直線與圓的方程典型例題(參考版)
2025-03-28 06:29本頁面
【正文】 只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫卷。歲月是有情的，假如你奉獻(xiàn)給她的是一些色彩，它奉獻(xiàn)給你的也是一些色彩。努力過后，才知道許多事情，堅持堅持，就過來了。有時候覺得自己像個神經(jīng)病。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時間，總會看清一些事。練習(xí)1：若圓與圓相切，則實數(shù)的取值集合是 .解：∵圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，且兩圓相切，∴或，∴或，解得或，或或，∴實數(shù)的取值集合是.2：求與圓外切于點，且半徑為的圓的方程.解：設(shè)所求圓的圓心為，則所求圓的方程為.∵兩圓外切于點，∴，∴，∴，∴所求圓的方程為.類型六：圓中的對稱問題例1圓關(guān)于直線對稱的圓的方程是 GOBNMyAx圖3CA’例17 自點發(fā)出的光線射到軸上，被軸反射，反射光線所在的直線與圓相切（1）求光線和反射光線所在的直線方程．（2）光線自到切點所經(jīng)過的路程．分析、略解：觀察動畫演示，分析思路．根據(jù)對稱關(guān)系，首先求出點的對稱點的坐標(biāo)為，其次設(shè)過的圓的切線方程為根據(jù)，即求出圓的切線的斜率為或進(jìn)一步求出反射光線所在的直線的方程為或最后根據(jù)入射光與反射光關(guān)于軸對稱，求出入射光所在直線方程為或光路的距離為，可由勾股定理求得．說明：本題亦可把圓對稱到軸下方，再求解．類型七：圓中的最值問題例18：圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是 解：∵圓的圓心為（2，2），半徑，∴圓心到直線的距離，∴直線與圓相離，∴圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是.例19 (1)已知圓，為圓上的動點，求的最大、最小值．(2)已知圓，為圓上任一點．求的最大、最小值，求的最大、最小值．分析：(1)、(2)兩小題都涉及到圓上點的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決．解：(1)(法1)由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．可設(shè)圓的參數(shù)方程為（是參數(shù)）．則（其中）．所以，．(法2)圓上點到原點距離的最大值等于圓心到原點的距離加上半徑1，圓上點到原點距離的最小值等于圓心到原點的距離減去半徑1．所以．．所以．．(2) (法1)由得圓的參數(shù)方程：是參數(shù)．則．令，得，．所以，．即的最大值為，最小值為．此時．所以的最大值為，最小值為．(法2)設(shè)，則．由于是圓上點，當(dāng)直線與圓有交點時，如圖所示，兩條切線的斜率分別是最大、最小值．由，得．所以的最大值為，最小值為．令，同理兩條切線在軸上的截距分別是最大、最小值．由，得．所以的最大值為，最小值為．例20：已知，點在圓上運動，則的最小值是 .解：設(shè)，則，∴的最小值為.練習(xí)：1：已知點在圓上運動.（1）求的最大值與最小值；（2）求的最大值與最小值.解：（1）設(shè)，則表示點與點（2，1），解得，∴的最大值為，最小值為.（2）設(shè)，則表示直線在軸上的截距. 當(dāng)該直線與圓相切時，解得，∴的最大值為，最小值為.2 設(shè)點是圓是任一點，求的取值范圍．分析一：利用圓上任一點的參數(shù)坐標(biāo)代替、轉(zhuǎn)化為三角問題來解決．解法一：設(shè)圓上任一點則有，∴，∴∴．即（）∴．又∵∴解之得：．分析二：的幾何意義是過圓上一動點和定點的連線的斜率，利用此直線與圓有公共點，可確定出的取值范圍．解法二：由得：，此直線與圓有公共點，故點到直線的距離．∴解得：．另外，直線與圓的公共點還可以這樣來處理：由消去后得：，此方程有實根，故，解之得：．說明：這里將圓上的點用它的參數(shù)式表示出來，從而將求變量的范圍問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的有關(guān)知識來求解．或者
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