【正文】 X(單位： h)服從參數(shù) λ = 的 指數(shù)分布，今獨立測試 n=6 元件，記錄它們的 失效時間，求： (1)沒有元件在 800h 之 前失效的概 率； (2)沒有元件最 后超過 30 00h 的概 率 . 解答： (1)總體 X 的概 率密度 f(x)={(0 0015)e0 0015x ,x00,其它 , 分布函數(shù) F (x)={1e0 0015x ,x00,其它 , {沒有元件在 800h 前 失效 }={最小順序統(tǒng) 計量 X(1)800}, 有 P{X(1)800}=[P{X800}]6=[1F(800)]6 =ex (0 0015 800 6)=ex (7 2)≈0 00074 7. (2){沒有元件最 后超過 30 00h}={最大順序統(tǒng) 計量 X(6)3000} P{X(6)3000}=[P{X3000}]6=[F(3000)]6 =[1exp{3000}]6=[1exp{}]6 ≈0 93517 . 習(xí)題 10 設(shè)總體 X 任 意，期望為 μ,方差為 2 , 若至少要以 95%的概率保證 ∣ X175。μ∣ 0 1 , 問樣本容量 n 應(yīng)取多大 ？ 解答： 因當 n 很大 時， X175。N(μ, 2n), 于是 P{∣ X175。μ∣ 0 1 }=P{μ0 1 X μ+0 1 } ≈Φ(0 1 /n)Φ(0 1 /n)=2Φ(0 1n)1≥0 95, 則 Φ(0 1n)≥0 975, 查表得 Φ(1 96)=0 975, 因 Φ(x)非減，故 0 1n≥1 96,n≥384 16, 故樣本容量 至少取 38 5 才能滿足 要求 . 常 用統(tǒng)計分 ?布 習(xí)題 1 對于給定的 正數(shù) a(0a1), 設(shè) z ,χ 2(n),t (n),F (n1,n2)分別是標準 正態(tài)分布，χ2(n),t(n), F(n1,n2)分布的上 分位點，則下面的結(jié) 論中不正確 的是 (). (A)z1a(n)=za(n)。 (B)χ1a2(n)=χ 2(n)。 (C)t1a(n)=ta(n)。 (D)F1a(n1,n2)=1Fa(n2,n1). 解答： 應(yīng)選 (B). 因為標準正 態(tài)分布和 t 分布的密度 函數(shù)圖形都 有是關(guān)于 軸對稱的，而 χ2分布 的密度大于 等于零，所以 (A)和 (C)是對的 .(B)是錯的 . 對于 F 分布 ，若 F～ F(n1,n2), 則 1a=P{FF1a(n1,n2)}=P{1F1F1a(n1,n2)=1P{1F1F1a(n1,n2) 由于 1F～ F(n2,n1), 所以 P{1F1F1a(n1,n2)=P{1FFa(n2,n1)=a, 即 F1a(n1,n2)=1Fa(n2,n1). 故 (D)也是對的 . 習(xí)題 2(1) X～ N(0,1),X1,X2,?,Xn 為簡單 隨機樣本，問下 列各統(tǒng) 計量服從什 么分布 ? (1)X1X2X32 +X42。 解答： 因為 Xi～ N(0,1),i=1,2,?,n, 所以： X1X2～ N(0,2), X1X22～ N(0,1), X32+X42～ χ2(2), 故 X1X2X32 +X42=(X1X2)/2X32+X422～ t(2). 習(xí)題 2(2) X～ N(0,1),X1,X2,?,Xn 為簡單 隨機樣本，問下列各統(tǒng) 計量服從什 么分布 ? (2)n1X1X2 2+X32+?+Xn2。 解答： 因為 Xi～ N(0,1),∑i=2nXi2 ～ χ2(n1), 所以 n1X1X2 2+X32+?+Xn2=X1∑i=2nXi2 /(n1)～ t(n1). 習(xí)題 2(3) X～ N(0,1),X1,X2,?,Xn 為簡單 隨機樣本，問下列各統(tǒng) 計量服從什 么分布 ? (3)(n31)∑i=13Xi2 /∑i=4nXi2 . 解答： 因為 ∑i=13Xi2 ～ χ2(3),∑i=4nXi2 ～ χ2(n3), 所以： (n31)∑i=13Xi2 /∑i=4nXi2 =∑i=13Xi2 /3∑i=4nXi2 /(n3)～ F(3,n3). 