【正文】 (C)置信度越大 ,置信區(qū)間越 短 。=e ≈ 習(xí)題 置信區(qū)間 習(xí)題 1 對(duì)參數(shù)的一 種區(qū)間估計(jì) 及一組觀察 值 (x1,x2,?,xn)來(lái)說(shuō) ,下列結(jié)論中 正確的是 (). (A)置信度越大 ,對(duì)參數(shù)取值 范圍估計(jì)越 準(zhǔn)確 。 (2)設(shè) X為一個(gè) 扳道員在五 年內(nèi)引起的 嚴(yán)重事故的 次數(shù)， X服從參數(shù) 為 λ 的泊松 分布，樣本容量 n =122. 算得樣本均 值為 x175。)/ = / 為矩估計(jì) 值 , (θ)= ∏i= P{Xi=xi}=P{X = }P{X = }P{X = } =θ ? θ ?(1θ)= θ ( θ), n (θ)= n + nθ+ n( θ), 對(duì) θ 求導(dǎo) ,并令導(dǎo)數(shù)為 零 d n d θ= θ 11θ= , 得 θ =56. 習(xí)題 6 (1)設(shè) X1,X2,?,Xn來(lái)自總 體 X的一個(gè) 樣本 , 且 X～π(λ), 求 P{X=0}的最大似然 估計(jì) . (2)某鐵路局證 實(shí)一個(gè)扳道 員五年內(nèi)所 引起的嚴(yán)重 事故的次數(shù) 服從泊松分 布，求一個(gè)扳道 員在五年內(nèi) 未引起嚴(yán)重 事故的 概率 p的最大似 然估計(jì)，使用下面 22個(gè)觀察 值統(tǒng)計(jì)情況 . 下表中， r表示一扳 道員某五年 中引起嚴(yán)重 事故的次數(shù) ， s表示觀察 到的扳道員 人數(shù) . r 5 sr 1942 解答： (1)已知， λ 的最大似 然估計(jì)為 λ =X175。= / ( + + )= / 因?yàn)?E(X)=X175。, 得 θ 的矩估 計(jì)為 θ = X175。= ∑i= xi= ( + + + + + )= , 所以 θ = x175。, 所以 θ = X175。θ)={ θ, ≤x≤θ , 其它 , (1)求未知參數(shù) θ 的矩估計(jì) 量； (2)當(dāng)樣本觀察 值為 ,，求 θ 的矩估 計(jì)值 . 解答： (1)因?yàn)? E(X)=∫ ∞+∞xf(x。θ)=( ∏i= nC x i) ∑i= nxi( )∑i= n( xi)， xi=0,1,?,m， 對(duì)數(shù)似然函 數(shù)為 n (θ)= ∑i= n nC xi+(∑i= nxi) n +(∑i= n( xi))ln(1p)， 對(duì) n (θ) 求導(dǎo)，并令其為零 ，得 d n (θ)dθ= ∑i= nxi 11 ∑i= n( xi)=0， 解方程得 = n∑i= nxi ，故參數(shù)的最 大似然估計(jì) 量為 = n∑i= nXi= X175。= ? n∑i= nXi ， p的矩估計(jì) 值為 = x175。作為 E(X)的矩估計(jì)，即 X175。= n∑i= nxi 為 樣本 均值的 觀測(cè)值． 另外，似然函數(shù)為 (θ)=∏i= nf(xi。 x175。 X175。作為 E(X)的矩估計(jì)， 則 θ 的矩估 計(jì)由 X175。= n∑i= nxi ． 另外，似然函數(shù)為 (θ)= ∏i= nf(xi。x175。X175。 又因 ∑i= i= , 所以 λ ∑i= σ i2=1, 記 ∑i= σ i = σ , 所以λ= σ , 于是 i=σ σ i 2 (i=1,2,?,k), 故當(dāng) i=σ σ i 2(i=1,2,?,k)時(shí)， θ =∑i= iX i是 θ 的無(wú) 偏 估計(jì)，且方差最小 . 習(xí)題 點(diǎn)估計(jì)的常 ?用方法 習(xí)題 1 設(shè) X1,X2,?,Xn為總體 的一個(gè)樣本 ， x1,x2,?,xn為一相 應(yīng)的樣本值 ，求下述各總 體的密度函 數(shù)或分布律 中的未知參 數(shù)的矩估計(jì) 量和估計(jì)值 及最大似然 估計(jì)量． ( )f(x)={θcθx (θ+ ),xc , 其它 , 其中 c0為已知， θ ,θ 為未知參 數(shù) . ( )f(x)={θxθ , ≤x≤ , 其它 , 其中 θ ,θ 為未知參 數(shù) . (3)P{X=x}=(mx)px(1p)mx, 其中 x=0,1,2,?,m,0p1,p為未知參 數(shù) . 