【正文】 品占 1%，它們能工作500 的概率分別為 90%，80% ，70%，求任取一個(gè)元件能工作 500 h概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題解答8解：設(shè) {取到元件為 等品}( =1,2,3) ， {取到元件能工作 500 小時(shí)以上}?iBii?A則 %1)(,4)(%,95)( 321 BPP70)(,80032A所以 )()(()( 3211 BAPA???????49527．某藥廠用從甲、乙、丙三地收購(gòu)而來(lái)的藥材加工生產(chǎn)出一種中成藥，三地的供貨量分別占 40%，35%和 25%，且用這三地的藥材能生產(chǎn)出優(yōu)等品的概率分別為， 和 ，是優(yōu)質(zhì)品，求它的材料來(lái)自甲地的概率解：以 Bi 分別表示抽到的產(chǎn)品的原材來(lái)自甲、乙、丙三地，A={抽到優(yōu)等品}，則有： 123(),(),PB?()=.4, 1(),APB?所求概率為 由全概率公式得：()()()()A??.????1111()(|)6() 28．用某種檢驗(yàn)方法檢查癌癥，根據(jù)臨床紀(jì)錄，患者施行此項(xiàng)檢查，結(jié)果是陽(yáng)性的概率為 ；無(wú)癌癥者施行此項(xiàng)檢查，結(jié)果是陰性的概率為 ，某地區(qū)癌癥的發(fā)病率為 .解：設(shè) A={檢查結(jié)果為陽(yáng)性}，B={癌癥患者}.據(jù)題意有所求概率為(),(),APB??().05,PB().BPA由 Bayes 公式得1 ()()()AAPBP?.%. .1???29．3 個(gè)射手向一敵機(jī)射擊，射中的概率分別是 ， 和 ，敵機(jī)被擊落的概率為 ；二人射中，被擊落的概率為 ；三人射中則必被擊落.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題解答9（1）求敵機(jī)被擊落的概率；（2）已知敵機(jī)被擊落，求該機(jī)是三人擊中的概率.解:設(shè) A={敵機(jī)被擊落}，B i={i 個(gè)射手擊中}，i=1,2,3. 則 B1,B2,B3 題意知： ，由于 3 個(gè)射手射擊是互相獨(dú)立的，1 32()0.,(),()1AAPPB??所以 1()...?????206047636PB? ?3()..18因?yàn)槭录?A 能且只能與互不相容事件 B1,B2,B3 （1）由全概率公式得 31()()|???????（2）由 Bayes 公式得 .3331()|(|) 349)iiiBPA??30．某廠產(chǎn)品有 70%不需要調(diào)試即可出廠，另 30%需經(jīng)過(guò)調(diào)試，調(diào)試后有 80%能出廠，求（1）該廠產(chǎn)品能出廠的概率；（2）任取一出廠產(chǎn)品未經(jīng)調(diào)試的概率.解： ——需經(jīng)調(diào)試 ——不需調(diào)試 ——出廠AAB則 ， ， ，%30)(?P70)(?%80)|(?P1)|(?AP（1）由全概率公式： B??? .9473? （2）由貝葉斯公式： .70)())()( ???ABPA31． 進(jìn) 行 一 系 列 獨(dú) 立 試 驗(yàn) ， 假 設(shè) 每 次 試 驗(yàn) 的 成 功 率 都 是 ， 求 在 試 驗(yàn) 成 功p2 次 之 前 已 經(jīng) 失 敗 了 3 次 的 概 率 . 解 ： 所求的概率為 . 234(1)p?概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題解答1032． 10 個(gè) 球 中 有 一 個(gè) 紅 球 ， 有 放 回 地 抽 取 ， 每 次 取 一 球 ， 求 直 到 第 次n才 取 次 紅 球 的 概 率 。k()n?解 ： 所求的概率為 190knkknC????????33． 燈 泡 使 用 壽 命 在 1000h 以 上 的 概 率 為 ， 求 3 個(gè) 燈 泡 在 使 用 1000h后 ， 最 多 只 有 一 個(gè) 壞 了 的 概 率 。 解 ： 由 二 項(xiàng) 概 率 公 式 所 求 概 率 為 3123().(.)????34． （ Banach 問(wèn) 題 ） 某 人 有 兩 盒 火 柴 ， 每 盒 各 有 根 ， 吸 煙 時(shí) 任 取 一 盒 ，n并 從 中 任 取 一 根 ， 當(dāng) 他 發(fā) 現(xiàn) 有 一 盒 已 經(jīng) 用 完 時(shí) ， 試 求 ： 另 一 盒 還 有 根r的 概 率 。解 ： 設(shè) 試 驗(yàn) E—從 二 盒 火 柴 中 任 取 一 盒 ， —取 到 先 用 完 的 哪 盒 ，A，1()2PA?則 所 求 概 率 為 將 E 重 復(fù) 獨(dú) 立 作 次 發(fā) 生 次 的 概 率 ， 故 所 求 的 概 率 為2nr?n.221()()rrnrnrrCPC????? 第二章思 考 題1. 隨機(jī)變量的引入的意義是什么？