直線與圓的方程及應(yīng)用(參考版)
2024-08-26 20:49本頁(yè)面
【正文】 BD＝ 12 2 5 2 10＝ 10 2. 鳳凰 出版?zhèn)髅郊瘓F(tuán) 版權(quán)所有 網(wǎng)站地址：南京市湖南路 1 號(hào) B 座 808 室 聯(lián)系電話： 02583657815 Mail： 3. 1 或 177 4. ??? ???－ 33 ， 33 解析：因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn) (0,3)且該點(diǎn)在圓上，設(shè)此點(diǎn)為 M，圓心 (2,3)到此直線距離為 d，所以由 4－ d2≥ ( 3)2 ≤ 1，又 d＝ |2k－ 3＋ 3|1＋ k2 ≤ 1， ∴ k2≤ 13， ∴ － 33≤ k≤ 33 . 5. 點(diǎn)撥：本小題主要考查直線、圓、拋物線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想． 解： (解法 1)(1) 依題意，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (0， m)， 因?yàn)?MP⊥ l，所以 0－ m2－ 0 1＝－ 1， 解得 m＝ 2，即點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (0,2)， 從而圓的半徑 r＝ |MP|＝ ?2－ 0?2＋ ?0－ 2?2＝ 2 2， 故所求 圓的方程為 (x－ 2)2＋ y2＝ 8. (2) 因?yàn)橹本€ l的方程為 y＝ x＋ m 所以直線 l′ 的方程為 y＝－ x－ m. 由????? y＝－ x－ m，x2＝ 4y， 得 x2＋ 4x＋ 4m＝ 0， Δ＝ 42－ 4 4m＝ 16(1－ m)． ① 當(dāng) m＝ 1，即 Δ＝ 0 時(shí)，直線 l′ 與拋物線 C 相切． ② 當(dāng) m≠ 1，即 Δ≠ 0 時(shí)，直線 l′ 與拋物線 C 不相切． 綜上，當(dāng) m＝ 1時(shí)，直線 l′ 與拋物線 C 相切；當(dāng) m≠ 1時(shí)，直線 l′ 與拋物線 C 不相切． (解法 2)(1) 設(shè)所求圓的半徑為 r，則圓的方程可設(shè)為 (x－ 2)2＋ y2＝ r2， 依題意，所求圓與直線 l： x－ y＋ m＝ 0 相切于點(diǎn) P(0， m)， 則????? 4＋ m2＝ r2，|2－ 0＋ m|2 ＝ r，解得 ??? m＝ 2，r＝ 2 2. 所以所求圓的方程為 (x－ 2)2＋ y2＝ 8. (2) 同解法 1. 6. 點(diǎn)撥： (1)動(dòng)點(diǎn) M 通過(guò)點(diǎn) P 與已知圓相聯(lián)系，所以把點(diǎn) P 的坐標(biāo)用點(diǎn) M 的坐標(biāo)表示，然后代入已知圓的方程即可； (2)直線方程 和橢圓方程組成方程組，可以求解，也可以利用根與系數(shù)關(guān)系；結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算． 解： (1) 設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)是 (x， y)， P 的坐標(biāo)是 (xp， xp)， ∵ 點(diǎn) D 是 P 在 x軸上投影， M 為 PD 上一點(diǎn)，且 |MD|＝ 45|PD|， 鳳凰 出版?zhèn)髅郊瘓F(tuán) 版權(quán)所有 網(wǎng)站地址：南京市湖南路 1 號(hào) B 座 808 室 聯(lián)系電話： 02583657815 Mail： ∴ xp＝ x，且 yp＝ 54y， ∵ P 在圓 x2＋ y2＝ 25 上， ∴ x2＋ ?? ??54y 2＝ 25，整理得 x225＋y216＝ 1， 即 C 的方程是 x225＋y216＝ 1. (2) 過(guò)點(diǎn) (3,0)且斜率為 45的直線方程是 y＝ 45(x－ 3)，設(shè)此直線與 C 的交點(diǎn)為 A(x1， y1)，B(x2， y2)， 將直線方程 y＝ 45(x－ 3)代入 C 的方程 x225＋y216＝ 1 得：x225＋?x－ 3?225 ＝ 1，化簡(jiǎn)得 x2－ 3x－ 8＝ 0， ∴ x1＝ 3－ 412 ， x2＝ 3＋ 412 ， ∴ |AB|＝ ?x1－ x2?2＋ ?y1－ y2?2＝ ?? ??1＋ 1625 ?x1－ x2?2＝ 4125 41＝ 415 ，即所截線段的長(zhǎng)度是 415 . 。 ∴ 圓心 D 到直線 AB 的距離是 52 . 當(dāng) P 的坐標(biāo)為 (－ 1,2)時(shí)， kl＝ 12，設(shè)直線 l的方程是 x－ 2y＋ c＝ 0， d＝ |c|5＝ 52 ， ∴ c＝ 177。AN→ ＝－ 5. 變式訓(xùn)練 已知直線 m 的方程為 x＋ y－ 1＝ 0， ⊙ C 的方程為 x2－ 2x＋ y2－ 2y－ 3＝ 0，⊙ C 關(guān)于直線 m的對(duì)稱的 ⊙ D 與直線 l相交于 A、 B 兩點(diǎn)，若在 ⊙ D上存在點(diǎn) P 使得 OP→ ＝ OA→＋ OB→ ＝ λa，又知 a＝ (－ 1,2)． (1) 求 ⊙ D 的方程； (2) 求點(diǎn) P 的坐標(biāo)； (3)求直線 l的方程． 解： (1) ⊙ C 方程為 (x－ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 5，設(shè) D(a， b)， 則????? a＋ 12 ＋ b＋ 12 － 1＝ 0，b－ 1a－ 1＝ 1， ∴ a＝ 0， b＝ 0， ∴ ⊙ D 方程為 x2＋ y2＝ 5. (2) 由題意可知 P(－ λ， 2λ)， ∵ P 在圓 D 上， ∴ λ2＋ 4λ2＝ 5， ∴ λ＝ 177。AN→ ＝－ 5. 綜上，可知 AM→ AN→ ＝－ 5. ② 當(dāng) l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 l的方程為 y＝ k(x＋ 1)， 則由????? y＝ k?x＋ 1?，x＋ 3y＋ 6＝ 0， 得 N??????－ 3k＋ 61＋ 3k，－ 5k1＋ 3k ，則 AN→ ＝????－ 5
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