解答： ( )E(X)=∫c+∞x ?θcθx (θ+ )dx=θcθ∫c+∞x θdx=θcθ 1，解出 θ=E(X)E(X) c， 令 X175。), 故 X175。是 θ 的無(wú)偏 估計(jì) 量 .設(shè) Z=min(X1,X2,?,Xn), 因?yàn)? FX(x)={ ,x≤ exθ,x , FZ(x)=1[1FX(x)]n={1enxθ,x ,x≤ , 所以 fZ(x)={nθe nxθ,x ,x≤ , 這是參數(shù)為 nθ 的指數(shù) 分布，故知 E(Z)=θn, 而 E(nZ)=E[n(min(X1,X2,?,Xn)]=θ, 所以 nZ也 是 θ 的無(wú)偏 估計(jì) .現(xiàn)比較它們 的方差大小 . 由于 D(X)=θ , 故 D(X175。)=E(X), 所以 E(X175。θ)={ θe xθ,x ,x≤ , 其中參數(shù) θ 0未知 . 又設(shè) X1,X2,?,Xn是來(lái)自 該總體的樣 本，試證： X175。代替相應(yīng)的 總體矩 E(X2),E(X), 便得 λ 的 無(wú)偏估計(jì)量 λ =A A = n∑i= nXi X175。= n∑i= nXi。 (B)θ =2Xn。13/4k13/4 =Φ(k13/4)Φ(k13/4)=2Φ(k13/4)1, 要使 2Φ(k13/4)1≥0 99, 即 Φ(k13/4)≥0 995=Φ(2 58),k13/4≥2 58,k≥4 651. 習(xí)題 20 假設(shè)隨機(jī)變 量 F 服從分 布 F(5,10), 求 λ的值使 其滿足 P{F≥λ}=0 95 解答： 一般書(shū)中給 出的 F 分布 表，給出 P{F≥λ}=α的 α值只 有 α=0 01,α=0 05等幾個(gè) 較小的值，而現(xiàn) α=0 95, 不能直接查 F 表得到 λ , 但是注意到 P{F≥λ}=0 95, 并且 P{F≤λ}=P{F1≤λ1}=, 而 F1～ F(10,5), 因此可查表 得 1λ=F0 05(10,5)=4 74, λ≈0 21 習(xí)題 21 設(shè) X1,X2,?,Xn 是總體 X～ N(μ, 2)的一個(gè)樣本 ，證明： E[∑i=1n(XiX175。∣ 13/4k13/4 =P{k13/4X175。∣ k}=P{∣ X175。～ N(0,134). 因此 P{∣ X175。∣ k}≥11k2134, 按題意應(yīng)有 11k2134=, 解得 k=. (2)由題設(shè) X,Y 均為正態(tài) 變量，故有 X175。)=0, D(X Y )=D(X )+D(Y )=40040 0+90040 0=134(由兩樣本的 獨(dú)立性 ). 由切比雪夫 不等式 P{∣ X175。)=E(X175。∣ k}≥0 99 (2)設(shè)在 (1)中總體 X 和 Y 均為正態(tài) 變量，求 k. 解答： (1)由題設(shè) E(X175。 試?yán)们斜? 雪夫不等式 估計(jì) k, 使得 P{∣ X175。 解答： 由 ∑i=1n(Xiμ)2 2～ χ2(n)題中 μ=0, 因此 P{∑i=110Xi 21 44=P{∑i=110Xi 2(0 3)21 44(0 3)2=P{χ2(10)16}=0 1 習(xí)題 19 (1)設(shè)總體 X 具 有方差 1 2=400, 總體 Y 具有 方差 22 =900, 兩總體的 均 值相等，分別自這兩 個(gè)總體取容 量為 400 的樣本，設(shè)兩樣本獨(dú) 立，分別記樣本 均值為 X175。μ∣ 2}=P{∣ X175。與 μ之差的 絕對(duì)值小于 2 的概率： (2) 2 未知，但 s2=. 解答： 由 T 統(tǒng)計(jì)量 (X175。μ∣ 2}=P{∣ X175。 解答： 由 =5,U統(tǒng)計(jì)量 (X175。Sn～ t(n1). 習(xí)題 16 假設(shè) X1,X2,?,X9 是來(lái)自 總體 X～ N(0,22)的簡(jiǎn)單隨機(jī) 樣本，求系數(shù) a,b,c, 使 Q=a(X1+X2)2+b(X3+X4+X5)2+c(X6+X7+X8+X9)2 服從 χ2分 布，并求其自由 度 . 