【正文】 用 【例 4】 ?某企業(yè)生產(chǎn) A， B 兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)每一噸產(chǎn)品所需的勞動力、煤和電耗如下表： 產(chǎn)品品種 勞動力 (個 ) 煤 (噸 ) 電 (千瓦 ) A產(chǎn)品 3 9 4 B 產(chǎn)品 10 4 5 已知生產(chǎn)每噸 A產(chǎn)品的利潤是 7 萬元，生產(chǎn)每噸 B 產(chǎn)品的利潤是 12 萬元，現(xiàn)因條件限制，該企業(yè)僅有勞動力 300 個，煤 360 噸，并且供電局只能供電 200 千瓦，試問該企業(yè)如何安排生產(chǎn)，才能獲得最大利潤？ [審題視點(diǎn) ] 題目的設(shè)問是 “ 該企業(yè)如何安排生產(chǎn)，才能獲得最大利潤 ” ，這個利潤是由兩種產(chǎn)品的利潤所決定的，因此 A， B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量決 定著該企業(yè)的總利潤，這里兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量是問題的主要變量，故可以設(shè)出 A， B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量，列不等式組和建立目標(biāo)函數(shù)． 解 設(shè)生產(chǎn) A， B 兩種產(chǎn)品分別為 x 噸， y 噸，利潤為 z 萬元，依題意，得 ??? 3x＋ 10y≤ 300，9x＋ 4y≤ 360，4x＋ 5y≤ 200，x≥ 0， y≥ 0. 目標(biāo)函數(shù)為 z＝ 7x＋ 12y. 作出可行域，如圖陰影所示． 當(dāng)直線 7x＋ 12y＝ 0 向右上方平行移動時，經(jīng)過 M(20,24)時 z 取最大值． ∴ 該企業(yè)生產(chǎn) A， B 兩種產(chǎn)品分別為 20 噸和 24 噸時，才能獲得最大利潤． 線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問題，需要通過審題理解題意，找出各量之間的關(guān)系，最好是列成表格，找出線性約束條件，寫出所研究的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為簡單的線性規(guī)劃問題． 【訓(xùn)練 4】 (2020四川 )某運(yùn)輸公司有 12 名駕駛員和 19 名工人，有 8 輛載重量為 10 噸的甲型卡車和 7 輛載重量為 6 噸的 乙型卡車．某天需運(yùn)往 A地至少 72 噸的貨物，派用的每輛車需滿載且只運(yùn)送一次，派用的每 輛甲型卡車需配 2 名工人，運(yùn)送一次可得利潤 450 元；派用的每輛乙型卡車需配 1 名工人，運(yùn)送一次可得利潤 350 元．該公司合理計劃當(dāng)天派用兩類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤 z＝ ( )． A． 4 650 元 B． 4 700 元 C． 4 900 元 D． 5 000 元 解析 設(shè)派用甲型卡車 x 輛，乙型卡車 y 輛，獲得的利潤為 z 元， z＝ 450x＋ 350y，由題意， x、 y 滿足關(guān)系式????? x＋ y≤ 12，2x＋ y≤ 19，10x＋ 6y≥ 72，0≤ x≤ 8，0≤ y≤ 7，作出相應(yīng)的平面區(qū)域， z＝ 450x＋350y＝ 50(9x＋ 7y)，在由 ??? x＋ y＝ 12，2x＋ y＝ 19 確定的交點(diǎn) (7,5)處取得最大值 4 900 元． 答案 C 難點(diǎn)突破 16—— 高考中線性規(guī)劃問題 近幾年新課標(biāo)高考對線性規(guī)劃問題的考查主要是以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，線性約束條件下的線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點(diǎn) 或邊界處取得，所以對于一般的線性規(guī)劃問題，我們可以直接解出可行域的頂點(diǎn)，然后將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值． 【示例 1】 ? (2020山東 )設(shè)變量 x， y 滿足約束條件??? x＋ 2y－ 5≤ 0，x－ y－ 2≤ 0，x≥ 0，則目標(biāo)函數(shù) z＝ 2x＋ 3y＋ 1 的最大值為 ( )． A． 