習(xí)題 3 設(shè) X1,X2,X3,X4 是取自 正態(tài)總體 X ～ N(0,22)的簡單隨機 樣本，且 Y=a(X12X2)2+b(3X34X4)2, 則 a=?,b=?時，統(tǒng)計量 Y 服 從 χ2分布 ，其自由度是 多少？ 解答： 解法一 Y=[a(X12X2)]2+[b(3X34X4)]2, 令 Y1=a(X12X2),Y2=b(3X34X4), 則 Y=Y12+Y22, 為使 Y～ χ2(2), 必有 Y1～ N(0,1),Y2～ N(0,1), 因而 E(Y1)=0,D(Y1)=1, E(Y2)=0,D(Y2)=1, 注意到 D(X1)=D(X2)=D(X3)=D(X4)=4, 由 D(Y1)=D[a(X12X2)]=aD(X1X2)=a(D(X1)+22D(X2)) =a(4+44)=20a=1, D(Y2)=D[b(3X34X4)]=bD(3X34X4) =b(9D(X3)+16D(X4))=b(49+164)=100b=1, 分別得 a=120,b=1100. 這時 Y～ χ2(2), 自由度為 n =2. 解法二 因 Xi～ N(0,22)且相互獨立 ，知 X12X2=X1+(2)X2～ N(0,20), 3X34X4=3X3+(4)X4～ N(0,100), 故 X12X220 ～ N(0,1),3X34X410 0～ N(0,1), 為使 Y=(X12X21/a)2+(3X34X41/b)2～ χ2(2), 必有 X12X21/a～ N(0,1),3X34X41/b～ N(0,1), 與上面兩個 服從標準正 態(tài)分布的隨 機變量比較 即是 1a=20,1b=100, 即 a=120,b=1100. 習(xí)題 4 設(shè)隨機變量 X 和 Y 相互獨立且 都服從正態(tài) 分 布 N(0,32). X1,X2,?,X9 和 Y1 ,Y2,?,Y9 是分別 取自總體 X 和 Y 的簡單 隨機樣本，試證統(tǒng)計量 T=X1+X2+?+X9Y12 +Y22+?+Y92 服從自由度 為 9 的 t 分 布 . 解答： 首先將 Xi ,Yi 分別除 以 3, 使之化為標 準正態(tài) . 令 X′i=Xi3,Y′i=Yi3,i=1,2,?,9, 則 X′i～ N(0,1),Y′i～ N(0,1)。 再令 X′=X′1+X′2+?+X′9, 則 X′～ N(0,9),X′3～ N(0,1), Y′2=Y′12+Y′22+?+Y′92, Y′2～ χ2(9) 因此 T=X1+X2+?+X9Y12 +Y22+?+Y92=X1′+X2′+?+X9′Y′12+Y′22+?+Y′92=X′Y′2=X′/3Y′2/9～ t(9), 注意到 X′,Y′2相互獨立 . 習(xí)題 5 設(shè)總體 X～ N(0,4), 而 X1,X2,?,X15 為取 自該總體的 樣本，問隨機變量 Y=X12+X22+?+X1022 (X112+X122+?+X152) 服從什么分 布？參數(shù)為多少 ？ 解答： 因為 Xi2 ～ N(0,1), 故 Xi24 ～ χ2(1),i=1,2,?,15, 而 X1,X2,?,X15 獨立 ，故 X12+X22+?+X1024 ～ χ2(10),X112+X122+?+X1524 ～ χ2(5), 所以 X12+X22+?+X1024 /10X11 2+X122+?+X1524 /5=X12+X22+?+X1022 (X112+X122+?+X152)=Y 習(xí)題 6 證明：若隨機變量 X 服從 F(n1,n2)的分布，則 (1)Y=1X 服從 F (n2,n1)分布； (2)并由此證明 F1α(n1,n2)=1Fα(n2,n1) 解答： (1)因隨機變量 X 服從 F(n1,n2), 故可設(shè) X=U/n1V/n2, 其中 U 服從 χ2(n1),V服從χ2 (n2), 且 U 與 V相 互獨立，設(shè) 1X=V/n2U/n1, 由 F 分布之 定義知 Y=1x=V/n2U/n1, 服從 F(n2,n1). (2)由上側(cè) α分 位數(shù)和定義 知 P{X≥F1α(n1,n2)}=1α,P{1X≤1F1α(n1,n2)=1α, 即 P{Y≤1F1α(n1,n2)=1α,1P{Y1F1α(n1,n2)=1α, 故 P{Y1F1α(n1,n2)=α, 而 P{Y≥Fα(n2,n1)}=α 又 Y 為連續(xù) 型隨機變 量 ，故 P{Y≥1F1α(n1,n2)=α, 從而 Fα(n2,n1)=1F1α(n1,n2), 即 F1α(n1,n2)=1Fα(n2,n1) 習(xí)題 7 查表求標準 正態(tài)分布的 上側(cè)分位數(shù) ： , 與 . 