自考04183概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)經(jīng)管類總結(jié)1-概率論部分-資料下載頁
2025-08-30 12:14本頁面
【導(dǎo)讀】學(xué)員朋友們，你們好！應(yīng)學(xué)員朋友們的要求，結(jié)合近幾年考試的知識點(diǎn)再一次對本課程比較有針對性的串講。本次串講沒有完全按。照課本的章節(jié)順序進(jìn)行，整個(gè)串講分為兩大部分：概率論部分和數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分，每一部分分若干專題。朋友們結(jié)合課本的章節(jié)內(nèi)容收看本次串講。可能結(jié)果；iii）進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會出現(xiàn)。二事件的相互獨(dú)立性：若,則稱事件A,B相互獨(dú)立；應(yīng)，定義在上的實(shí)數(shù)值函數(shù)稱為隨機(jī)變量。
【正文】 性質(zhì)、分量及函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。 解：（ 1）由二維離散型隨機(jī)變量（ X， Y）的分布律的性質(zhì)，有 ① 又分量 Y的邊緣分布律為 由 得 ② ① ， ② 聯(lián)立，解得 。 （ 2）由（ X， Y）的聯(lián)合分布律知， XY的可能 取值為 0， 1， 2，則 所以 。 （ 3）由（ X， Y）的聯(lián)合分布律知，分量 X的分布律為 所以 。 例 3. 設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y）的概率密度為 （ 1）求常數(shù) c。 （ 2）求（ X， Y）分別關(guān)于 X， Y的邊緣密度 （ 3）判定 X與 Y的獨(dú)立性，并說明理由； （ 4）求 解析：本題考察二維連續(xù)型隨機(jī)變量（ X， Y）的概率密度性質(zhì)、關(guān)于 X， Y的邊緣密度 ， 的求法、分量 X與 Y的獨(dú)立性以及用聯(lián)合概率密度求概率的方法。 解：（ 1）由二維連續(xù)型隨機(jī)變量（ X， Y）概率密度的性質(zhì) ， 則 ，所以 。 （ 2）由（ 1） ， 又由二維連續(xù)型隨機(jī)變量邊緣密度的定義，有 當(dāng) 時(shí)， ，所以 由 x與 y的對稱 性，類似可得 。 （ 3）由（ 2），可得 ， 上式即為 X與 Y相互獨(dú)立的充要條件，所以，本題的二維隨機(jī)變量（ X， Y）的兩個(gè)分量 X與 Y 相互獨(dú)立。 （ 4） 例 4. 若隨機(jī)變量 X， Y滿足 ,則正確的是 A. B. C. D. 答案： B 解析：本題考察方差性質(zhì)： 。 例 （ X， Y）的分布函數(shù)為 ，則 X的邊緣分布函數(shù)=______. 答案： 。（因?yàn)?） 解析：本題考核二維離散型隨機(jī)變量分 布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)的概念和性質(zhì)。 設(shè)隨機(jī)變量（ X， Y）的概率密度函數(shù)為 ，則在 的連續(xù)點(diǎn) 處有 （利用二元函數(shù)極限可以驗(yàn)證， 在（ 0， 0）點(diǎn)不連續(xù)）； ， 當(dāng) 時(shí)， ，所以 當(dāng) 時(shí)， 。 例 6. 設(shè)（ X， Y）服從在區(qū)域 D上的均勻分布，其中 D為 x軸、 y軸及 x+y=1所圍成，求 X與 Y的協(xié)方差 Cov（ X,Y）。 解析：本題考核二維隨機(jī)變量的均勻分布概念及協(xié)方差的計(jì)算（選自課本 P106，例 4－ 29）。 解：可以求出區(qū)域 D的面積為 ，所以服從均勻分布的二維隨機(jī)變量的概率密度為 ， 又 所以 例 7. 已知隨機(jī)變量 X， Y的相關(guān)系數(shù)為 ，若 U=aX+b, V=cY+d, 其中 ac0. 試求 U， V的相關(guān)系數(shù) 。 