答：隨機(jī)變量的引入,使得隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件可通過(guò)隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來(lái)，其目的是將事件數(shù)量化，從而隨機(jī)事件這個(gè)概念實(shí)際上是包容在隨機(jī)變量這個(gè)更廣的概,對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究,就由對(duì)事件及事件概率的研究轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究,使人們可利用數(shù)學(xué)分析的方法對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行廣泛而深入的研究.隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件，隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象,而隨機(jī)變量的引入則變?yōu)榭梢杂脛?dòng)態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)研究. ？為什么要引入分布函數(shù)？答：隨機(jī)變量與分布函數(shù)取值都是實(shí)數(shù)，但隨機(jī)變量的自變量是樣本點(diǎn)，不是普通實(shí)數(shù)，故隨機(jī)變量不是普通函數(shù)，不能用高等數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行研究，而分布函數(shù)一方面是高等數(shù)學(xué)中的普通函數(shù)，另一方面它決定概率分布，故它是溝通概率論和高等數(shù)學(xué)的橋梁，利用它可以將高度數(shù)學(xué)的方法得以引入.3. 除離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量，還有第三種隨機(jī)變量嗎？概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題解答11答：有，稱為混合型. 例：設(shè)隨機(jī)變量 ，令??2,0~UX??????.1,。)(xg則隨機(jī)變量 事實(shí)上，由 的定義可知 只在 上取值，于是當(dāng) 時(shí)，)(Y??1,00?y； 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)，0)(?yFY1?yFY?y??2)()(XPg???于是 ??????.1,。02,)(yFY首先 取單點(diǎn){1}的概率 ，故 不是連續(xù)型021)()( ????YFPY，故 也不是離散型隨機(jī)變量.“ 的概率分布”的確切含義是什么？X答：對(duì)離散型隨機(jī)變量而言指的 是分布函數(shù)或分布律，對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量而言指的是分布函數(shù)或概率密度函數(shù). 的不連續(xù)點(diǎn)，如何由分布函數(shù) 求出 ？()fx()Fx()f答：對(duì)概率密度 的連續(xù)點(diǎn)， ，對(duì)概率密度 的有限個(gè)不連續(xù)()fx??x點(diǎn)處，可令 （ 為常數(shù)）不會(huì)影響分布函數(shù)的取值 .()fxc?， “概率密度函數(shù)是連續(xù)的”這個(gè)說(shuō)法對(duì)嗎？為什么？答：連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)不一定是連續(xù)的，當(dāng)密度函數(shù)連續(xù)時(shí)其分布函數(shù)是可導(dǎo)的，否則不一定可導(dǎo).習(xí) 題1．在測(cè)試燈泡壽命的試驗(yàn)中,試寫(xiě)出樣本空間并在其上定義一個(gè)隨機(jī)變量.解：每一個(gè)燈泡的實(shí)際使用壽命可能是 中任何一個(gè)實(shí)數(shù) , 樣本空間為),0[??，若用 表示燈泡的壽命（小時(shí)） ，則 是定義在樣本空間}0|{???tXX上的函數(shù)，即 是隨機(jī)變量.| t?)(概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題解答122．一報(bào)童賣(mài)報(bào), 每份 元,其成本為 元. 報(bào)館每天給報(bào)童 1000 份報(bào), 并規(guī)定他不得把賣(mài)不出的報(bào)紙退回. 設(shè) 為報(bào)童每天賣(mài)出的報(bào)紙份數(shù), 試將報(bào)童賠錢(qián)這一事件X用隨機(jī)變量的表達(dá)式表示.解：{報(bào)童賠錢(qián)} {賣(mài)出的報(bào)紙錢(qián)不夠成本} ，而當(dāng) X1000 時(shí)，報(bào)童賠?錢(qián)，故{ 報(bào)童賠錢(qián)} {X 666}?3． 若 ， ， 其 中 ， 求 .21Px????1}Px????12x?12{}Px??解 ： 121}{X? .{[}]xx??4．設(shè)隨機(jī)變量 的分布函數(shù)為X????????1,0,)(2xF試求（1） （2） （3）???????1P?????4XP???????21XP解： ；4)()(?FX（2） ；1690)1(31???????????P（3） .43)2(2?????FXPX5． 