11 B． 10 C． 9 【示例 2】 ? (2020浙江 )若實(shí)數(shù) x， y 滿足不等式組??? x＋ 3y－ 3≥ 0，2x－ y－ 3≤ 0，x－ my＋ 1≥ 0，且 z＝ x＋y 的最大值為 9，則實(shí)數(shù) m 等于 ( )． A．－ 2 B．－ 1 C． 1 D． 2 第 1 講 不等關(guān)系與不等式 【高考會這樣考】 結(jié)合命題真假判斷、充要條件、大小比較等知識考查不等式性質(zhì)的基本應(yīng)用． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 不等式的性質(zhì)是解 (證 )不等式的基礎(chǔ)，關(guān)鍵是正確理解和運(yùn)用，要弄清條件和結(jié)論，近幾年高考中多以小題出現(xiàn)，題 目難度不大，復(fù)習(xí)時，應(yīng)抓好基本概念，少做偏難題． 基礎(chǔ)梳理 1．不等式的定義 在客觀世界中，量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的，我們用數(shù)學(xué)符號 ＞、＜、≥ 、 ≤ 、 ≠ 連接兩個數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號的式子，叫做不等式． 2． 比較兩個實(shí)數(shù)的大小 兩個實(shí)數(shù)的大小是用實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來定義的，有 a－ b＞ 0? a＞ b； a－ b＝ 0? a＝ b； a－ b＜ 0? a＜ ，若 b＞ 0，則有 ab＞ 1? a＞ b； ab＝ 1? a＝ b； ab＜ 1? a＜ b. 3． 不等式的性質(zhì) (1)對稱性： a＞ b? b＜ a； (2)傳遞性： a＞ b， b＞ c? a＞ c； (3)可加性： a＞ b? a＋ c＞ b＋ c， a＞ b， c＞ d? a＋ c＞ b＋ d； (4)可乘性： a＞ b， c＞ 0? ac＞ bc； a＞ b＞ 0， c＞ d＞ 0? ac＞ bd； (5)可乘方： a＞ b＞ 0? an＞ bn(n∈ N， n≥ 2)； (6)可開方： a＞ b＞ 0? n a＞ n b(n∈ N， n≥ 2)． 一個技巧 作差法變形的技巧：作差法中變形是關(guān)鍵，常進(jìn)行因式分解或配方． 一種方法 待定系數(shù)法：求代數(shù)式的范圍時，先用已知的代數(shù)式表示目標(biāo)式，再利用多項(xiàng)式相等的法則求出參數(shù)，最后利用不等式的性質(zhì)求出目標(biāo)式的范圍． 兩條常用性質(zhì) (1)倒數(shù)性質(zhì)： ① a＞ b， ab＞ 0? 1a＜ 1b； ② a＜ 0＜ b? 1a＜ 1b； ③ a＞ b＞ 0,0＜ c＜ d? ac＞ bd； ④ 0＜ a＜ x＜ b或 a＜ x＜ b＜ 0? 1b＜ 1x＜ 1a. (2)若 a＞ b＞ 0， m＞ 0，則 ① 真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)： ba＜b＋ ma＋ m；ba＞b－ ma－ m(b－ m＞ 0)； ② 假分?jǐn)?shù)的性質(zhì)： ab＞a＋ mb＋ m；ab＜a－ mb－ m(b－ m＞ 0)． 雙基自測 1． (人教 A 版教材習(xí)題改編 )給出下列命題： ① a＞ b? ac2＞ bc2； ② a＞ |b|? a2＞b2； ③ a＞ b? a3＞ b3； ④ |a|＞ b? a2＞ ( )． A． ①② B． ②③ C． ③④ D． ①④ 解析 當(dāng) c＝ 0 時， ac2＝ bc2， ∴① 不正確； a＞ |b|≥ 0， a2＞ |b|2＝ b2， ∴② 正確；a3－ b3＝ (a－ b)(a2＋ ab＋ b2)＝ (a－ b)??? ?????? ???a＋ 12b 2＋ 34b2 ＞ 0， ∴③ 正確；取 a＝ 2， b＝－ 3，則 |a|＞ b，但 a2＝ 4＜ b2＝ 9， ∴④ 不正確． 答案 B 2．限速 40 km/h 的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行駛時，應(yīng)使汽車的速度 v 不超過 40 km/h，寫成不等式就是 ( )． A． v＜ 40 km/h B． v＞ 40 km/h C． v≠ 40 km/h D． v≤ 40 km/h 答案 D 3． (2020銀川質(zhì)檢 )已知 a， b， c∈ R，則 “ a＞ b” 是 “ ac2＞ bc2” 的 ( )． A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析 a＞ b /? ac2＞ bc2， ∵ 當(dāng) c2＝ 0 時， ac2＝ bc2；反之， ac2＞ bc2? a＞ b. 