解答： 由于 X1,X2,?,X9 相互獨(dú) 立且取自總 體 X～ N(0,22), 由正態(tài)分布 的線性運(yùn)算 性質(zhì)有 X1+X2～ N(0,8), X3+X4+X5～ N(0,12), X6+X7+X8+X9～ N(0,16), 于是，由 χ2=χ12+?+χk2 有 Q=(X1+X2)28+(X3+X4+X5)212+(X6+X7+X8+X9)216～ χ2(3), 故 a=1/8,b=1/12,c=1/16, 自由度為 3 . 習(xí)題 17(1) X～ N(μ, 2)中抽取容量 為 16的樣 本 . 在下列情況 下分別求 X 175?！?N(0,(1+1n) 2), 從而 (Xn+1Xn )/(1+1n )～ N(0,1), 注意到 Xn 175。)2, 試確定統(tǒng)計(jì) 量 nn+1?Xn+1Xn175。)2 的分布 . 解答： 因?yàn)?∑j=1ni(XijXi )2 2=(ni1) i2 2 ～ χ2(ni1), 且 (ni1) i2 2 (i=1,2,?,k)相互獨(dú)立，故 W=1 2∑i=1k∑j=1ni(XijXi )2=∑i=1k(ni1) i2 2 ～ χ2(∑i=1k(ni1)), 而 ∑i=1k(ni1)=∑i=1knik=nk, 故 W=1 2∑i=1k∑j=1ni(XijXi175。. 如果記 Zi =Xi+Xn+i,i=1,?,n, 即 Zi(i=1,?,n)是取自 N(2μ,2 2)的樣本，且 Yn1=1n1∑i=1n(Xi+Xn+i2X175。2)) =1n1(∑i=1n(μ2+ 2)n(μ2+( 2n)))= 2 注：本題證明了 對(duì)于任何存 在均值 μ與 方差 2的 總體分布，均有 E(X )=μ,E( 2)= 2 習(xí)題 11 設(shè)總體 X服 從正態(tài)分布 N(μ, 2)( 0), 從總體中抽 取簡(jiǎn)單隨機(jī) 樣本 X1,?,X2n(n≥2), 其樣本均值 為 X =12n∑i=12nXi , 求統(tǒng)計(jì)量 Y =∑i=1n(Xi+Xn+i2X175。2))=1n1(∑i=1nE(Xi2)nE(X175。),D(X175。μ /n∣ ≥4 /n ≈2(1Φ(4 /n))≈2(1Φ(12 65 )), Φ(12 65 )=0 99, 即有 12 65 =u0 01=2 33, 解得 ≈5 43 習(xí)題 10 設(shè) X1,?,Xn 是取自 總體 X 的樣 本， X175?！?N(μ, 2n), 故有 =P{∣ X175。∣ ≤0 02} =1P{∣ X175。 (3) P{∣ X175。2)=1n1(∑i=1nD(X1)nD(X175。)2]=1n1E[∑i=1n(XiX175。∣ }. 解答： μ=E(X)=∫11x∣ x∣ dx=0, 2=D(X)=E(X2)[E(X)]2=E(X2)=∫11x2∣ x∣ dx=12. (1) X =1n∑i=1nXi(n=50) ? E(X )=E(1n∑i=1nXi)=1n∑i=1nE(Xi)=0,D(X )= 2n=12n=1100。∣ 2/nn2=2Φ(n2) =2[1Φ(n2)]0 05, 故 Φ(n2)0 975, 查正態(tài)分布 表 n2≥1 96, 所以 n, 即取 n=8. 習(xí)題 8 設(shè)總體 X～ f(x)={∣ x∣ ,∣ x∣ 10,其它 ， X1,X2,?,X50 為取 自 X 的一個(gè) 樣本，試求： (1) X175。∣ )=P{∣ X1175。X2 /2/n～ N(0,1), P(∣ X1175。X2175。和 X2175。分別為來(lái)自 正態(tài)總體 N (μ, 2)的容量為 n 的兩個(gè)簡(jiǎn)單 隨機(jī)樣本X 11,X12,?,X1n 和 X 21,X22,?,X2n 的均 值，試確定 n,使兩個(gè)子樣 的均值之 差 超過(guò) 的概 率小于 . 解答： Xi175。μ0 25/n∣ 習(xí)題 7 設(shè) X1175。μ∣ }=, 即 P{∣ X175。μ∣ }=P{∣ X175。μ∣ , 試問(wèn)：當(dāng) 2=0 25時(shí)，樣本容量 n 應(yīng)取多大？ 解答： P{∣ X175。Y175。Y175。Y175。Y175。～ N(20,310), Y175。Y175。a∣ }=P{∣ X175。a∣ 0 1}≥0 95成立的 稱量次數(shù) n 的最小值 . 解答： 因?yàn)?X =1n∑i=1nXi～ N(a