【導(dǎo)讀】①直線l上的點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)滿足ax＋by＋c＝0；③直線l另一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)滿足ax＋by＋c＜0.直線定界，即若不等式不含等號(hào)，則應(yīng)把直線畫成虛線；若不等式含有等號(hào)，表示直線的另一側(cè)．特別地，當(dāng)C≠0時(shí)，常把原點(diǎn)作為測(cè)試點(diǎn)；當(dāng)C＝0時(shí)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域；考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形；故所求二元一次不等式組為???4．設(shè)變量x，y滿足|x|＋|y|≤1，則x＋2y的最大值和最小值分別為。1，x＝0時(shí)，x＋2y＝－2，排除D，故選B.瓦工需付工資每人40元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算2000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，直線2x＋y－10＝0恰過點(diǎn)A(5,0)，平面區(qū)域如圖所示，根據(jù)區(qū)域面積為4，得A(2,4)，代入直線方程，得k＝1.已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組

　　

【正文】 答案 B 3．若 a＞ 0， b＞ 0，且 a＋ 2b－ 2＝ 0，則 ab 的最大值為 ( )． B． 1 C． 2 D． 4 解析 ∵ a＞ 0， b＞ 0， a＋ 2b＝ 2， ∴ a＋ 2b＝ 2≥ 2 2ab，即 ab≤ 12. 答案 A 4． (2020重慶 )若函數(shù) f(x)＝ x＋ 1x－ 2(x＞ 2)在 x＝ a 處取最小值，則 a＝ ( )． A． 1＋ 2 B． 1＋ 3 C． 3 D． 4 解析 當(dāng) x＞ 2 時(shí)， x－ 2＞ 0， f(x)＝ (x－ 2)＋ 1x－ 2＋ 2≥ 2 ?x－ 2? 1x－ 2＋ 2＝ 4，當(dāng)且僅當(dāng) x－ 2＝ 1x－ 2(x＞ 2)，即 x＝ 3 時(shí)取等號(hào)，即當(dāng) f(x)取得最小值時(shí)， x＝ 3，即 a＝ 3. 答案 C 5．已知 t＞ 0，則函數(shù) y＝ t2－ 4t＋ 1t 的最小值為 ________． 解析 ∵ t＞ 0， ∴ y＝ t2－ 4t＋ 1t ＝ t＋1t－ 4≥ 2－ 4＝－ 2，當(dāng)且僅當(dāng) t＝ 1 時(shí)取等號(hào)． 答案 － 2 考向一 利用基本不等式求最值 【例 1】 ?(1)已知 x＞ 0， y＞ 0，且 2x＋ y＝ 1，則 1x＋ 1y的最小值為 ________； (2)當(dāng) x＞ 0 時(shí)，則 f(x)＝ 2xx2＋ 1的最大值為 ________． [審題視點(diǎn) ] 第 (1)問把 1x＋ 1y中的 “1”代換為 “ 2x＋ y” ，展開后利用基本不 等式； 第 (2)問把函數(shù)式中分子分母同除 “x”，再利用基本不等式． 解析 (1)∵ x＞ 0， y＞ 0，且 2x＋ y＝ 1， ∴ 1x＋ 1y＝ 2x＋ yx ＋ 2x＋ yy ＝ 3＋ yx＋ 2xy ≥ 3＋ 2 2. 當(dāng)且僅當(dāng) yx＝ 2xy 時(shí)，取等號(hào)． (2)∵ x＞ 0， ∴ f(x)＝ 2xx2＋ 1＝ 2x＋ 1x≤ 22＝ 1， 當(dāng)且僅當(dāng) x＝ 1x，即 x＝ 1 時(shí)取等號(hào)． 答案 (1)3＋ 2 2 (2)1 利用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，注意 “ 一正、二定、三相等，和定積最大，積定和最小 ” ． 常用的方法為：拆、湊、代換、平方． 【訓(xùn)練 1】 (1)已知 x＞ 1，則 f(x)＝ x＋ 1x－ 1的最小值為 ________． (2)已知 0＜ x＜ 25，則 y＝ 2x－ 5x2的最大 值為 ________． (3)若 x， y∈ (0，＋ ∞ )且 2x＋ 8y－ xy＝ 0，則 x＋ y 的最小值為 ________． 