【正文】 有兩雙配對，從 5 雙中取兩雙即可， 25DnC? 所以 1 2 1 25 8 4 5410() 13( ) ( ) ( ) ( ) 21C C C CP A P C D P C P D C??? ? ? ? ? 1把 52 張牌發(fā) 給四人，求指定的某人沒有得到黑桃 A或黑桃 K 的概率。 解：設(shè) C=“指定的某人沒有得到黑桃 A或黑桃 K”， 則其對立事件為 C =“指定的某人得到黑桃 A和黑桃 K” 11501352( ) 1 ( ) 1 CP C P C C? ? ? ? 1 50 只鉚釘隨機(jī)裝入 10 個部件上，其中 3 個鉚釘強(qiáng)度太弱。每個部件裝有 3 個鉚釘。如果 3 只強(qiáng)度太弱的鉚釘都裝入同一個部件，則這個部件的強(qiáng)度太弱，求發(fā)生一個部件強(qiáng)度太弱的概率。 解： 法一：用古典概率作： 把隨機(jī)試驗(yàn) E看作是用三個釘一組，三個釘一組去鉚 完 10個部件（在三個釘?shù)囊唤M中不分先后次序。但10 組釘鉚完 10 個部件要分先后次序） 對 E：鉚法有 323344347350 CCCC ??? ??種，每種裝法等可能 對 A：三個次釘必須鉚在一個部件上。這種鉚法有〔 32334434733 CCCC ???? 〕 10 種 110][)( 323347350 32334434733 ????? ????? CCC CCCCAP ?? ?? 法二：用古典概率作 把試驗(yàn) E看作是在 50 個釘中任選 30個釘排成一列，順次釘下去，直到把部件鉚完。（鉚釘要計(jì)先后次序） 對 E：鉚法有 350A 種，每種鉚法等可能 對 A：三支次釘必須鉚在“ 1， 2， 3”位置上或“ 4， 5， 6”位置上，?或“ 28， 29， 30”位置上。這種鉚法有 274733274733274733274733 10 AAAAAAAA ????????? ??種 )( 3050 274733 ????? A AAAP 法三： 3 個強(qiáng)度太弱的鉚釘有可能裝入 10 個部件中的任何一個， 不妨設(shè) iA =“第 I 個部件的強(qiáng)度太弱” =“ 3 個強(qiáng)度太弱的鉚釘裝入第 i個部件” 所以 33350 1() 19600i CPA C?? A=“發(fā)生一個部件強(qiáng)度太弱”，則 101 iiAA??，且兩兩互斥， 所以 1011( ) ( ) 1960iP A P A??? 1 ３張考簽，３人應(yīng)試 ，一人抽１張后放回，再由另一人抽，求抽簽結(jié)束后，至少有１張沒有被抽到的概率。 解：法一：設(shè) iA? “第ｉ張考簽沒有被抽到”，Ａ＝“至少有１張沒有被抽到”， 則，因?yàn)槭侵貜?fù)抽取，所以 332()3iPA?， 331()3ijP A A ?， ( ) 0i j kP A A A ? ， 所以， 1 2 3 1 2 1 3 3 2 1 2 3 8 1 7( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 02 7 2 7 9P A P A P A P A P A A P A A P A A P A A A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 法二 ： A? “ 三張都被抽到 ” ，則 333()3APA?，所以 333 7( ) 1 ( ) 1 39AP A P A? ? ? ? ? 1從 19 的 9 個數(shù)中有放回地取 3 次，每次取一個，求取出的 3 個數(shù)之積能被 10 整除的概率。 解：取出的 3 個數(shù)中應(yīng)有偶數(shù)，且必須有 5，才能保證三數(shù)之積能被 10 整除。 . 設(shè) A=“取出的 3 個數(shù)中有偶數(shù)”， B=“取出的 3 個數(shù)中有 5”，所求概率為 3 3 35 8 4( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 0 . 2 1 49 9 9P A B P A B P A P B P A B? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 提示 如右圖所示 （ 1）帶點(diǎn)的四個區(qū)域的面積所占的比例 （ 2） 6 個黑框和 4個帶點(diǎn)區(qū)域的面積和所占的比例 習(xí)題 1－ 4 一批產(chǎn)品 100件 ,80 件正品 , 20件次品 , 其中甲廠生產(chǎn) 60 件 ,有 50 件正品 , 10 件次品 ,余下的 40件均由乙廠生產(chǎn) . 