解析：本題考察協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)。 解：根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義有 ， 又由方差的性質(zhì)有 再由協(xié)方差的性質(zhì)有 由已知， b， c， d為常數(shù)， Y為隨機(jī)變量，則應(yīng)用協(xié)方差的計(jì)算公式有 所以 ， 其中， ，計(jì)算同上。 因此， ，因?yàn)?，所以 。 拓展：本題 U與 X， V與 Y均為正線性相關(guān)或負(fù)線性相關(guān)（即表示為 斜率同為正或同為負(fù)的一次函數(shù)），得到 ，即兩對隨機(jī)變量之間的相互關(guān)系程度是相同的。 例 ，且 X與 Y相互獨(dú)立，則 ＝ ____________。 答案： 0 專題四 大數(shù)定律及中心極限定理 近幾年試題的考點(diǎn)分布和分?jǐn)?shù)分布 最低分?jǐn)?shù)分布 最高分?jǐn)?shù)分布 平均分?jǐn)?shù)分布 切比雪夫 2 不等式 大數(shù)定律 中心極限 定理 2 合計(jì) 0/100 4/100 1/100 一、切比雪夫不等式 ：隨機(jī)變量 ，則對任意給定的 ，總有 。 二、大數(shù)定律 （ 1）貝努利大數(shù)定律：設(shè) m是 n獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù) ，則對任意給定的 ，總有 （ 2）切比雪夫大數(shù)定律：隨機(jī)變量序列 相互獨(dú)立且具有有限的期望 和方差 ，則對任意給定的 ，總有 三、中心極限定理 （ 1）獨(dú)立同分布序列中心極限定理：隨機(jī)變量 ,相互獨(dú)立，服從相同的分布且具有期望 和方差 ，則對隨機(jī)變量 的分布函數(shù) 及任意 x，總有 （ 2）兩個(gè)結(jié)論 ① 定理說明，當(dāng) n充分大時(shí)，不論獨(dú)立同分布隨機(jī)變量服從什么分布，其和近似服從正態(tài)分布； ② 定理說明：當(dāng) n充分大時(shí)，不論獨(dú)立同分布隨機(jī)變量服從什么分布，其平均值 。 （ 3）棣莫佛 ―― 拉普拉斯中心極限定理 設(shè)隨機(jī)變量 是 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù)， P是事件 A發(fā)生的 A發(fā)生的的概率，則對任意實(shí)數(shù) x III. 典型例題 例 1 設(shè)隨機(jī)變量 X的方差 DX存在，且 A. B. C. D. 答案： C 例 ， ? 獨(dú)立同分布，且 ， i＝ 1， 2， ? ，則對任意實(shí)數(shù) x, 。 答案： 例 3. 設(shè) 是 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A出現(xiàn)的次數(shù)， P是事件 A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對于任意的，均有 （ ） A.=0 B.=1 C.0 答案： A 解析：本題考核貝努利大數(shù)定律。 本題考核課本第五章大數(shù)定律及中心極限定理的內(nèi)容，理論性比較強(qiáng)，學(xué)習(xí)起來比較困難。簡單總結(jié)如下： 內(nèi)容：一個(gè)不等式，兩個(gè)大數(shù)定律，兩個(gè)中心極限定理，其中，貝努利大數(shù)定律從理論上解決大量重復(fù)隨機(jī)試驗(yàn)中頻率穩(wěn)定于概率的問題，獨(dú)立同分布的切比雪夫大數(shù)定律從理論上解決了平均結(jié)果穩(wěn)定于均值的問題；而兩個(gè)中心 極限定理從理論上解決了大量重復(fù)隨機(jī)試驗(yàn)近似服從正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 根據(jù)貝努利大數(shù)定律（課本 P118）的結(jié)論， 。
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