈活轉(zhuǎn)化為平面上的角與距離，然后將所求量置于一個(gè)三角形中，通過解三角形最終求得所需的角與距離 求距離的關(guān)鍵是化歸。. 圖 1 圖 2 圖 3 2．空間的距離問題，主要是求空間兩點(diǎn)之間、點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、兩條異面直線之間（限于給出公垂線段的）、平面和它的平行直線、以及兩個(gè)平行平面之間的距離． 求距離的一般方法和步驟是：一作 —— 作出表示距離的線段；二證 —— 證明它就是所要求的距離；三算 —— 計(jì)算其值．此外，我們 還常用體積法求點(diǎn)到平面的距離． 求空間中線面的夾角或距離需注意以下幾點(diǎn)： ①注意根據(jù)定義找出或作出所求的成角或距離，一般情況下，力求明確所求角或距離的位置 . ②作線面角的方法除平移外，補(bǔ)形也是常用的方法之一；求線面角的關(guān)鍵是尋找兩“足”（斜足與垂足），而垂足的尋找通常用到面面垂直的性質(zhì)定理 . ③求二面角高考中每年必考，復(fù)習(xí)時(shí)必須高度重視 .二面角的平角的常用作法有三種： 根據(jù)定義或圖形特征作；根據(jù)三垂線定理（或其逆定理）作，難點(diǎn)在于找到面的垂線 .解決辦法，先找面面垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理即可找到面的垂線； 作棱的垂面。間接法主要是投影法：即在一個(gè)平面α上的圖形面積為 S，它在另一個(gè)平面β上的投影面積為 S′，這兩個(gè)平面的夾角為θ，則 S′ =Scosθ。所謂直接法求二面角，就是作出二面角的平面角來解。 （ 2）求直線與平面所成的角，一般先確定直線與平面的交點(diǎn)（斜足），然后在直線上取一點(diǎn)（除斜足外）作平面的垂線，再連接垂足和斜足（即得直接在平面內(nèi)的射影），最后解由垂線、斜線、射影所組成的直角三角形，求出直線與平面所成的角。方法一是在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點(diǎn)”，作另一條直線的平行線；或過空間任一點(diǎn)分別作兩異面直線的平行線，這樣就作出了兩異面直線所成的角θ，構(gòu)造一個(gè)含θ的三角形，解三角形即可。 五．思維總結(jié) 空間的角和距離是空間圖形中最基本的數(shù)量關(guān)系，空間的角主要研究射影以及與射影有關(guān)的定理、空間兩直線所成的角、直線和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解這類問題的基本思路是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題去解決． 1． 空間 的 角，是對(duì)由點(diǎn)、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置關(guān)系進(jìn)行定量分析的一個(gè)重要概念， 由 它們的定義， 可得其 取值范圍 ，如兩異面直線所成的角 θ∈ (0，2?)，直線與平面所成的角 θ∈ 0,2???????，二面角的大小，可用它們的平面角來度量，其平面角 θ∈ (0，π )。如求二 面角，只有根據(jù)推理過程找到二面角后，進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算，才能求出。 點(diǎn)評(píng)： 求角和距離的基本步驟是作、證、算。 在 Rt PFH? 中， 1 17ta n2DDPFPFH F H F H? ? ? ?，故二面角 P AE D??的正切值為217 。 從而 PHF? 為二面角 P AE D??的平面角。 （Ⅲ）求三棱錐 P DEN? 的體積。 題型 8：面面角 例 8．（ 20xx 四川理， 19） 如圖，在長(zhǎng)方體1 1 1 1ABCD A B C D? 中， ,EP分別是 11,BC AD 的中點(diǎn)， ,MN 分別是 1,AECD 的中點(diǎn)，1 ,2A D A A a A B a? ? ?。在具體的問題中，證明和計(jì)算經(jīng)常依附于某種特殊的輔助平面即基面。 （ 3）解：由于線段 B1D1 被平面 A1BC1 所平分，則 B D1 到平面 A1BC1 的距離相等，則由（ 2）知點(diǎn) B1 到 平面 A1BC1 的距離等于616112。 d= )21(31 111 DCAD?178。易求 A1C1=5， A1B=2 5 ， BC1= 13 ，則 cosA1BC1=652，則 sinA1BC1=6561，則 S111 CBA?= 61 。 （ 1）證明 ：由于 BC1∥ AD1，則 BC1∥平面 ACD1， 同理， A1B∥平面 ACD1，則平面 A1BC1∥平面 ACD1。能力方面主要考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力。 在 Rt BGN? 中， 10s in5BNB N G BG? ? ?。 因?yàn)?AD? 平面 PAB ，所以 AD PB? ， 從而 PB? 平面 ADMN . 因?yàn)?DM? 平面 ADMN ，所以 PB DM? . （ II）取 AD 的中點(diǎn) G ，連結(jié) BG 、 NG ，則//BG CD ， 所以 BG 與平面 ADMN 所成的角和 CD 與平面ADMN 所成的角相等。 (Ⅱ )求 CD 與平面 ADMN 所成的角的正弦值。 ,PA⊥底面 ABCD，且 PA＝ AD=AB=2BC， M、 N 分別為 PC、 PB的中點(diǎn)。 cos∠ OAB，∴ cos∠A1AO=3330c o s 60c o sO A Bc o s ABAc o s 001 ???? ∴ sin∠ A1AO=36，∴ A1O=A1Asin∠ A1AO= 637 ∴ )cm(228637443OASV 321A B C ?????? ? （ 4）把線 A1A 到側(cè)面 BB1C1C 的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn) A 或 A1 到平面 BB1C1C 的距離 為了找到 A1 在側(cè)面 BB1C1C 上的射影，首先要找到側(cè)面 BB1C1C 的垂面 設(shè)平面 AA1M 交側(cè)面 BB1C1C 于 MM1 ∵ BC⊥ AM， BC⊥ A1 A ∴ BC⊥平面 AA1M1M ∴ 平面 AA1M1M⊥側(cè)面 BCC1B1 在平行四邊形 AA1M1M 中 過 A1 作 A1H⊥ M1M， H 為垂足 則 A1H⊥側(cè)面 BB1C1C ∴ 線段 A1H 長(zhǎng)度就是 A1A 到側(cè)面 BB1C1C 的距離 ∴ )cm(223 632AMAs i nMAHMAs i nMAHA 11111111 ??????? 點(diǎn)評(píng)：線面距離往往轉(zhuǎn)化成點(diǎn)面距離來處理，最后可能轉(zhuǎn)化為空間幾何體的體積求得，體積法不用得到垂線。 又 AM 為 A1A 在平面 ABC 上的射影，∴ A1A⊥ BC （ 2） 3142 374ABAs i nAAABSS 11BBAACCAA 1111 ???????? ∵ B1B∥ A1A，∴ B1B⊥ BC，即側(cè)面 BB1C1C 為矩形。 ∵ ∠ A1AB=∠ A1AC，∴ O 在∠ BAC 的平行線 AM 上。 （ 1）求證： AA1⊥ BC； （ 2）求斜三棱柱 ABC— A1B1C1 的全面積； （ 3）求斜三棱柱 ABC— A1B1C1 的體積； （ 4）求 AA1 到側(cè)面 BB1C1C 的距離。 點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點(diǎn)到平面的距離等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力。 AO178。 在△ OME 中， ,121,2221 ???? DCOEABEM OM? 是直角△ AOC 斜邊 AC 上的中線，∴ ,121 ?? ACOM ∴ ,42cos ??OEA ∴異面直線 AB 與 CD 所成角的大小為 .42arccos （Ⅲ）解：設(shè)點(diǎn) E 到平面 ACD 的距離為 h. 第 20 頁 共 25 頁 CDEAA CDA VV ?? ?? , ∴ h31178。 （Ⅱ）解：取 AC 的中點(diǎn) M,連結(jié) OM、 ME、 OE，由 E 為 BC 的中點(diǎn)知 ME∥ AB,OE∥ DC。,即 AO⊥ OC。 在△ AOC 中，由已知可得 AO=1,CO= 3 。 ∵ BO=DO,AB=AD, ∴ AO⊥ BD。 （Ⅰ）求證： AO⊥平面 BCD； （Ⅱ）求異面直線 AB 與 CD 所成角的大??； （Ⅲ）求點(diǎn) E 到平面的距離。 點(diǎn)評(píng)：該題較典型的反映了解決空間幾何問題的解題策略：化空間問題為平面問題來處理。 sinMBC=21 BC178。 ME 圖 第 19 頁 共 25 頁 S△ MBC= 21 BC178。 MB178。 題型 3：點(diǎn)線距離 例 3．（ 20xx 京皖春， 15）正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)是 2， E、 F分別是 AB 和 CD 的中點(diǎn)，將正方形沿 EF 折成直二面角（如圖所示） .M 為矩形 AEFD 內(nèi)一點(diǎn)，如果∠ MBE=∠ MBC， MB 和平面 BCF 所成角的正切值為 21 ，那么點(diǎn) M 到直線 EF 的距離為 。 SABCD 圖 2 在 ?SCD 中，由余弦定理，得： c o s ? ? ? ?? ? ?S C D SC DC SDSC DC2 2 22 1717。又四邊形 ABCD 是平行四邊形。 在 RtSAC? 中， c o s ? ? ?S C A ACSC 12，在 RtACB? 中，c o s ? ? ?C A B ACAB 217。 由題意，知 SA? 平面 ABC， ACBC? ，由三垂線定理，知 SCBC? ，所以 BC? 平面 SAC。 所成的角為 ?2 ，則異面直線 l 與 AB 所成的角 ? 滿足cos cos cos? ? ?? 1 2。 題型 2：線線夾角 例 2．如圖 1，在三棱錐 S— ABC 中， ? ? ? ? ? ? ?SAB SAC AC B 90， AC2 ，BC? 13 ， SB? 29 ，求異面直線 SC 與AB 所成角的 余弦值。，所以 O O a1 2 33?，所 以異面直線 BD 與 BC1 之間的距離為 33a。 A 39。 O 2 B 39。 D 39。 O 39。 B C A D B 39。C 的距離，連 BD39。C39。 故 DA39。D∥面 AB39。C，所以面 A39。∥ AC， A39。C， 又因?yàn)?A39。C39。得到分別包含 DA39。C、 AB39。、 DC39。 解法 2：如圖 2 連接 A39。 39。 178。 在 Rt△ OO39。 因此 OE 為直線 DA39。C39。 又 O39。C39