【導讀】{ "error_code": 17, "error_msg": "Open api daily request limit reached" }

　　

【正文】 . 習題 5 設 X1,X2,?,Xn是來自 參數為 λ 的 泊松分布的 簡單隨機樣 本，試求 λ 的 無偏估計量 . 解答： 因 X服從參 數為 λ 的泊 松分布，故 D(X)=λ, E(X )=D(X)+[E(X)] =λ+λ =E(X)+λ , 于是 E(X2)E(X)=λ , 即 E(X2X)=λ 用樣本矩 A = n∑i= nXi ,A =X175。代替相應的 總體矩 E(X2),E(X), 便得 λ 的 無偏估計量 λ =A A = n∑i= nXi X175。 習題 6 設 X1,X2,?,Xn為來自 參數為 n,p的二項分 布總體，試求 p2的 無偏估計量 . 解答： 因總體 X～b(n,p), 故 E(X)=np, E(X2)=D(X)+[E(X)]2=np(1p)+n2p2 =np+n(n1)p2=E(X)+n(n1)p2, E(X2)E(X)n(1)=E[1n(n1)(X2X)]=p2, 于是，用樣本矩 A 2,A1分別代 替 相應的總 體矩 E(X2),E(X),便得 p2的 無偏估計量 p 2=A2A1n(n1)=1n2(n )∑i= n(Xi Xi). 習題 7 設總體 X服 從均值為 θ 的指數分布 ，其概率密度 為 f(x。θ)={ θe xθ,x ,x≤ , 其中參數 θ 0未知 . 又設 X1,X2,?,Xn是來自 該總體的樣 本，試證： X175。和 n(min(X1,X2,?,Xn))都是 θ 的無 偏估計量，并比較哪個 更有效 . 解答： 因為 E(X)=θ, 而 E(X175。)=E(X), 所以 E(X175。)=θ, X175。是 θ 的無偏 估計 量 .設 Z=min(X1,X2,?,Xn), 因為 FX(x)={ ,x≤ exθ,x , FZ(x)=1[1FX(x)]n={1enxθ,x ,x≤ , 所以 fZ(x)={nθe nxθ,x ,x≤ , 這是參數為 nθ 的指數 分布，故知 E(Z)=θn, 而 E(nZ)=E[n(min(X1,X2,?,Xn)]=θ, 所以 nZ也 是 θ 的無偏 估計 .現比較它們 的方差大小 . 由于 D(X)=θ , 故 D(X175。)=θ n 又由于 D(Z)=(θn) , 故有 D(nZ)=n2D(Z)=n2?θ n =θ 當 n1時， D(nZ)D(X175。), 故 X175。較 nZ有效 . 習題 8 設總體 X服 從正態(tài)分布 N(m,1),X1,X2是總體 X的子樣，試驗證 = X + X , = X + X , =12X1+12X2, 都是 m的無 偏估計量；并問哪一個 估計量的方 差最小 ? 解答： 因為 X服從 N(m,1), 有 E(Xi)=m,D(Xi)=1(i=1,2), 得 E( )=E(23X1+13X2)=23E(X1)+13E(X2)=23m+13m=m, D(m )=D(23X1+13X2)=49D(X1)+19D(X2)=49+19=59, 同理可得： E( )= ,D( )= , E( )= ,D( )=12. 所以， , , 都是 m的無偏估 計量，并且在 , , 中，以 的 方差為最小 . 習題 9 設有 k臺儀 器 . 已知用第 i 臺儀器測量 時，測定值總體 的標準差為 σi(i= , , ?,k), 用這些儀器 獨立地對某 一物理量 θ 各觀察一次 ，分別得到 X 1,X2,?,Xk. 設儀器都沒 有系統(tǒng)誤差 ，即 E(Xi)=θ(i= , , ?,k), 問 a1,a2,?,ak應取何 值，方能使用 θ =∑i= iX i估計 θ時 ， θ 是無偏 的，并且 D(θ )最小？ 