高三數(shù)學空間幾何體的表面積與體積-wenkub.com
2024-11-05 08:45 本頁面
【正文】 ，其所在圓的半徑為 R，弦AB將扇形分成兩個部分，這兩部分各以 AO為軸旋轉一周，所得的旋轉體體積 V1和 V2之比為 ( ) A． 1∶1 B ． 1∶ C． 1∶2 D ． 1∶ 【 解析 】 Rt△ AOB繞 OA旋轉一周形成圓錐，其體積 V1＝ π R3，扇形繞 OA旋轉一周形成半球，其體積 V＝ π R3， ∴ V2＝ V－ V1＝ π R3－ π R3＝ π R3， ∴ V1∶ V2＝ 1∶ 1. 有一根長為 3π cm，底面半徑為 1 cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞 2圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長度為多少？ 【 思路點撥 】 把圓柱沿這條母線展開，將問題轉化為平面上兩點間的最短距離． 【 自主探究 】 把圓柱側面及纏繞其上的鐵絲展開，在平面上得到矩形 ABCD(如圖 )，由題意知 BC=3π cm， AB=4π cm，點 A與點 C分別是鐵絲的起、止位置，故線段 AC的長度即為鐵絲的最短長度． AC= =5π cm， 故鐵絲的最短長度為5π cm. 【 方法點評 】 ，除球以外，都是利用展開圖求得的．利用了空間問題平面化的思想．把一個平面圖形折疊成一個幾何體，再研究其性質，是考查空間想象能力的常用方法，所以幾何體的展開與折疊是高考的一個熱點． 2．幾何體的展開圖 (1)多面體的展開圖 ①直棱柱的側面展開圖是矩形． ②正棱錐的側面展開圖是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多邊形． ③正棱臺的側面展開圖是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多邊形． (2)旋轉體的展開圖 ①圓柱的側面展開圖是矩形，矩形的長是底面圓周長，寬是圓柱的母線長． ②圓錐的側面展開圖是扇形，扇形的半徑是圓錐的母線長，弧長是圓錐的底面周長． ③圓臺的側面展開圖是扇環(huán)，扇環(huán)的上、下弧長分別為圓臺的上、下底面周長． 3．把長、寬分別為 4π cm、 3π cm的矩形卷成圓柱，如何卷體積最大？ 【 解析 】 以 3π cm為高時，圓柱的體積為 π ( )2第五節(jié) 空間幾何體的表面積與體積 考 綱 點
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