現(xiàn)從該批產(chǎn)品中任取一件 , 記 A=“正品 ”,Ｂ =“甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品 ”. 求下列概率 . ( ) , ( ) , ( ) , ( | ) , ( | )P A P B P AB P B A P A B 解： 8 0 6 0 5 0 5 5 0 5( ) 0 . 8 , ( ) 0 . 6 , ( | ) , ( | )1 0 0 1 0 0 8 0 8 6 0 6P A P B P B A P A B? ? ? ? ? ? ? ? 【注】 ：要注意條件概率與概率之間的區(qū)別。 假設(shè)一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占 60%， 30%， 10%，從中任取一件，發(fā)現(xiàn)它不是三等品，求它是一等品的概率 . 解 設(shè) iA? ‘任取一件是 i 等品’ 1, 2, 3i? ， 所求概率為 1313 3()( | ) ()P A AP A A PA?， 因?yàn)? 3 1 2A A A?? 所以 3 1 2( ) ( ) ( ) 0. 6 0. 3 0. 9P A P A P A? ? ? ? ? 1 3 1( ) ( ) 0 .6P A A P A?? 故 13 62( | ) 93P A A ?? )(,21)|(,31)|(,41)( BAPBAPABPAP ???? 求。 解：由 61)()( 314121)( )|()()( )()|( ???????? ??? BPBPBP ABPAPBP ABPBAP 有定義 由已知條件 由乘法公式，得 121)|()()( ?? ABPAPABP 由加法公式，得 311216141)()()()( ???????? ABPBPAPBAP 設(shè)事件 ,AB滿足： ( ) 0. 7, ( ) 0. 5 , ( ) 0. 3P A P B P A B? ? ? ?，求 ( ) , ( ) , ( | )P AB P B A P B A? 解： ( ) ( ) ( ) AB P A P A B? ? ? ? ? ? ( ) ( ) ( ) B A P B P AB? ? ? ? ? ?， ( | ) ( ) 1 ( ) 1 [ ( ) ( ) ( ) ]( | ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )P B A P B A P A B P A P B P A BP B A P A P A P A P A? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 設(shè)事件 ,AB互斥，且 0 ( ) 1PB??，試證明： ()( | )1 ( )PAP A B PB? ?。 證：因?yàn)槭录?,AB互斥，所以 ( ) 0P AB? ，所以 ( ) ( ) ( ) ( )( | ) ( ) 1 ( ) 1 ( )P A B P A P A B P AP A B P B P B P B?? ? ??? 甲、乙兩人參加乒乓球比賽，甲先發(fā)球，甲發(fā)球成功后，乙回球失誤的概率為 ；若乙回球成功，甲回球失誤的概率為 ；若甲回球成功，乙再次回球失誤的概率為 ，計(jì)算這幾個回合中乙輸一分的概率。 解：本次比賽共進(jìn)行兩個回合，甲發(fā)一次球，回一次球，而乙回球兩次。乙輸分的可能情況有：甲發(fā)球成功，乙回球失誤；或甲發(fā)球成功，乙第一次回球成功，甲第一次回球成功，而乙第二次回球失 誤。所以 設(shè) A=“甲回球失誤” B=“第 i次乙回球失誤”，由題意，已知下列概率， 1 1 2 1( ) 0 .3 , ( | ) 0 .4 , ( | ) 0 .5P B P A B P B B A? ? ? 則 p{乙輸一分 } = 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) ( | ) 0 .5 1P B B A B P B P B A B P B P B P A B P B B A? ? ? ? ? 一個盒子中裝有 15 個乒乓球 【 原題為 12 個球 】 ，其中 9 個新球，在第一次比賽時任意抽取 3 只，比賽后仍放回原盒中；在第二次比賽時同樣地任取 3 只球，求第二次取出的 3 個球均為新球的概率。 解 設(shè) A? ‘第二次取出的均為新球’， iB? ‘第一次取出的 3 個球恰有 i 個新球’ 0, 1, 2, ? 由全概公式 0 0 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P A P B P A B P B P A B P B P A B P B P A B? ? ? ? 