概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)-wenkub.com
2024-08-12 08:41 本頁(yè)面
【正文】 兩個(gè)正態(tài)總體的檢驗(yàn)方法條件檢驗(yàn)假設(shè)統(tǒng)計(jì)量應(yīng)查表分位數(shù)拒絕域U檢驗(yàn)已知H0: =標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表(∞，λ) ∪(λ，+∞)H0: ≤(λ，+∞)H0: ≥(∞，λ)t檢驗(yàn)未知但知H0: =其中t分布表(∞，λ) ∪(λ，+∞)H0: ≤(λ，+∞)H0: ≥(∞，λ)F檢驗(yàn)未知和H0: F分布表(∞，λ1)∪(λ2，+∞)H0: (λ2，+∞)H0: (∞，λ1)兩個(gè)總體為ξ～N(μ1，σ12)，η～N(μ2，σ22)，樣本容量為n1和n2，α為檢驗(yàn)水平。在實(shí)際問題中，有時(shí)也會(huì)遇到單側(cè)檢測(cè)，即假設(shè)形式不帶等號(hào)，拒絕域位于一側(cè)的問題。注意：大多數(shù)書上介紹的F檢驗(yàn)法，均按上面的方法進(jìn)行。利用F分布進(jìn)行檢驗(yàn)，并不需要事先知道這兩個(gè)總體的期望值，這是該方法的優(yōu)越之處。例：設(shè)P{F（8，9）}＝，P{F（8，9）}＝，求分位數(shù)和。于是，對(duì)于給定的小概率，由自由度查F分布表（,附表5），可得分位數(shù) 即{}和{}是小概率事件。由樣本值計(jì)算出T的值，若，則拒絕原假設(shè)，反之則接受。例112 游離氨基酸含量～N（μ，）（服從均值μ未知的正態(tài)分布）（）三、兩個(gè)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)未知和，但知道＝，假設(shè)檢驗(yàn)H0：μ1=μ2設(shè)總體），），且兩者相互獨(dú)立。通過樣本值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量 ＝的值。因此，當(dāng)從樣本值算得t的值后，就可將與相比較，以檢驗(yàn)H0：μ＝μ0是否成立。（3）對(duì)于給定的顯著性水平α，由P（）＝， 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)表，得臨界值。α不同，也不同，從而有可能影響顯著性結(jié)論，原來(lái)在α＝，在α＝。若＝，則＝＝，這時(shí){}就是小概率事件。二、一個(gè)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn) 下面討論一個(gè)正態(tài)總體的兩個(gè)參數(shù)（即均值和方差）的假設(shè)檢驗(yàn)問題。反之，有可能根據(jù)一次試驗(yàn)的結(jié)果把原來(lái)不真的假設(shè)H0接受下來(lái)，這就犯了第二類錯(cuò)誤，稱為取偽錯(cuò)誤。在區(qū)間估計(jì)中，α稱為信度。如果現(xiàn)在居然抽到了黑球，那么自然就要否定H0，就是說(shuō)白球的個(gè)數(shù)不是99。因而自然要否定H0。下面討論如何根據(jù)樣本提供的信息來(lái)檢驗(yàn)假設(shè)H0是否成立。對(duì)未知參數(shù)提出的假設(shè)，通常用H0表示，稱為待檢假設(shè)。如果不是正態(tài)分布，但樣本容量n充分大時(shí)，近似服從正態(tài)分布～N(μ, /n)，u＝近似服從N(0,1)，故對(duì)于大樣（n≥30），不管總體是否正態(tài)，都可以對(duì)總體均值μ進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。下面對(duì)正態(tài)總體ξ的數(shù)學(xué)期望和方差作區(qū)間估計(jì)。因此，我們希望能夠根據(jù)樣本給出待估參數(shù)的一個(gè)范圍，使它能夠以較大的概率包含待估參數(shù)的真值，這就是對(duì)未知參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。換言之，容量大的樣本均值作為總體均值的估計(jì)量更為有效。設(shè)1和2是同一參數(shù)θ的無(wú)偏估計(jì)量，如果D(1) D(2)，就說(shuō)1比2更有效。 所以：用S2比用S*2估計(jì)總體方差更好些。例15 證明樣本均值是總體ξ數(shù)學(xué)期望E(ξ)的無(wú)偏估計(jì)量 證：E()＝E（）＝＝＝E(ξ) 即樣本均值的數(shù)學(xué)期望E()等于總體ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)，根據(jù)定義，所以是總體ξ數(shù)學(xué)期望E(ξ)的無(wú)偏估計(jì)量。