【文章內容簡介】 )的取值范圍． [審題視點 ] 可利用待定系數法尋找目標式 f(－ 2)與已知式 f(－ 1)， f(1)之間的關系，即用 f(－ 1)， f(1)整體表示 f(－ 2)，再利用不等式的性質求 f(－ 2)的范圍． 解 f(－ 1)＝ a－ b， f(1)＝ a＋ (－ 2)＝ 4a－ 2b. 設 m(a＋ b)＋ n(a－ b)＝ 4a－ 2b. ∴ ??? m＋ n＝ 4，m－ n＝－ 2， ∴ ??? m＝ 1，n＝ 3. ∴ f(－ 2)＝ (a＋ b)＋ 3(a－ b)＝ f(1)＋ 3f(－ 1)． ∵ 1≤ f(－ 1)≤ 2,2≤ f(1)≤ 4， ∴ 5≤ f(－ 2)≤ 10. 由 a＜ f(x， y)＜ b， c＜ g(x， y)＜ d，求 F(x， y)的取值范圍，可利用待定系數法解決 ，即設 F(x， y)＝ mf(x， y)＋ ng(x， y)，用恒等變形求得 m， n，再利用不等式的性質求得 F(x， y)的取值范圍． 【訓練 3】 若 α， β滿足 ??? － 1≤ α＋ β≤ 1，1≤ α＋ 2β≤ 3， 試求 α＋ 3β的取值范圍． 解 設 α＋ 3β＝ x(α＋ β)＋ y(α＋ 2β)＝ (x＋ y)α＋ (x＋ 2y)β. 由 ??? x＋ y＝ 1，x＋ 2y＝ 3， 解得 ??? x＝－ 1，y＝ 2. ∵ － 1≤ － (α＋ β)≤ 1,2≤ 2(α＋ 2β)≤ 6， ∴ 兩式相加，得 1≤ α＋ 3β≤ 7. 考向四 利用不等式的性質證明簡單不等式 【例 4】 ?設 a＞ b＞ c，求證： 1a－ b＋ 1b－ c＋ 1c－ a＞ 0. [審題視點 ] 充分運用已知條件及不等式性質進行求證． 證明 ∵ a＞ b＞ c， ∴ － c＞－ b. ∴ a－ c＞ a－ b＞ 0， ∴ 1a－ b＞ 1a－ c＞ 0. ∴ 1a－ b＋ 1c－ a＞ b－ c＞ 0， ∴ 1b－ c＞ 0. 1a－ b＋1b－ c＋1c－ a＞ 0. (1)運用不等式性質解決問題時，必須注意性質成立的條件． (2)同向不等式的可加性與可乘性可推廣到兩個以上的不等式． 【訓練 4】 若 a＞ b＞ 0， c＜ d＜ 0， e＜ 0， 求證： e?a－ c?2＞ e?b－ d?2. 證明 ∵ c＜ d＜ 0， ∴ － c＞－ d＞ 0. 又 ∵ a＞ b＞ 0， ∴ a－ c＞ b－ d＞ 0. ∴ (a－ c)2＞ (b－ d)2＞ 0.∴ 0＜ 1?a－ c?2＜ 1?b－ d?2. 又 ∵ e＜ 0， ∴ e?a－ c?2＞ e?b－ d?2. 難點突破 15—— 數式大小比較問題 數式大小的比較是高考中最常見的一種命題方式，涉及的知識點和問題求解的方法不僅局限于不等式知識，而且更多的關聯到函數、數列、三角函 數、向量、解析幾何、導數等知識，內容豐富多彩．命題的方式主要是選擇題、填空題，考查不等式性質、函數性質的應用． 一、作差法 【示例】 ? (2020陜西 )設 0＜ a＜ b，則下列不等式中正確的是 ( )． A． a＜ b＜ ab＜ a＋ b2 B． a＜ ab＜ a＋ b2 ＜ b C． a＜ ab＜ b＜ a＋ b2 D. ab＜ a＜ a＋ b2 ＜ b 二、作商法 【示例 】 ? 若 0＜ x＜ 1， a＞ 0 且 a≠ 1，則 |loga(1－ x)|與 |loga(1＋ x)|的大小關系是 ( )． A． |loga(1－ x)|＞ |loga(1＋ x)| B． |loga(1－ x)|＜ |loga(1＋ x)| C．不確定，由 a 的值決定 D．不確定，由 x 的值決定 三、中間量法 【示例】 ? 若 a＝ ， b＝ logπ3， c＝ log2sin2π5 ，則 ( )． A． a＞ b＞ c B． b＞ a＞ c C． c＞ a＞ b D． b＞ c＞ a 第 2 講 一元二次不等式及其解法 【高考會這樣考 】 1．