解答： =, =, =,=. 習(xí)題 8 查表求 χ2 分布的上側(cè) 分位數(shù)： χ0 952(5), χ0 052(5), χ0 992(10)與 χ0 012(10) 解答： , , , . 習(xí)題 9 查表求 F 分 布的上側(cè)分 位數(shù)： (4,6),(3,7)與 (5,5). 解答： ,. 習(xí)題 10 查表求 t 分 布的下側(cè)分 位數(shù)： (3),(5),(7)與 (10). 解答： ,. 抽樣分布 習(xí)題 1 已知離散型 均勻總體 X ,其分布律為 X 246 pi 1/31/31/3 取大小為 n =54 的樣本 ，求： (1)樣本平均數(shù) X175。落于 到 之間的概 率； (2)樣本均值 X 175。超過 的概率 . 解答： μ=E(X)=13 (2+4+6)=4, 2=E(X2)[E(X)]2=13(22+42+66)42=83, 所以 μX =μ=4, X 2= 2n=8/354=481, X =29 令 Z=X175。42/9, 則 n 充分大 時， Z～ 近似 N(0,1). (1)P{X175。}=P{Z ≈Φ(1 8)Φ(0 45)==. (2)P{X175。}=P{Z{Z≤2 25} ≈1Φ(2 25)==. 習(xí)題 2 設(shè)總體 X 服 從正態(tài)分布 N(10,32),X1,X2,?,X6 是它的 一組樣本，設(shè) X =16∑i=16Xi (1)寫出 X175。所服從的分 布； (2)求 X175。11 的概率 . 解答： (1)X175?！?N(10,326), 即 X175?！?N(10,32). (2)P{X175。11}=1P{X175?！?1}=1Φ(111032) ≈1Φ(0,8165)≈1Φ(0 82)=0 2061 習(xí)題 3 設(shè) X1,X2,?,Xn 是總體 X 的樣本， X =1n∑i=1nXi, 分別按總體 服從下列指 定分布求E (X175。),D(X175。). (1)X 服從 01 分布 b(1,p)。 (2)*X 服從二項 分布 b(m,p)。 (3)X 服從泊松 分布 P(λ)。 (4)X 服從均勻 分布 U[a,b]。 (5)X 服從指數(shù) 分布 e(λ) 解答： (1)由題意， X 的分布律 為： P{X=k}=Pk(1P)1k(k=0,1). E(X)=p,D(X)=p(1p). 所以 E(X )=E(1n∑i=1nXi)=1n∑i=1nE(Xi)=1n?np=p, D(X )=D(1n∑i=1nXi)=1n2∑i=1nD(X1)=1n2?np(1p)=1np(1p). (2)由題意， X 的分布律 為： P{X=k}=CmkPk (1p)mk(k=0,1,2,?,m). 同 (1)可得 E(X175。)=mp,D(X175。)=1nmp(1p). (3)由題意， X 的分布律 為： P{X=k}=λkk!eλ(λ0,k=0,1,2,?). E(X)=λ,D(X)=λ 同 (1)可得 E(X )=λ,D(X )=1nλ (4)由 E(X)=a+b2,D(X)=(ba)212, 同 (1)可得 E(X175。)=a+b2,D(X175。)=(ba)212n. (5)由 E(X)=1λ,D(X)=1λ2, 同 (1)可得 D(X )=1λ,D(X )=1nλ2 習(xí)題 4 某廠生產(chǎn)的 攪拌機平均 壽命為 5 年 ，標準差為 1 年，假設(shè)這些攪 拌機的壽命 近似服從正 態(tài)分布，求： （ 1）容量為 9 的 隨機樣本平 均壽命落 在 年和 年之間的 概率； （ 2）容量為 9 的 隨機樣本平 均壽命小于 6 年的概率 。 解答： （ 1）由題意知 X 175?！?N(5,1n),n=9，則標準化變 量