解答： 因為 E(Xi)=θ(i= , , ?,k), 故 E(θ )=E(∑i= iX i)=∑i= iE (Xi)=θ∑i= i, 欲使 E(θ )=θ, 則要 ∑i= i= 因此，當 ∑i= i= 時， θ =∑i= iX i為 θ 的無 偏估計 , D(θ )=∑i= i σi , 要在∑i= i= 的條件下 D(θ )最小 ，采用拉格朗 日乘數法 . 令 L(a1,a2,?, )=D(θ )+λ( ∑i= i)=∑i= i σi +λ( ∑i= i), {?L?ai=0,i=1,2,?, ∑i= i= , 即 iσ i2λ= , i=λ i 。 又因 ∑i= i= , 所以 λ ∑i= σ i2=1, 記 ∑i= σ i = σ , 所以λ= σ , 于是 i=σ σ i 2 (i=1,2,?,k), 故當 i=σ σ i 2(i=1,2,?,k)時， θ =∑i= iX i是 θ 的無 偏 估計，且方差最小 . 習題 點估計的常 ?用方法 習題 1 設 X1,X2,?,Xn為總體 的一個樣本 ， x1,x2,?,xn為一相 應的樣本值 ，求下述各總 體的密度函 數或分布律 中的未知參 數的矩估計 量和估計值 及最大似然 估計量． ( )f(x)={θcθx (θ+ ),xc , 其它 , 其中 c0為已知， θ ,θ 為未知參 數 . ( )f(x)={θxθ , ≤x≤ , 其它 , 其中 θ ,θ 為未知參 數 . (3)P{X=x}=(mx)px(1p)mx, 其中 x=0,1,2,?,m,0p1,p為未知參 數 . 解答： ( )E(X)=∫c+∞x ?θcθx (θ+ )dx=θcθ∫c+∞x θdx=θcθ 1，解出 θ=E(X)E(X) c， 令 X175。=E(X)，于是 θ =X175。X175。c為矩估計 量， θ 的矩估計 值為 θ =x175。x175。c，其中 x175。= n∑i= nxi ． 另外，似然函數為 (θ)= ∏i= nf(xi。θ)=θ nθ (∏i= nxi) (θ+ ) ， xic， 對數似然函 數為 n (θ)= n nθ+ nθ nc (θ+ )∑i= n nx i， 對 n (θ) 求導，并令其為零 ，得 d n (θ) dθ= nθ+ n nc∑i= n nx i=0， 解方程得 θ =n∑i= n nx inlnc，故參數的最 大似然估計 量為 θ =n∑i= n nX inlnc． ( )E(X)=∫ x ?θxθ dx=θθ+ ，以 X175。作為 E(X)的矩估計， 則 θ 的矩估 計由 X175。=θθ+ 解出，得 θ =(X175。 X175。) ， θ 的矩估計 值為 θ =(x175。 x175。) ，其中 x175。= n∑i= nxi 為 樣本 均值的 觀測值． 另外，似然函數為 (θ)=∏i= nf(xi。θ)=θn/ (∏i= nxi)θ 1， ≤xi≤ ， 對數似然函 數為 n (θ)= n nθ +(θ )∑i= n nx i， 對 n (θ) 求導，并令其為零 ，得 d n (θ) dθ= n θ+ θ ∑i= n nx i=0， 解方程得 θ =(n∑i= n nx i)2，故參數的最 大似然估計 量為 θ =(n∑i= n nX i)2． (3)X～b(m,p)， E(X)=mp，以 X175。作為 E(X)的矩估計，即 X175。=E(X)，則參數 p的 矩估計為 = X175。= ? n∑i= nXi ， p的矩估計 值為 = x175。= ? n∑i= nxi ． 另外，似然函數為 (θ)= ∏i= nf(xi。θ)=( ∏i= nC x i) ∑i= nxi( )∑i= n( xi)， xi=0,1,?,m， 對數似然函 數為 n (θ)= ∑i= n nC xi+(∑i= nxi) n +(∑i= n( xi))ln(1p)， 對 n (θ) 求導，并令其為零 ，得 d n (θ)dθ= ∑i= nxi 11 ∑i= n( xi)=0， 解方程得 = n∑i= nxi ，故參數的最 大似然估計 量為 = n∑i= nXi= X175。 ． 習題 2 設總體 X服 從均勻分布 U[ ,θ], 它的密度函 數為 f(x。θ)={ θ, ≤x≤θ , 其它 , (1)求未知參數 θ 的矩估計 量； (2)當樣本觀察 值為 ,,，求 θ 的矩估 計值 . 解答： (1)因為 E(X)=∫ ∞+∞xf(x。θ)d x= θ ∫ θ xdx =θ , 令 E(X)= n∑i= nXi, 即 θ =X175。, 所以 θ = X175。 (2)由所給樣本 的觀察值算 得 x175。= ∑i= xi= ( + + + + + )= , 所以 θ = x175。= 習題 3 設總體 X以 等概率 θ 取值 1,2,?,θ, 求未知參數 θ 的矩估計 量 . 解答： 由 E(X)= θ+ θ+ ?+θ θ= +θ = n∑i= nXi=X175。, 得 θ 的矩估 計為 θ = X175。1. 習題 4 一批產品中 含 有廢品，從中隨機地 抽取 60件 ，發(fā)現廢品 件，試用矩估計 法估計這批 產品的廢品 率 . 解答： 設 p為抽得 廢品的概率 ,1p為抽得正 品的概率 (放回抽取 ). 為了估計 ,引入隨機變 量 Xi={1,第 i次抽取 到的是廢品 0,第 i次抽取 到的是正品 , 于是 P{Xi=1}=p,P{Xi=0}=1p=q, 其中 i=1,2,?,60,且 E(Xi)=p, 故對于樣本 X1,X2,?,X60的一 個觀測值 x 1,x2,?,x60, 由矩估計法 得 p的估計 值為 = ∑i= xi =460=115, 即這批產品 的廢品率為 115. 習題 5 設總體 X具 有分布律 X 1 2 3 pi θ θ( θ) (1θ) 其中 θ( θ ) 為未知參數 . 已知取得了 樣本值 x =1,x2=2,x3=1, 試求 θ 的矩 估計值和最 大似然估計 值 . 解答： E(X)= θ + θ( θ)+ ( θ) = θ, x175。= / ( + + )= / 因為 E(X)=X175。, 所以 θ =(3x175。)/ = / 為矩估計 值 , (θ)= ∏i= P{Xi=xi}=P{X = }P{X = }P{X = } =θ ? θ ?(1θ)= θ ( θ), n (θ)= n + nθ+ n( θ), 對 θ 求導 ,并令導數為 零 d n d θ= θ 11θ= , 得 θ =56. 習題 6 (1)設 X1,X2,?,Xn來自總 體 X的一個 樣本 , 且 X～π(λ), 求 P{X=0}的最大似然 估計 . (2)某鐵路局證 實一個扳道 員五年內所 引起的嚴重 事故的次數 服從泊松分 布，求一個扳道 員在五年內 未引起嚴重 事故的 概率 p的最大似 然估計，使用下面 22個觀察 值統(tǒng)計情況 . 下表中， r表示一扳 道員某五年 中引起嚴重 事故的次數 ， s表示觀察 到的扳道員 人數 . r 5 sr 1942 解答： (1)已知， λ 的最大似 然估計為 λ =X175。 因此 ?P{X= }=eλ =eX175。 (2)設 X為一個 扳道員在五 年內引起的 嚴重事故的 次數， X服從參數 為 λ 的泊松 分布，樣本容量 n =122. 算得樣本均 值為 x175。= ∑r= r ?r= ( + + + + + ) ≈ , 因此 P {X=0}=ex175。=e ≈ 習題 置信區(qū)間 習題 1 對參數的一 種區(qū)間估計 及一組觀察 值 (x1,x2,?,xn)來說 ,下列結論中 正確的是 (). (A)置信度越大 ,對參數取值 范圍估計越 準確 。 (B)置信度越大 ,置信區(qū)間越 長 。 (C)置信度越大 ,置信區(qū)間越 短 。 (D)置信度大小 與置信區(qū)間 有長度無關 . 解答： 應