會從實際情景中抽象出一元二次不等式模型． 2．考查一元二次不等式的解法及其 “ 三個二次 ” 間的關系問題． 3．以函數、導數為載體，考查不等式的參數范圍問題． 【復習指導】 1．結合 “ 三個二次 ” 之間的聯系，掌握一元二次不等式的解法． 2．熟練掌握分式不等式、無理不等式、含絕對值不等式、高次不等式、指數不等式和對數不等式的解法． 基礎梳理 1．一元二次不等式的解法 (1)將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項系數大于零的不等式 ax2＋ bx＋ c＞0(a＞ 0)或 ax2＋ bx＋ c＜ 0(a＞ 0)． (2)求出相應的一元二次方程的根． (3)利用二次函數的圖象與 x 軸的交點確定一元二次不等式的解集． 2． 一元二次不等式與相應的二次函數及一元二次方程的關系 如下表： 判別式 Δ＝ b2－ 4ac Δ＞ 0 Δ＝ 0 Δ＜ 0 二次函數 y＝ ax2＋bx＋ c (a＞ 0)的圖象 一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0 (a＞ 0)的根 有兩相異實根 x1， x2(x1＜ x2) 有兩相等實根 x1＝ x2＝－ b2a 沒有實數根 ax2＋ bx＋ c＞ 0 (a＞ 0)的解集 {x|x＞ x2或 x＜ x1} ????? ?????x|x≠ － b2a R ax2＋ bx＋ c＜ 0 (a＞ 0)的解集 {x|x1＜ x＜ x2} ? ? 一個技巧 一元二次不等式 ax2＋ bx＋ c＜ 0(a≠ 0)的解集 的確定受 a的符號、 b2－ 4ac的符號的影響，且與相應的二次函數、一元二次方程有密切聯系，可結合相應的函數 y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠ 0)的圖象，數形結合求得不等式的解集．若一元二次不等式經過不等式的同解變形后，化為 ax2＋ bx＋ c＞ 0(或＜ 0)(其中 a＞ 0)的形式，其對應的方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0有兩個不等實根 x1， x2， (x1＜ x2)(此時 Δ＝ b2－ 4ac＞ 0)，則可根據 “ 大于取兩邊，小于夾中間 ” 求解集． 兩個防范 (1)二次項系數中含有參數時，參數的符號影響不等式的解集；不要忘了二次項系數是否為零的情況 ； (2)解含參數的一元二次不等式，可先考慮因式分解，再對根的大小進行分類討論；若不能因式分解，則可對判別式進行分類討論，分類要不重不漏． 雙基自測 1． (人教 A 版教材習題改編 )不等式 x2－ 3x＋ 2＜ 0 的解集為 ( )． A． (－ ∞ ，－ 2)∪ (－ 1，＋ ∞ ) B． (－ 2，－ 1) C． (－ ∞ ， 1)∪ (2，＋ ∞ ) D． (1,2) 解析 ∵ (x－ 1)(x－ 2)＜ 0， ∴ 1＜ x＜ 2. 故原不等式的解集為 (1,2)． 答案 D 2． (2020廣東 )不等式 2x2－ x－ 1＞ 0 的解集是 ( )． A.??? ???－ 12， 1 B． (1，＋ ∞ ) C． (－ ∞ ， 1)∪ (2，＋ ∞ ) D.??? ???－ ∞ ，－ 12 ∪ (1，＋ ∞ ) 解析 ∵ 2x2－ x－ 1＝ (x－ 1)(2x＋ 1)＞ 0， ∴ x＞ 1 或 x＜－ 12. 故原不等式的解集為 ??? ???－ ∞ ，－ 12 ∪ (1，＋ ∞ )． 答案 D 3．不等式 9x2＋ 6x＋ 1≤ 0 的解集是 ( )． A.????? ?????x|x≠ － 13 B.????? ?????