解析 (1)∵ x＞ 1， ∴ f(x)＝ (x－ 1)＋ 1x－ 1＋ 1≥ 2＋ 1＝ 3 當(dāng)且僅當(dāng) x＝ 2 時(shí)取等號(hào)． (2)y＝ 2x－ 5x2＝ x(2－ 5x)＝ 155 x(2－ 5x)， ∵ 0＜ x＜ 25， ∴ 5x＜ 2,2－ 5x＞ 0， ∴ 5x(2－ 5x)≤ ??? ???5x＋ 2－ 5x2 2＝ 1， ∴ y≤ 15，當(dāng)且僅當(dāng) 5x＝ 2－ 5x， 即 x＝ 15時(shí)， ymax＝ 15. (3)由 2x＋ 8y－ xy＝ 0，得 2x＋ 8y＝ xy， ∴ 2y＋ 8x＝ 1， ∴ x＋ y＝ (x＋ y)??? ???8x＋ 2y ＝ 10＋ 8yx ＋ 2xy ＝ 10＋ 2??? ???4yx ＋ xy ≥ 10＋ 2 2 4yx xy＝ 18， 當(dāng)且僅當(dāng) 4yx ＝ xy，即 x＝ 2y 時(shí)取等號(hào)， 又 2x＋ 8y－ xy＝ 0， ∴ x＝ 12， y＝ 6， ∴ 當(dāng) x＝ 12， y＝ 6 時(shí)， x＋ y 取最小值 18. 答案 (1)3 (2)15 (3)18 考向二 利用基本不等式證明不等式 【例 2】 ?已知 a＞ 0， b＞ 0， c＞ 0，求證： bca ＋ cab ＋ abc ≥ a＋ b＋ c. [審題視點(diǎn) ] 先局部運(yùn)用基本不等式，再利用不等式的性質(zhì)相加得到． 證明 ∵ a＞ 0， b＞ 0， c＞ 0， ∴ bca ＋ cab ≥ 2 bca cab＝ 2c； bca ＋abc ≥ 2 bca abc ＝ 2b； cab ＋abc ≥ 2 cab abc ＝ 2a. 以上三式相加得： 2??? ???bca ＋ cab ＋ abc ≥ 2(a＋ b＋ c)， 即 bca ＋ cab ＋ abc ≥ a＋ b＋ c. 利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化為需證問題． 【訓(xùn) 練 2】 已知 a＞ 0， b＞ 0， c＞ 0，且 a＋ b＋ c＝ 1. 求證： 1a＋ 1b＋ 1c≥ 9. 證明 ∵ a＞ 0， b＞ 0， c＞ 0，且 a＋ b＋ c＝ 1， ∴ 1a＋ 1b＋ 1c＝ a＋ b＋ ca ＋ a＋ b＋ cb ＋ a＋ b＋ cc ＝ 3＋ ba＋ ca＋ ab＋ cb＋ ac＋ bc ＝ 3＋ ??? ???ba＋ ab ＋ ??? ???ca＋ ac ＋ ??? ???cb＋ bc ≥ 3＋ 2＋ 2＋ 2＝ 9， 當(dāng)且僅當(dāng) a＝ b＝ c＝ 13時(shí)，取等號(hào)． 考向三 利用基本不等式解決恒成立問題 【例 3】 ?(2020山東 )若對(duì)任意 x＞ 0， xx2＋ 3x＋ 1≤ a 恒成立，則 a 的取值范圍是________． [審題視點(diǎn) ] 先求 xx2＋ 3x＋ 1(x＞ 0)的最大值，要使得 xx2＋ 3x＋ 1≤ a(x＞ 0)恒成立，只要 xx2＋ 3x＋ 1(x＞ 0)的最大值小于等于 a即可． 解析 若對(duì)任意 x＞ 0， xx2＋ 3x＋ 1≤ a 恒成立，只需求得 y＝ xx2＋ 3x＋ 1的最大值即可，因?yàn)?x＞ 0，所以 y＝ xx2＋ 3x＋ 1＝ 1x＋ 1x＋ 3≤ 12 x1x＝ 15，當(dāng)且僅當(dāng) x＝ 1 時(shí)取等號(hào)，所以 a 的取值范圍是 ??? ???15，＋ ∞ 答案 ??? ???15，＋ ∞ 當(dāng)不等式一邊的函數(shù) (或代數(shù)式 )的最值較易求出時(shí)，可直接求出這個(gè)最值 (最值 可能含有參數(shù) )，然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式求解． 【訓(xùn)練 3】 (2020宿州模擬 )已知 x＞ 0， y＞ 0， xy＝ x＋ 2y，若 xy≥ m－ 2 恒成立，則實(shí)數(shù) m 的最大值是 ________． 解析 由 x＞ 0， y＞ 0， xy＝ x＋ 2y≥ 2 2xy，得 xy≥ 8，于是由 m－ 2≤ xy 恒成立，得 m－ 2≤ 8， m≤ 10，故 m 的最大值為 10. 答案 10 考向三 利用基本不等式解實(shí)際問題 【例 3】 ?某單位建造一間地面面積為 12 m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長(zhǎng)度 x 不得超過 5 m．房屋正面的造價(jià) 為 400 元 /m2，房屋側(cè)面的造價(jià)為 150 元 /m2，屋頂和地面的造價(jià)費(fèi)用合計(jì)為 5 800 元，如果墻高為 3 m，且不計(jì)房屋背面的費(fèi)用．當(dāng)側(cè)面的長(zhǎng)度為多少時(shí)，總造價(jià)最低？ [審題視點(diǎn) ] 用長(zhǎng)度 x 表示出造價(jià)，利用基本不等式求最值即可．還應(yīng)注意定義域 0＜ x≤ 5；函數(shù)取最小值時(shí)的 x是否在定義域內(nèi)，若不在定義域內(nèi)，不能用基本不等式求最值，可以考慮單調(diào)性． 