3 3 1 2 3 2 1 3 3 36 9 9 6 8 9 6 7 9 63 3 3 3 3 3 3 31 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5C C C C C C C C C CC C C C C C C C? ? ? ? ? ? ? ? 528 ?? 某倉庫有同樣規(guī)格的產(chǎn)品六箱，其中三箱是甲廠生產(chǎn)，二箱由乙廠生產(chǎn)，另一箱由丙廠生產(chǎn)，且它們的 次品率依次為 1/10， 1/15， 1/20，現(xiàn)從中任取一件產(chǎn)品，試求取得的一件是正品的概率。 解：設(shè) iA 表示取到的一件產(chǎn)品是由第 i廠生產(chǎn)的， B 表示取到的產(chǎn)品是次品，由題意知 1 2 33 2 1( ) , ( ) , ( ) ,6 6 6P A P A P A? ? ?1 2 3( | ) 1 / 1 0 , ( | ) 1 / 1 5 , ( | ) 1 / 2 0P B A P B A P B A? ? ?， 且 1 2 3A A A S? ，所以由全概率公式可得 31( ) ( ) ( | )iiiP B P A P B A?? ? 某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而 隨機(jī)的撥號，求他撥號不超過三次而接通所需的電話的概率是多少？如果已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？ 解： 記 H 表撥號不超過三次而能接通。 Ai表第 i 次撥號能接通。 注意：第一次撥號不通，第二撥號就不再撥這個號碼。 103819810991109101)|()|()()|()()()( 2131211211321211??????????????AAAPAAPAPAAPAPAPHPAAAAAAH 　三種情況互斥? 如果已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)（記為事件 B）問題變?yōu)樵?B 已發(fā)生的條件下，求 H 再發(fā)生的概率。 )|||)|( 321211 BAAABAABPABHP ??? )|()|()|()|()|()|( 2131211211 AABAPABAPBAPABAPBAPBAP ??? 53314354415451 ??????? 一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為 P，若第一次及格則第二次及格的概率也為 P；若第一次不及格則第二次及格的概率為 2P （ 1）若至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。（ 2）若已知他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率。 解： Ai={他第 i次及格 }， i=1,2 已知 P (A1)=P (A2|A1)=P， 2)|( 12 PAAP ? （ 1） B={至少有一次及格 } 所以 21}{ AAB ?? 兩次均不及格 ∴ )|()(1)(1)(1)( 12121 AAPAPAAPBPBP ?????? )]|(1)][(1[1 121 AAPAP ???? 22123)21)(1(1 PPPP ?????? （ 2）)( )() 2 2121( AP AAPAAP 定義 （ *） 由乘法公式，有 P (A1 A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2 由全概率公式，有 )|()()|()()( 1211212 AAPAPAAPAPAP ?? 222)1(2 PPPPPP??????? 將以上兩個結(jié)果代 入（ *）得1222)|( 2221 ???? P PPP PAAP 1 甲、乙兩個盒子各有 10只螺釘，每個盒子各有一只是次品，其余均為正品?，F(xiàn)從甲盒子中任取二只放入乙盒子中，再從乙盒子中取兩只，問從乙盒子中取出的恰好是一只正品，一只次品的概率。 解： 設(shè) iA 表示“從甲盒子中取出的兩只中次品的個數(shù)“（ i＝ 0， 1），則 2 1 19 9 101221 0 1 0( ) 0 . 8 , ( ) 0 . 2 ,C C CP A P ACC? ? ? ? 設(shè) B 表示“ 乙盒子中取出的恰好是一只正品，一只次品 “，則 111 1 10 212 1( | ) 6CCP B A C??， 111 0 21 212 10( | ) 33CCP B A C?? 所以，由全概率公式知 0 0 1