5 個(gè) 乒 乓 球 中 有 2 個(gè) 新 的 ， 3 個(gè) 舊 的 ， 如 果 從 中 任 取 3 個(gè) ， 其 中 新 的乒 乓 球 的 個(gè) 數(shù) 是一 個(gè) 隨 機(jī) 變 量 ， 求 這 個(gè) 隨 機(jī) 變 量 的 概 率 分 布 律 和 分 布 函 數(shù) ， 并 畫(huà) 出 分 布 函 數(shù) 的 圖形 . 解 ： 設(shè) 表 示 任 取 的 3 個(gè) 乒 乓 球 中 新 的 乒 乓 球 的 個(gè) 數(shù) ， 由 題 目 條 件 可 知 ，X的 所 有 可 能取 值 為 0， 1， 2， ∵ ， ，351{0}CP?12356{}0CPX?35{}CPX?∴ 隨 機(jī) 變 量 的 概 率 分 布 律 如 下 表 所 示 ：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題解答13由 可 求 得 如下:()kxFP???()Fx0 ,0{}1()1 ,2{2}xXPPX??????? ?? ， 的 圖0 , ,2xx????????()Fx形 如 圖 所 示 .6． 某 射 手 有 5 發(fā) 子 彈 ， 射 擊 一 次 命 中 率 為 ， 如 果 他 命 中 目 標(biāo) 就 停 止 射擊 ， 命 不 中 就一 直 射 擊 到 用 完 5 發(fā) 子 彈 ， 求 所 用 子 彈 數(shù) 的 概 率 分 布X 解 ：7 .一 批 零 件 中 有 9 個(gè) 合 格 品 與 3 個(gè) 廢 品 ， 安 裝 機(jī) 器 時(shí) ， 從 這 批 零 件 中 任 取一 個(gè) ， 如 果 每 次 取 出 的 廢 品 不 再 放 回 ， 求 在 取 出 合 格 品 之 前 已 取 出 的 廢 品 數(shù) 的 分布 律 .解：設(shè) ， ，由題意知，廢品數(shù) 的可能{}iA?第 次 取 得 廢 品 {}iA?第 次 取 得 合 格 品 X值為 0，1，2，3，事件 即為第一次取得合格品，事件 即為第一次取出的0X{1}X?零件為廢品，而第二次取出的零件為合格品，于是有，19{}().752PXPA??，2211391 ???（ ） （ ） 32123111239{2}() ?? ???（ ） （ ） （ ） = 32 41234 11212339 APXA P?????（ ） （ ） （ ） （ ）所以 的分布律見(jiàn)下表X0 1 2P 1 2 3 4 5P 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題解答14X0 1 2 3P 中 任 取 一 個(gè) 數(shù) 字 ， 若 取 到 數(shù) 字 的 概 率 與 成 正 比 ， 即10? )10(??ii， 求 . ,210PXiki??（ ） ， （ ） k解 ： 由 條 件 ， 由 分 布 律 的 性 質(zhì) ,應(yīng) 有 ,210PXii??（ ） ， （ ）10ip??, . 10ik??59 .已知隨機(jī)變量 服從參數(shù) 的泊松分布，試滿足條件 的自???01.?NXP然數(shù) .N解：因?yàn)?從而????.),1(~ ??????NXPYXP所 以 9.!0????Nke?查附表得 4?N 公 路 一 天 內(nèi) 發(fā) 生 交 通 事 故 的 次 數(shù) 服 從 泊 松 分 布 ， 且 一 天 內(nèi) 發(fā) 生 一 次X交 通 事 故 的 概 率 與 發(fā) 生 兩 次 交 通 事 故 的 概 率 相 等 ， 求 一 周 內(nèi) 沒(méi) 有 交 通 事 故 發(fā) 生 的概 率 .解：設(shè) ，由題意： = ， ，解得 ，~()XP?)1(?)2(P2!1????e?所求的概率即為.202!)(???e11 . 一臺(tái)儀器在 10000 個(gè)工作時(shí)內(nèi)平均發(fā)生 10 次故障，試求在 100 個(gè)工作時(shí)內(nèi)故障不多于兩次的概率.解：設(shè) 表示該儀器在 100 個(gè)工作時(shí)內(nèi)故障發(fā)生的次數(shù)， ，所X 1~(0,)X?求的概率即為 ， ， 100 個(gè)工作時(shí)內(nèi)故障平均)0(?P)1(X)2(?P次數(shù)為 ，根據(jù) Poisson 分布的概率分布近似計(jì)算如下：?.1?概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 習(xí)題解答15..!2!1!0)2( ????????????eeXP故該儀器在 100 個(gè)工作時(shí)內(nèi)故障不多于兩次的概率為 . ，現(xiàn)對(duì) 進(jìn)行三次獨(dú)立觀察，試求至少有兩次觀察值大于 的概率.??~2,5XUX 3解： ，令 ，則 ，令 表示三次重復(fù)獨(dú)??1 ,30xfx??????其 余 ??3A????23pPA?Y立觀察中 出現(xiàn)次數(shù)，則 ，故所求概率為A2~,YB??????.??21303 27PC????????????????，已知此種傳染病的發(fā)病率為 2/3，求在 50 頭已感染的羊群中發(fā)病頭數(shù)的概率分布律.解：把觀察一頭羊是否發(fā)病作為一次試驗(yàn)，發(fā)病率 ，不發(fā)病率 ，