解 由題意可得，造價(jià) y＝ 3(2x 150＋ 12x 400)＋ 5 800＝ 900??? ???x＋ 16x ＋ 5 800(0＜x≤ 5)， 則 y＝ 900??? ???x＋ 16x ＋ 5 800≥ 900 2 x 16x ＋ 5 800＝ 13 000(元 )， 當(dāng)且僅當(dāng) x＝ 16x ，即 x＝ 4 時(shí)取等號(hào)． 故當(dāng)側(cè)面的長(zhǎng)度為 4 米時(shí)，總造價(jià)最低． 解實(shí)際應(yīng)用題要注意以下幾點(diǎn)： (1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)； (2)根據(jù) 實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值； (3)在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域 (使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍 )內(nèi)求解． 【訓(xùn)練 3】 (2020廣東六校第二次聯(lián)考 )東海水晶制品廠去年的年產(chǎn)量為 10萬件，每件水晶產(chǎn)品的銷售價(jià)格為 100 元，固定成本為 80 元．從今年起，工廠投入 100萬元科技成本．并計(jì)劃以后每年比上一年多投入 100 萬元科技成本．預(yù)計(jì)產(chǎn)量每年遞增 1 萬件，每件水晶產(chǎn)品的固定成本 g(n)與科技成本的投入次數(shù) n 的關(guān)系是g(n)＝ 80n＋ 1.若水 晶產(chǎn)品的銷售價(jià)格不變，第 n 次投入后的年利潤(rùn)為 f(n)萬元． (1)求出 f(n)的表達(dá)式； (2)求從今年算起第幾年利潤(rùn)最高？最高利潤(rùn)為多少萬元？ 解 (1)第 n 次投入后，產(chǎn)量為 (10＋ n)萬件，銷售價(jià)格為 100 元，固定成本為 80n＋ 1元，科技成本投入為 100n 萬元． 所以，年利潤(rùn)為 f(n)＝ (10＋ n)??? ???100－80n＋ 1 － 100n(n∈ N*)． (2)由 (1)知 f(n)＝ (10＋ n)??? ???100－80n＋ 1 － 100n ＝ 1 000－ 80??? ???n＋ 1＋ 9n＋ 1 ≤ 520(萬元 )． 當(dāng)且僅當(dāng) n＋ 1＝ 9n＋ 1， 即 n＝ 8 時(shí)，利潤(rùn)最高，最高利潤(rùn)為 520 萬元． 所 以 ， 從 今 年 算 起 第 8 年 利 潤(rùn) 最 高 ， 最 高 利 潤(rùn) 為 520 萬元． 閱卷報(bào)告 8—— 忽視基本不等式成立的條件致誤 【問題診斷】 利用基本不等式求最值是高考的重點(diǎn)，其中使用的條件是 “ 一正、二定、三相等 ” ，在使用時(shí)一定要注意這個(gè)條件，而有的考生對(duì)基本不等式的使用條件理解不透徹，使用時(shí)出現(xiàn)多次使用不等式時(shí)等號(hào)成立的條件相矛盾 .,【防范措施】 盡量不要連續(xù)兩次以上使用基本不等式，若使用兩次時(shí)應(yīng)保證兩次等號(hào)成立的條件同時(shí)相等 . 【 示例 】 ?已知 a＞ 0， b＞ 0，且 a＋ b＝ 1，求 1a＋ 2b的最小值． 錯(cuò)因 兩次基本不等式成立的條件不一致． 實(shí)錄 ∵ a＞ 0， b＞ 0，且 a＋ b＝ 1， ∴ ab≤ ??? ???a＋ b2 2＝ 14. 又 1a＋ 2b≥ 2 2ab，而 ab≤ 14， ∴ 1ab≥ 4， ∴ 1a＋ 2b≥ 2 8＝ 4 2，故 1a＋ 2b的最小值為 4 2. 正解 ∵ a＞ 0， b＞ 0，且 a＋ b＝ 1， ∴ 1a＋ 2b＝ ??? ???1a＋ 2b (a＋ b)＝ 1＋ 2＋ ba＋ 2ab ≥ 3＋ 2 ba2ab＝ 3＋ 2 2. 當(dāng)且僅當(dāng)????? a＋ b＝ 1，ba＝2ab ，即????? a＝ 2－ 1，b＝ 2－ 2 時(shí)， 1a＋2b的最小值為 3＋ 2 2. 【試一試】 (2020四川 )設(shè) a＞ b＞ 0，則 a2＋ 1ab＋ 1a?a－ b?的最小值是 ( )． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 [嘗試解答 ] a2＋ 1ab＋ 1a?a－ b? ＝ a2－ ab＋ ab＋ 1ab＋ 1a?a－ b? ＝ a(a－ b)＋ 1a?a－ b?＋ ab＋ 1ab ≥ 2 a?a－ b? 1a?a－ b?＋ 2 ab1ab ＝ 2＋ 2＝ 4. 當(dāng)且僅當(dāng) a(a－ b)＝ 1a?a－ b?且 ab＝ 1ab， 即 a＝ 2b 時(shí)，等號(hào)成立． 答案 D