答案 B 4．已知 a＞ b， c＞ d，且 c， d 不為 0，那么下列不等式成立的是 ( )． A． ad＞ bc B． ac＞ bd C． a－ c＞ b－ d D． a＋ c＞ b＋ d 解析 由不等式性質(zhì)知： a＞ b， c＞ d? a＋ c＞ b＋ d. 答案 D 5. 12－ 1與 3＋ 1 的大小關(guān)系為 ________． 解析 12－ 1－ ( 3＋ 1)＝ ( 2＋ 1)－ ( 3＋ 1)＝ 2－ 3＜ 0， ∴ 12－ 1＜ 3＋ 1. 答案 12－ 1＜ 3＋ 1 考向一 比較大小 【例 1】 ?已知 a， b， c 是實(shí)數(shù)，試比較 a2＋ b2＋ c2與 ab＋ bc＋ ca 的大小． [審題視點(diǎn) ] 采用作差法比較，作差后構(gòu)造完全平方式即可． 解 ∵ a2＋ b2＋ c2－ (ab＋ bc＋ ca)＝ 12[(a－ b)2＋ (b－ c)2＋ (c－ a)2]≥ 0， 當(dāng)且僅當(dāng) a＝ b＝ c 時取等號． ∴ a2＋ b2＋ c2≥ ab＋ bc＋ ca. 比較大小的方法常采用作差法與作商法，但題型為選擇題時可以用特殊值法來比較大?。? 【訓(xùn)練 1】 已知 a， b∈ R且 a＞ b，則下列不等式中一定成立的是 ( )． ＞ 1 B． a2＞ b2 C． lg(a－ b)＞ 0 D.??? ???12 a＜ ??? ???12 b 解析 令 a＝ 2， b＝－ 1，則 a＞ b， ab＝－ 2，故 ab＞ 1 不成立，排除 A；令 a＝ 1，b＝－ 2，則 a2＝ 1， b2＝ 4，故 a2＞ b2不成立，排除 B；當(dāng) a－ b 在區(qū)間 (0,1)內(nèi)時，lg(a－ b)＜ 0，排除 C； f(x)＝ ??? ???12 x在 R上是減函數(shù)， ∵ a＞ b， ∴ f(a)＜ f(b)． 答案 D 考向二 不等式的性質(zhì) 【例 2】 ?(2020包頭模擬 )若 a＞ 0＞ b＞－ a， c＜ d＜ 0，則下列命題： (1)ad＞ bc；(2)ad＋ bc＜ 0； (3)a－ c＞ b－ d； (4)a( d－ c)＞ b(d－ c)中能成立的個數(shù)是 ( )． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 [審題視點(diǎn) ] 利用不等式的性質(zhì)說明正誤或舉反例說明真假． 解析 ∵ a＞ 0＞ b， c＜ d＜ 0， ∴ ad＜ 0， bc＞ 0， ∴ ad＜ bc， ∴ (1)錯誤． ∵ a＞ 0＞ b＞－ a， ∴ a＞－ b＞ 0， ∵ c＜ d＜ 0， ∴ － c＞－ d＞ 0， ∴ a(－ c)＞ (－ b)(－ d)， ∴ ac＋ bd＜ 0， ∴ ad＋ bc＝ ac＋ bdcd ＜ 0， ∴ (2)正確． ∵ c＜ d， ∴ － c＞－ d， ∵ a＞ b， ∴ a＋ (－ c)＞ b＋ (－ d)， a－ c＞ b－ d， ∴ (3)正確． ∵ a＞ b， d－ c＞ 0， ∴ a(d－ c)＞ b(d－ c)， ∴ (4)正確，故選 C. 答案 C 在判斷一個關(guān)于不等式的命題真假時，先把要判斷的命題和不等式性質(zhì)聯(lián)系起 來考慮，找到與命題相近的性質(zhì)，并應(yīng)用性質(zhì)判斷命題真假，當(dāng)然判斷的同時還要用到其他知識，比如對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等． 【訓(xùn)練 2】 已知三個不等式： ① ab＞ 0； ② bc＞ ad； ③ ca＞ ，余下一個作為結(jié)論，則可以組成正確命題的個數(shù)是 ( )． A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 解析 命題 1：若 ab＞ 0， ca＞ db，則 bc＞ ad； 命題 2：若 ab＞ 0， bc＞ ad，則 ca＞ db； 命題 3：若 ca＞ db， bc＞ ad，則 ab＞ 0. 答案 D 考向三 不等式性質(zhì)的應(yīng)用 【例 3】 ?已知函數(shù) f(x)＝ ax2＋ bx，且 1≤ f(－ 1)≤ 2,2≤ f(1)≤ f(－ 2