不等式復習講義全(編輯修改稿)
2025-05-13 12:30 本頁面
【文章內容簡介】 形邊長為x米，則另一邊長為126/x米。⑴若利用舊墻的一段x米(x14)為矩形的一面邊長，則修舊墻的費用為x?a/4元，剩余的舊墻拆得的材料建新墻的費用為(14－x)?a/2元，其余的建新墻的費用為(2x+ 2?126/x－14)?a元，故總費用 當且僅當x＝12時等號成立，∴x＝12時ymin=7a(6－1)=35a。⑵若利用舊墻的一段x米(x≥14)為矩形的一面邊長，則修舊墻的費用為x?a/4元，建新墻的費用為(2x+ 2?126/x－14)?a元，故總費用設f(x)=x+126/x, x2x1≥14，則f(x2)－f(x1)= x2+126/x2－(x1+126/x1)=(x2―x1)(1―126/x1x2)0∴f(x)=x+126/x在［14，＋∞)上遞增，∴f(x)≥f(14)∴x=14時ymin=7a/2+2a(14+126/14－7)=綜上所述，采用方案⑴，即利用舊墻12米為矩形的一面邊長，建墻費用最省。（八）比較法證明不等式已知a、b、m、n∈R+,證明：am+n+bm+n≥ambn+anbm變：已知a、b∈R+,證明：a3/b+b3/a≥a2+b2已知a、b∈R+,f(x)=2x2+1,a+b=1,證明：對任意實數p、q恒有a?f(p)+b?f(q)≥f(ap+bq)（九）綜合法證明不等式已知a、b、c為不全相等的正數，求證：已知a、b、c∈R，且a+b+c=1，求證：a2+b2+c2≥1/3已知a、b、c為不全相等的正數，且abc=1,求證：已知a、b∈R+，a+b=1,求證：（十）分析法證明不等式已知a、b、c為不全相等的正數，求證：bc/a+ac/b+ab/ca+b+c已知函數f(x)=lg(1/x－1),xx2∈(0,1/2)，且x1≠x2，求證：設實數x,y滿足y+x2=0,0a1，求證：loga (ax+ay)≤loga2+1/8（十一）反證法、放縮法、構造法、判別式法、換元法等證明不等式設f(x)=x2+ax+b，求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個不小于1/2。若x2+y2≤1,求證|x2+2xy－y2|≤.已知abc,求證：已知a、b、c∈R＋，且a+bc求證：.已知a、b、c∈R，證明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)≥0，并指出等號何時成立。分析：整理成關于a的二次函數f(a)=a2+(c+3b)a+3b2+3bc+c2∵Δ=(c+3b)2－4(3b2+3bc+c2)=－3(b2+2bc+c2)≤0∴f(a)≥0已知：x2－2xy + y2 + x + y + 1＝0，求證：1/3≤y/x≤3在直角三角形ABC中，角C為直角，n≥2且n∈N，求證：≥an + bn（十二）解不等式解不等式：解關于x的不等式：（十三）不等式應用不等式的應用主要有三個方面：一是能轉化為求解不等式（組）的有關問題（如求函數的定義域、討論一元二次方程的根的分布等）；二是能轉化為不等式證明的有關問題（如證明函數的單調性）；三是能轉化為重要不等式的極端情形解決的最值問題。已知f(x)的定義域是（0,1］，則函數的定義域是_____________。［－5，－2)∪( 1,4］已知不等式ax2+bx+c0的解集是{x|αxβ}(0αβ),求不等式cx2+bx+a0的解集。設(x≥0).⑴求證：f(x)是減函數；⑵求f(x)的值域。由于對某種商品實行征稅，其售價比原價上漲x%，漲價后商品賣出量減少，已知稅率為銷售金額的20%.⑴為實現(xiàn)銷售金額和扣除稅款的余額y不比原銷售金額少，求上漲率x%的取值范圍；⑵x為何值時，y最大？（保留一位小數）解：設原價為a，銷售量為b，則當且僅當1＋x%＝25/9－x%，即x%＝8/9. ∴x＝。（十四）恒成立問題若不等式alg(|x―3|+|x―7|)對于一切實數x都成立，則實數a的取值范圍是（ ）A、a≥1 B、a＞1 C、0＜a≤1 D、a＜1關于x的不等式2x－1＞a(x－2)的解集為R，求實數a的取值范圍。如果關于x的不等式的解集總包含了區(qū)間（1,2］，求實數a的取值范圍。解：由題設可知，原不等式在（1,2］中總成立，∴a＞0且a＋x＞1 原不等式等價于lg(2ax)＜lg(a+x),等價于2ax＜a＋x，等價于(1－2a)x＋a＞0 設f(x)＝(1－2a)x＋a，則f(x)＞0在（1,2］中總成立，故有設對x∈R有恒成立，試求n的值。分析：原不等式等價于 由題意不等式（1）的解集為R 又x2+x+1恒大于零，所以不等式（1）等價于(3－n)x2＋(2－n)x＋(2－n)＞0 (2) 故不等式（2）的解集為R，從而有 所以n＜2，又n∈N，所以n＝0或1若f(x)=(m2－1)x2＋(m＋1)x＋1＞0對于一切實數x恒成立，求實數m的取值范圍。已知函數⑴當a=1/2時，求函數f(x)的最小值；⑵若對任意x∈［1，＋∞）,f(x)＞0恒成立，試求實數a的取值范圍。（十五）絕對值不等式定理中等號成立的問題解關于x的不等式|x+log2x|=x+|log2x|證明：|x+1/x|≥2（十六）絕對值不等式的證明設a∈R，函數f(
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