我們總是希望統(tǒng)計(jì)量能夠盡可能準(zhǔn)確的表達(dá)參數(shù)的真值。因此，可以用樣本均值和樣本方差去估計(jì)總體均值和總體方差。這都需要我們?nèi)ヌ接懭绾胃鶕?jù)樣本的數(shù)據(jù)對(duì)總體ξ的未知參數(shù)作出科學(xué)的估計(jì)，這就是參數(shù)估計(jì)問題。定理：設(shè)（ξξ2……ξn）為來(lái)自正態(tài)總體N（μ1，）的一個(gè)樣本，(ηη2……ηn)為來(lái)自正態(tài)總體N（μ2，）的一個(gè)樣本，且這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，則統(tǒng)計(jì)量式中 該定理主要用于兩個(gè)正態(tài)總體的期望值有無(wú)差異的推斷，或估計(jì)它們的期望值之差的場(chǎng)合。設(shè)從總體中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為n的樣本，樣本值為xx2……xn，則稱為樣本均值，稱為樣本方差（S稱為樣本均方差或樣本標(biāo)準(zhǔn)差），稱R＝max（xx2……xn）－min（xx2……xn）為樣本極差。因?yàn)闃颖臼请S機(jī)變量，所以作為樣本的函數(shù)的統(tǒng)計(jì)量也是一個(gè)隨機(jī)變量。（3）簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本樣本通常只占總體的很小部分，因此，可以認(rèn)為每次抽取一個(gè)個(gè)體之后，總體的分布并不會(huì)發(fā)生改變。從總體中隨機(jī)地抽取n個(gè)個(gè)體（ξξ2……ξn），則（ξξ2……ξn）為總體的一個(gè)樣本。例：設(shè)ξ～N（μ，），求D（ξ）.解：∵E（ξ）＝μ ∴D（ξ）＝E{[ξE（ξ）]2}＝[xE（ξ）]2 p（x）dx＝＝即D（ξ）＝（4）方差的性質(zhì)（i）C=常數(shù)， D（C）＝0（ii）D（Cξ）＝C2 D（ξ） D（C+ξ）＝D（ξ）（iii）ξ和η相互獨(dú)立 D（η+ξ）＝D（η）+D（ξ）（iv）D（ξ）＝E（ξ2） [E（ξ）]2 統(tǒng)計(jì)量及其分布一．基本概念總體與樣本（1）總體與個(gè)體在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中，我們把研究對(duì)象的全體稱為總體，把構(gòu)成總體的每一個(gè)個(gè)別對(duì)象稱為個(gè)體。D（ξ）大，則ξ與E（ξ）的偏差也大，離散程度越大。為此，引進(jìn)方差的概念。 數(shù)學(xué)期望是算術(shù)平均值概念的拓廣，說(shuō)得明確些，就是概率意義下的平均，因而也稱數(shù)學(xué)期望為均值。數(shù)學(xué)期望的意思是通過大量觀察，可以期望這個(gè)隨機(jī)變量取這個(gè)值。1．?dāng)?shù)學(xué)期望（均值）（1）數(shù)學(xué)期望的概念例：設(shè)對(duì)某食品的水分進(jìn)行了n次測(cè)量，其中有m1次測(cè)得結(jié)果為x1，有m2次測(cè)得結(jié)果為x2，……，有mk次測(cè)得結(jié)果為xk，則測(cè)定結(jié)果的平均值為x1m1+x2m2+……+xkmk)=其中n=m1+m2+……+mk＝，mi為xi出現(xiàn)的頻數(shù)，為xi出現(xiàn)的頻率。若ξ～N(μ，2)，對(duì)任意αβ，有P（ξ≤β）＝四、隨機(jī)變量的數(shù)字特征（數(shù)學(xué)期望、方差）我們知道，隨機(jī)變量的分布函數(shù)（或分布密度、分布律）能很好地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征，但對(duì)于一個(gè)實(shí)際的問題要找出一個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)（或分布密度、分布律）不是一件很容易的事；另外，在實(shí)際上有時(shí)也并不要求出隨機(jī)變量的分布函數(shù)，而只要知道隨機(jī)變量的某些特征就可以了。μ和是正態(tài)分布的兩個(gè)重要參數(shù),決定著正態(tài)分布密度曲線的位置和形狀。為方便起見，常把隨機(jī)變量ξ服從參數(shù)為μ和2的正態(tài)分布簡(jiǎn)記為ξ～ N（μ，2）。自然界中許多隨機(jī)變量的分布均服從正態(tài)分布?！辺+∞)如圖13所示。因此，概率為零的事件未必不發(fā)生，而概率為1的事件未必發(fā)生！ （iv） 在p（x）的連續(xù)點(diǎn)處，有F′(x)＝p(x)。稱ξ的分布為連續(xù)型分布。（2） 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度離散型隨機(jī)變
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