－ 13 C.????? ?????x|－ 13≤ x≤ 13 D． R 解析 ∵ 9x2＋ 6x＋ 1＝ (3x＋ 1)2≥ 0， ∴ 9x2＋ 6x＋ 1≤ 0 的解集為 ????? ?????x|x＝－ 13 . 答案 B 4． (2020許昌模擬 )若不等式 ax2＋ bx－ 2＜ 0 的解集為 ????? ?????x|－ 2＜ x＜ 14 ，則 ab＝ ( )． A．－ 28 B．－ 26 C． 28 D． 26 解析 ∵ x＝－ 2， 14是方程 ax2＋ bx－ 2＝ 0 的兩根， ∴????? － 2a ＝ ?－ 2? 14＝－ 12，－ ba＝－ 74， ∴ a＝ 4， b＝ 7.∴ ab＝ 28. 答案 C 5．不等式 ax2＋ 2ax＋ 1≥ 0對一切 x∈ R恒成立，則實數 a的取值范圍為 ________． 解析 當 a＝ 0 時，不等式為 1≥ 0 恒成立； 當 a≠ 0 時，須 ??? a＞ 0，Δ≤ 0， 即 ??? a＞ 0，4a2－ 4a≤ 0. ∴ 0＜ a≤ 1，綜上 0≤ a≤ 1. 答案 [0,1] 考向一 一元二次不等式的解法 【例 1】 ?已知函數 f(x)＝ ??? x2＋ 2x， x≥ 0，－ x2＋ 2x， x＜ 0， 解不等式 f(x)＞ 3. [審題視點 ] 對 x分 x≥ 0、 x＜ 0進行討論從而把 f(x)＞ 3變成兩個不等式組． 解 由題意知 ??? x≥ 0，x2＋ 2x＞ 3 或 ??? x＜ 0，－ x2＋ 2x＞ 3， 解得： x＞ 1. 故 原不等式的解集為 {x|x＞ 1}． 解一元二次不等式的一般步驟是： (1)化為標準形式； (2)確定判別式 Δ的符號； (3)若 Δ≥ 0，則求出該不等式對應的二次方程的根，若 Δ＜ 0，則對應的二次方程無根； (4)結合二次函數的圖象得出不等式的解集．特別地，若一元二次不等式的左邊的二次三項式能分解因式，則可立即寫出不等式的解集． 【訓練 1】 函數 f(x)＝ 2x2＋ x－ 3＋ log3(3＋ 2x－ x2)的定義域為 ________． 解析 依題意知 ??? 2x2＋ x－ 3≥ 0，3＋ 2x－ x2＞ 0， 解得????? x≤ － 32或 x≥ 1，－ 1＜ x＜ 3. ∴ 1≤ x＜ 3. 故函數 f(x)的定義域為 [1,3)． 答案 [1,3) 考向二 含參數的一元二次不等式的解法 【例 2】 ?求不等式 12x2－ ax＞ a2(a∈ R)的解集． [審題視點 ] 先求方程 12x2－ ax＝ a2的根，討論根的大小，確定不等式的解集． 解 ∵ 12x2－ ax＞ a2， ∴ 12x2－ ax－ a2＞ 0， 即 (4x＋ a)(3x－ a)＞ 0，令 (4x＋ a)(3x－ a)＝ 0， 得： x1＝－ a4， x2＝ a3. ① a＞ 0 時，－ a4＜ a3，解集為 ????? ?????x|x＜－ a4或 x＞ a3 ； ② a＝ 0 時， x2＞ 0，解集為 {x|x∈ R且 x≠ 0}； ③ a＜ 0 時，－ a4＞ a3，解集為 ????? ?????x|x＜ a3或 x＞－ a4 . 綜上所述：當 a＞ 0 時，不等式的解集為 ????? ?????x|x＜－ a4或 x＞ a3 ； 當 a＝ 0 時，不等式的解集為 {x|x∈ R且 x≠ 0}； 當 a＜ 0 時，不等式的解集為 ????? ?????x|x＜ a3或 x＞－ a4 . 解 含參數的一元二次不等式的一般步驟： (1)二次項若含有參數應討論是等于 0，小于 0，還是大于 0，然后將不等式轉化為二次項系數為正的形式． (2)判斷方程的根的個數，討論判別式 Δ與 0的關系． (3)確定無根時可直接寫出解集，確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關系，從而確定解集形式